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2.基本不等式

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1.基本不等式的理解 a+b 重要不等式a +b ≥2ab和基本不等式 ≥ ab,成立 22 2

的条件是不同的.前者成立的条件是 a与b都为实数，并且a 与b都为实数是不等式成立的 充要条件 ；而后者成立的条件 是a与b都为正实数，并且a与b都为正实数是不等式成立的

充分不必要条件 ，如a=0,b≥0仍然能使 a+b ≥ 2立.两个不等式中等号成立的充要条件都是 a=b .

ab 成

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2.由基本不等式可推出以下几种常见的变形形式 a+b 2 (1)a2+b2≥ ; 2 a2+b2 (2)ab≤ ; 2 a+b 2 (3)ab≤( ); 2 a+b 2 a2+b2 (4)( )≤ ; 2 2 (5)(a+b)2≥4ab.

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[例 1]

已知 a、b、c∈R+,且 a+b+c=1.

1 1 1 求证： + + ≥9. a b c[思路点拨] 不等式来证明. 解答本题可先利用 1 进行代换， 再用基本

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[证明]

法一：∵a、b、c∈R+,且a+b+c=1,

1 1 1 a+b+c a+b+c a+b+c ∴a+b+c= a + b + c b c a c a b =3+a+a+b+b+c + c b a c a c b =3+(a+b)+(a+ c )+(b+ c )≥3+2+2+2=9.当且仅 当a=b=c时，等号成立. 1 1 1 即a+b+c≥9.

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法二：∵a、b、c∈R+,且a+b+c=1, 1 1 1 1 1 1 ∴a+b+c=(a+b+c)(a+b+c ) b c a c a b =(1+a+a+b+1+b+c+c +1 b a c a c b =3+( a + b )+( a + c )+( b + c )≥3+2+2+2=9.当且 仅当a=b=c时，等号成立. 1 1 1 ∴a+b+c≥9.

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用基本不等式证明不等式时，应首先依据不等 式两边式子的结构特点进行恒等变形，使之具备基

本不等式的结构和条件，然后合理地选择基本不等式进行证明.

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1.已知a、b、c是不全相等的正数，求证：a(b2+c2)+ b(c2+a2)+c(a2+b2)>6abc.

证明：∵b2+c2≥2bc,a>0,∴a(b2+c2)≥2abc. 同理b(c2+a2)≥2abc, c(a2+b2)≥2abc. ① ② ③

因为a、b、c不全相等，所以①②③式中至少有一个式 子不能取“=”. ∴a(b2+c2)+b(c2+a2)+c(a2+b2)>6abc.

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a2 b2 c2 2.已知a,b,c>0,求证： b + c + a ≥a+b+c.a2 b2 c2 证明：∵a,b,c, b , c , a 均大于0, a2 又 b +b≥2 b2 c +c≥2 c2 a +a≥2 a2 b=2a, b· b2 c=2b. c· c2 a=2c. a·

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a2 b2 c2 ∴( b +b)+( c +c)+( a +a) ≥2(a+b+c). a2 b2 c2 即 b + c + a ≥a+b+c. a2 b2 c2 当且仅当 b =b, c =c, a =a, 即a=b=c时取等号.

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[例 2]

2x (1)求当 x>0 时，f(x)= 2 的值域. x +1

3 (2)设 0<x< ,求函数 y=4x(3-2x)的最大值； 2 1 9 (3)已知 x>0,y>0,且 + =1,求 x+y 的最小值. x y

[思路点拨]

根据题设条件，合理变形，创造能用基

本不等式的条件，求最值.

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2x 2 [解] (1)∵x>0,∴f(x)= 2 = . 1 x +1 x+x 1 1 1 ∵x+x≥2,∴0< ≤ . 1 2 x+x ∴0<f(x)≤1,当且仅当x=1时取“=”.即f(x)值域 为(0,1] 3 (2)∵0<x< ,∴3-2x>0.

2 2x+ 3-2x 2 9 ∴y=4x(3-2x)=2[2x(3-2x)]≤2[ ]= . 2 2 3 当且仅当2x=3-2x,即x= 时，等号成立. 4 9 ∴y=4x(3-2x)的最大值为 . 2

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1 9 (3)∵x>0,y>0,x+y =1, 1 9 y 9x ∴x+y=(x+y)(x+y)=x+ y +10≥6+10=16. y 9x 1 9 当且仅当x= y ,又x+ y=1, 即x=4,y=12时，上式取等号. 故当x=4,y=12时， 有(x+y)min=16.