1 课时作业2

2 三角恒等变换 一、选择题

1．计算1－2sin 222.5°的结果等于( )． A ．12 B ．22

C ．33

D ．32

2．已知tan α＝－43，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α的值为( )． A ．－7 B ．7 C ．－17 D ．17

3．已知sin θ＝45

，sin θ－cos θ＞1，则sin 2θ＝( )． A ．－2425 B ．－1225

C ．－45

D ．2425

4．已知tan(α＋β)＝25，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝14，则tan ⎝

⎛⎭⎪⎫α＋π4＝( )． A ．1318 B ．1322 C ．322 D ．16

5．已知向量a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6，1，b ＝(4,4cos α－3)，若a ⊥b ，则sin ⎝

⎛⎭⎪⎫α＋4π3＝( )．

A ．－34

B ．－14

C ．34

D ．14

6

．函数f (x )＝3cos(3x －θ)－sin(3x －θ)是奇函数，则θ为( )．

A ．k π，(k ∈Z )

B ．k π＋π6

，(k ∈Z ) C ．k π＋π3，(k ∈Z ) D ．－k π－π3

，(k ∈Z ) 7．(2012四川高考)如图，正方形ABCD 的边长为1，延长BA 至E ，使AE ＝1，连结EC ，ED ，则sin∠CED ＝( )．

A ．31010

B ．1010

C ．

510 D ．515

二、填空题 8．已知tan α＝2，则2sin 2α＋1sin 2α

＝__________. 9．函数f (x )＝sin ⎝

⎛⎭⎪⎫2x －π4－22sin 2x 的最小正周期是__________．

2 10．若sin ()π－α＝45，α∈⎝

⎛⎭⎪⎫0，π2，则sin 2α－cos 2α2的值等于__________． 三、解答题

11．(2013届安徽皖南八校联考)△AB C 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若(a ＋b ＋c )(sin A －sin B ＋sin C )＝3a sin C ．

(1)求角B ；

(2)若f (x )＝cos(2x －B )＋2sin 2x ，求f (x )的最小正周期及单调递增区间．

12．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2＝－45，sin ⎝

⎛⎭⎪⎫β－α2＝513，且π2＜α＜π，0＜β＜π2，求cos α＋β2的值．

3 参考答案

一、选择题

1．B 解析：1－2sin 222.5°＝cos 45°＝22. 2．A 解析：tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝tan π4－tan α1＋tan π4·tan α＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－431＋⎝ ⎛⎭

⎪⎫－43＝－7. 3．A 解析：由题意知cos θ＜0， 又sin θ＝45，∴cos θ＝－35

， 故sin 2θ＝2sin θcos θ＝－2425

. 4．C 解析：因为α＋π4＝(α＋β)－⎝

⎛⎭⎪⎫β－π4， 所以tan ⎝

⎛⎭⎪⎫α＋π4 ＝ta n ⎣⎢⎡⎦⎥⎤(α＋β)－⎝

⎛⎭⎪⎫β－π4 ＝tan(α＋β)－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π41＋tan(α＋β)tan ⎝

⎛⎭⎪⎫β－π4＝322. 故选C.

5．B 解析：a ·b ＝4sin ⎝

⎛⎭⎪⎫α＋π6＋4cos α－3＝23sin α＋6cos α－3＝43sin ⎝

⎛⎭⎪⎫α＋π3－3＝0， ∴sin ⎝

⎛⎭⎪⎫α＋π3＝14. ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋4π3＝－sin ⎝

⎛⎭⎪⎫α＋π3＝－14.故选B. 6．D 解析：f (x )＝3cos(3x －θ)－sin(3x －θ)＝2cos ⎝

⎛⎭⎪⎫3x －θ＋π6，由函数为奇函数得－θ＋π6＝k π＋π2(k ∈Z )，解得θ＝－k π－π3

(k ∈Z )，故选D. 7．B 解析：因为四边形ABCD 是正方形，且AE ＝AD ＝1，所以∠AED ＝π4

. 又因为在Rt△EBC 中，EB ＝2，BC ＝1，

所以sin∠BEC ＝55，cos∠BEC ＝255

. 于是sin∠CED ＝sin ⎝ ⎛⎭

⎪⎫π4－∠BEC ＝sin π4cos∠BEC －co s π4

sin∠BEC ＝

22×255－22×55＝1010

.故选B. 二、填空题

4 8．134 解析：2sin 2α＋1sin 2α＝3sin 2α＋cos 2α2sin αcos α ＝3tan 2α＋12tan α＝3×22＋12×2＝134

. 9．π 解析：f (x )＝22(sin 2x －cos 2x )－2(1－cos 2x )＝22

(sin 2x ＋cos 2x )－2＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π

4－2，故f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.

10．4

25 解析：∵sin (π－α)＝4

5，

∴sin α＝4

5.

又∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π

2，∴cos α＝3

5.

∴sin 2α－cos 2α

2＝2sin αcos α－1＋cos α

2

＝2×45×3

5－1＋3

52＝4

25.

三、解答题

11．解：(1)由(a ＋b ＋c )(sin A －sin B ＋sin C )＝3a sin C ， 得(a ＋b ＋c )(a －b ＋c )＝3ac ，

即(a ＋c )2－b 2＝3ac ，∴a 2＋c 2－b 2＝ac ，由余弦定理， 得cos B ＝12，∴B ＝π

3；

(2)f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π

3＋2sin 2x ＝cos 2x cos π

3＋sin 2x sin π

3＋1－cos 2x ，

f (x )＝3

2sin 2x －1

2cos 2x ＋1

＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π

6＋1，

∴f (x )的最小正周期T ＝2π

2＝π.

由2k π－π

2≤2x －π6≤2k π＋π

2，

∴k π－π

6≤x ≤k π＋π

3(k ∈Z )，

故f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π

6，k π＋π

3(k ∈Z )．

12．解：∵π2＜α＜π，0＜β＜π

2，

∴α－β

2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π

4，π，β－α

2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫

－π2，π4.

∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β

2＝1－cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β

2＝3

5，

cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－α

2＝1－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫β－α

2＝12

13.

5 ∵⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫β－α2＝α＋β2，

∴cos α＋β2

＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫β－α2

＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－α2－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－α2

＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－45×1213－35×513＝－6365.