第二章谓词演算及其 形式系统

重点:谓词及谓词演算永真式掌握谓词的概念； 掌握两种量词及其用法； 掌握谓词公式的定义； 掌握基本的谓词演算的等价式和 蕴涵式；

谓词演算引入的必要性命题逻辑以由原子命题通过联结 词构成的命题公式为讨论对象，不 再对原子命题作进一步的分析，即 命题逻辑只讨论以原子命题为基本 元素的命题公式之间的推理关系， 这种逻辑体表达能力很弱。3

谓词演算引入的必要性例如：考虑下面的语句：p:n是一个奇数。 再例： 在命题演算中 ，对下述论断无法判断 其正确性。 “苏格拉底三段论” : 所有的人都是要死的， P q 苏格拉底是人， 所以苏格拉底是要死的。 r4

谓词演算引入的必要性类似的例 还有许多。 所有的人都要呼吸 , 例如： 所有的正整数都大于0,

李莉是人 ,所以李莉要呼吸。

3是正整数,所以3大于0。

谓词演算引入的必要性只有对简单命题做进一步剖析，才能认识这种推理规律。这就需要引入个体、谓词、

引入变量并考虑到表示变量的数量上一般与个别的全称量词和存在量词，进而研究它们

的形式结构和逻辑关系，这便构成了谓词演算。6

2.1 个体、谓词和量词在谓词演算中，可将原子命题分解为谓词与个体词两部分。

2.1.1 个体 一切讨论对象都称为个体(individuals) 注意：个体可以是客观世界中的具体客体，也可以是抽象的客体，诸如数字、符号等。 个体通常在一个命题里表示思维对象。7

4.1.1 个体与个体域常元 表示具体或特定的个体称为常元。常 用a,b,c等小写字母或字母串表示。 变元 表示抽象的，或泛指的(或者说取值 不确定的)个体称为变元。常用字母x,y, z,u,v,w等来表示。

4.1.1 个体与个体域个体的全体称为个体域。 (个体变元的取值范围。) 常用字母D表示，并约定任何D都至少 含有一个成员。 当讨论对象遍及一切客体时，个体域 特称为全总域(universe),用字母U 表示。 表示D上个体间运算的运算符与常元、 变元组成所谓个体项。9

2.1.2 谓词语句中表示个体性质或关系的语言成分 (通常是谓语)称为谓词(predicate)。谓词所携空位的数目称为谓词的元数。 一元谓词表达了个体的性质，而多元谓词表 达了个体间的关系。

2.1.2 谓词例如：(1)李明是学生； (2)张亮比陈华高； (3)陈华坐在张亮与李明之间。在这三个命题中，李明、张亮、陈华都 是个体；“…是学生”是一元谓词， “… 比…高”是二元谓词， “…坐在…与…之 间”是三元谓词。11

2.1.2 谓词例如(1)“苏格拉底是人”中的“…是

人”。 (2)“苏格拉底是要死的”中的“…是 要 死的”。 (3)“实数的平方非负”中的“…是非 负 的”。 (4)“董旎生于青岛”中的“…生 于…”。 (5)“3小于2”中的“…小于…”。12

2.1.2 谓词谓词演算中用携有空位的大写字母表示谓 词(字母的选择是随意的,以方便记忆为好)。 M(x )表示“…是人”。 D(x)表示“…是要死的”。 R( x) 表示“…是实数”。 NN( x )表示“…是非负的”。 y B( x , )表示“…生于…”。 y L( x , )表示“…小于…”。 y z ADD( x , ,)表示“…+…=…”。13

2.1.2 谓词谓词命名式谓词填式 谓词填式P(t1,…,tn)表示:个体项t1,…,tn 所代表的个体满足n元谓词P(x1,…,xn)。

注意：当空位处填入变元时，谓词命名式与 谓词填式同形，但它们表示不同的意义。14

2.1.2 谓词当谓词填式中所填个体都是常元时，它是一 个命题，因而有确定的真值。 一些复杂的性质和关系，可以用谓词和联 结词复合的形式来描述， 例如： “如果一个人生于北京，那么他不生于上海” 可表示为 B(x,beijing)→┐B(x,shanghai)15

2.1.3

量词

使用前面介绍的概念，还不足以表达日常 生活中的各种命题。 例如：对于命题 “ 所有的正整数都是素数 ” 和“ 有些正整数是素数 ” 仅用个体和谓词是很难表达的。