刚体的转动惯量

一 实验简介：

在研究摆的中心升降问题时，惠更斯发现了物体系的重心与后来欧勒称之为转动惯量的量。转动惯量是表征刚体转动惯性大小的物理量，它与刚体的质量、质量相对于转轴的分布有关。

二 实验目的：

1.用实验方法验证转动惯量，并求转动惯量。

2.观察转动惯量与质量的分布关系。

3.学习作图的曲线改直法，并由作图法处理实验数据。

三 实验原理：

1. 刚体的转动定律

具有确定转轴的刚体，在外力矩作用下，将获得较加速度β，其值与外力矩成正比，与刚体的转动惯量成反比即有刚体的转动定律：

M=Iβ

利用转动定律，通过实验的方法，可求得难以用计算方法得到的转动惯量。

2.应用转动定律求转动惯量

如图所示，待测刚体由塔轮，伸杆及杆上的配重物组成。刚体将在砝码的拖动下绕竖直轴转动

设细线不可伸长，砝码受到重力和细线的张力作用，从静止开始以加速度a下落，其运动方程为mg-t=ma,在t时间内下落的高度为h=at2/2。刚体收到张力的力矩为Tr和轴摩擦力力矩Mf。由转动定律可得到刚体的转动运动方程：Tr--Mf=Iβ。绳与塔轮间无相对滑动时有a = rβ，上述四个方程得到：

m(g - a)r - Mf = 2hI/rt2 (2）

Mf与张力矩相比可以忽略，砝码质量m比刚体的质量小的多时有a<<g，所以可得到近似表达式：

mgr = 2hI/ rt2 (3)

式中r、h、t可直接测量到，m是试验中任意选定的。因此可根据（3）用实验的方法求得转动惯量I。

3．验证转动定律，求转动惯量

从（3）出发，考虑用以下两种方法：

A．作m – 1/t2图法：伸杆上配重物位置不变，即选定一个刚体，取固定力臂r和砝码下落高度h，（3）式变为：

M = K1/ t2 (4)

式中K1 =2hI/ gr2为常量。上式表明：所用砝码的质量与下落时间t的平方成反比。实验中选用一系列的砝码质量，可测得一组m与1/t2的数据，将其在直角坐标系上作图，应是直线。即若所作的图是直线，便验证了转动定律。 从m – 1/t2图中测得斜率K1，并用已知的h、r、g值，由K1 =2hI/ gr2求得刚体的I。

B．作r – 1/t图法：配重物的位置不变，即选定一个刚体，取砝码m和下落高度h为固定值。将式（3）写为：

r = K2/ t （5）

式中K2 = (2hI/ mg)1/2是常量。上式表明r与1/t成正比关系。实验中换用不同的塔轮半径r，测得同一质量的砝码下落时间t，用所得一组数据作r－1/t图，应是直线。即若所作图是直线，便验证了转动定律。

从r－1/t图上测得斜率，并用已知的m、h、g值，由K2 = (2hI/ mg)1/2求出刚体的I。

四 实验仪器：

刚体转动仪，滑轮，秒表，砝码

其中刚体转动仪包括：

A.、塔轮，由五个不同半径的圆盘组成。上面绕有挂小砝码的细线，由它对刚 体施加外力矩。

B、对称形的细长伸杆，上有圆柱形配重物，调节其在杆上

位置即可改变转动惯量。与A和配重物构成一个刚体。

C.、底座调节螺钉，用于调节底座水平，使转动轴垂直于水平面。

此外还有转向定滑轮，起始点标志，滑轮高度调节螺钉等部分。

双击刚体转动仪底座下方的旋钮，会弹出底座放大窗口和底座调节窗口，在底座调节窗口的旋钮上点击鼠标左、右键，可以调整底座水平。在底座放大窗口上单击右键可以转换视角。

滑轮（如图）

双击滑轮支架上的旋钮，会弹出滑轮高度调节窗口，在滑轮高度调节窗口的旋钮上点击鼠标左、右键，可以调整滑轮高度。

（秒表）

五 实验内容：

1.调节实验装置：调节转轴垂直于水平面

调节滑轮高度，使拉线与塔轮轴垂直，并与滑轮面共面。选定砝码下落起点到地面的高度h，并保持不变。

2.观察刚体质量分布对转动惯量的影响

取塔轮半径为3.00cm，砝码质量为20g，保持高度h不变，将配重物逐次取三种不同的位置，分别测量砝码下落的时间，分析下落时间与转动惯量的关系。（本项实验只作定

性说明，不作数据计算。）

3.测量质量与下落时间关系：

测量的基本内容是：更换不同质量的砝码，测量其下落时间t。

用游标卡尺测量塔轮半径，用钢尺测量高度，砝码质量按已给定数为每个5.0g；用秒表记录下落时间。

将两个配重物放在横杆上固定位置，选用塔轮半径为某一固定值。将拉线平行缠绕在轮上。逐次选用不同质量的砝码，用秒表分别测量砝码从静止状态开始下落到达地面的时间。对每种质量的砝码，测量三次下落时间，取平均值。砝码质量从5g开始，每次增加5g，直到35g止。

用所测数据作图，从图中求出直线的斜率，从而计算转动惯量。

4.测量半径与下落时间关系

测量的基本内容是：对同一质量的砝码，更换不同的塔轮半径，测量不同的下落时间。

将两个配重物选在横杆上固定位置，用固定质量砝码施力，逐次选用不同的塔轮半径，测砝码落地所用时间。对每一塔轮半径，测三次砝码落地之间，取其平均值。注意，在更换半径是要相应的调节滑轮高度，并使绕过滑轮的拉线与塔轮平面共面。由测得的数据作图，从图上求出斜率，并计算转动惯量。

六 数据分析：

A测量m – 1/t2关系

m – 1/t2数据表

数据处理

结论：转动惯量I=1.93914E（-3）千克*平方米

B测量r－1/t关系

r－1/t数据表

数据处理

结论：转动惯量I=1.98838E（-3）千克*平方米

七 小结

结论：两次实验虽然结果略有不同，但都客观上反应了刚体的特征，他与刚体的质量，质量相当于转轴的分布有关。通过本次实验，我们更能清楚地认识到刚体的转动惯量，并用

实验方法验证刚体转动定律。

误差分析：在实验中用了一些忽略计算，例如M与张力纸币可以忽略，砝码质量m比刚体质量小的时候有a<<g。

注意事项：测量m – 1/t2关系时r不要取得太小，导致不易观察。

八 思考题

1．课前思考题：

（1）本实验要求的条件是什么？如何在实验中实现？

砝码质量比刚体质量小得多时有a<<g。由于砝码质量有大有小，所以应该让刚体的质量尽量大。

（2）试分析两种作图法求得的转动惯量是否相同？ 不相同。考虑误差的话实际公式是不一样的。

（3)从实验原理，计算方法上分析，那种方法所得结果更合理？

m – 1/t2图像更合理

2．课后思考题

（1）由实验数据所作的m-(1/t)2图中，如何解释在m轴上存在截距？

实验仪器之间的摩擦、空气阻力等。

（2）定性分析实验中的随机误差和可能的系统误差 随机误差：秒表计时不准确。

高度测量不准确。

细线和底座不完全水平。

系统误差：砝码质量太大一直下落的加速度a太大不能满足a<<g的条件。