人教版_成才之路数学A版选修(2-3)1-2-1-1

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知识点

考纲下载 1.理解绝对值的几何意义，并了解下列 不等式成立的几何意义及取等号的 条件：

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在填空或解答题 中考查绝对值不 等式解法与含绝 对值号的函数的 最值，恒成立问 题.

绝对值 (1)|a+b|≤|a|+|b|(a,b∈R). 不等式 (2)|a-b|≤|a-c|+|c-b|(a,b∈R). 2.会利用绝对值的几何意义求解以下类 型的不等式：|ax+b|≤c,|ax+b|≥c,|x -c|+|x-b|≥a.

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通过一些简单问题了解考查简单不等式的证 不等式 证明 证明不等式的基本方法 明，多用比较法、综 ：比较法、综合法、分 合法、分析法. 析法.

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一、绝对值三角不等式 1.定理1:如果a,b是实数，则|a+b|≤ |a|+|b|,当且仅 当 ab≥0 时，等号成立.

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(1)绝对值三角不等式的向量形式及几何意义是什么？

(2)不等式|a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|中“=”成立的条件分别是什么？

提示：(1)当a,b不共线时，|a+b|<|a|+|b|,它的几何意义就是三角形的两边之和大于第三边. (2)不等式|a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b|,右侧“=”成立 的条件是ab≥0,左侧“=”成立的条件是ab≤0且 |a|≥|b|;不等式|a|-|b|≤|a-b|≤|a|+|b|,右侧“ =”成立的条件是ab≤0,左侧“=”成立的条件是ab≥0 且|a|≥|b|.

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2.定理2:如果a,b,c是实数，则 |a-c|≤ |a-b|+|b-c|,当且仅当 (a-b)(b-c)≥0 时， 等号成立.

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二、绝对值不等式的解法 1.含绝对值的不等式|x|<a与|x|>a的解集

不等式|x|<a |x|>a

a>0-a<x<a x>a或x<-a

a=0 x≠0

a<0 R

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2.|ax+b|≤c(c>0)和|ax+b|≥c(c>0)型不等式的解法

(1)|ax+b|≤c

-c≤ax+b≤c

.

(2)|ax+b|≥c ax+b≥c或ax+b≤-c .

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3.|x-a|+|x-b|≥c(c>0)和|x-a|+|x-b|≤c(c>0)型不等式 的解法 方法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形

结合的思想.方法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想； 方法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函 数与方程的思想.

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1.解不等式|x+log2x|<|x|+|log2x|. 解：原不等式成立只需x· 2x<0, log

即∴解集为{x|0<x<1}.

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2.解不等式2x+2|x|≥2

解：当x≥0时，有2x+2x≥∴x≥ 当x<0时，有2x+2-x≥2 ,

即(2x)2-2解得2x≤ ∴x≤log2(

· x+1≥0. 2-1,或2x≥ +1(∵x<0,故舍),

-1).∴原不等式解为

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3.已知不等式2|x-3|+|x-4|<2a.(1)若a=1,求x的取值范围；

(2)若已知不等式解集不是空集，求a的取值范围.

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解：(1)2|x-3|+|x-4|<2, |x-3|+|x-4|<1,∴x∈ . (2)|x-3|+|x-4|≥(x-3)-(x-4)=1, ∴(|x-3|+|x-4|)min=1, 又已知不等式的解集不是空集，所以a>1.

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3.已知不等式2|x-3|+|x-4|<2a. (1)若a=1,求

x的取值范围； ( 2)若已知不等式解集不是空集，求a的取值范围. 解：(1)2|x-3|+|x-4|<2,

|x-3|+|x-4|<1,∴x∈ .(2)|x-3|+|x-4|≥(x-3)-(x-4)=1, ∴(|x-3|+|x-4|)min=1, 又已知不等式的解集不是空集，所以a>1.