2018年广东省深圳市高考数学一模试卷（文科）

一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．若集合A={2，4，6，8}，B={x|x2﹣9x+18≤0}，则A∩B=（）A．{2，4}B．{4，6}C．{6，8}D．{2，8}

2．若复数（a∈R）为纯虚数，其中i为虚数单位，则a=（）

A．﹣3 B．﹣2 C．2 D．3

3．袋中装有大小相同的四个球，四个球上分别标有数字“2”，“3”，“4”，“6”．现从中随机选取三个球，则所选的三个球上的数字能构成等差数列的概率是（）

A．B．C．D．

4．设a=0.23，b=log0.30.2，c=log30.2，则a，b，c大小关系正确的是（）A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．b＞c＞a D．c＞b＞a

5．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cosC=，a=1，c=2，则△ABC的面积为（）

A．B．C．D．

6．若双曲线的焦点到渐近线的距离是焦距的，则该双曲线的离心率为（）

A．B．C．2 D．

7．将函数y=sin（6x+）的图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍，再向右平

移个单位，得到的函数的一个对称中心（）

A．B．C．（）D．（）

8．函数f（x）=•cosx的图象大致是（）

A．B．

C．D．

9．祖冲之之子祖暅是我国南北朝时代伟大的科学家，他在实践的基础上提出了体积计算的原理：“幂势既同，则积不容异”．意思是，如果两个等高的几何体在同高处截得的截面面积恒等，那么这两个几何体的体积相等．此即祖暅原理．利用这个原理求球的体积时，需要构造一个满足条件的几何体，已知该几何体三视图如图所示，用一个与该几何体的下底面平行相距为h（0＜h＜2）的平面截该几何体，则截面面积为（）

A．4πB．πh2C．π（2﹣h）2D．π（4﹣h）2

10．执行如图所示的程序框图，若输入p=2018，则输出i的值为（）

A．335 B．336 C．337 D．338

11．已知棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1，球O与该正方体的各个面相切，则平面ACB1截此球所得的截面的面积为（）

A．B．C．D．

12．若f（x）=sin3x+acos2x在（0，π）上存在最小值，则实数a的取值范围是（）

A．（0，）B．（0，]C．[，+∞）D．（0，+∞）

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上

13．已知向量=（1，2），=（x，3），若⊥，则|+|=．

14．已知α是锐角，且cos（α+）=，则cos（α﹣）=．

15．直线ax﹣y+3=0与圆（x﹣2）2+（y﹣a）2=4相交于M，N两点，若|MN|

≥2，则实数a的取值范围是．

16．若实数x，y满足不等式组，目标函数z=kx﹣y的最大值为12，最小值为0，则实数k=．

三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17．（12分）设S n为数列{a n}的前n项和，且S n=2a n﹣n+1（n∈N*），b n=a n+1．（1）求数列{b n}的通项公式；

（2）求数列{nb n}的前n项和T n．

18．（12分）如图，四边形ABCD为菱形，四边形ACEF为平行四边形，设BD

与AC相交于点G，AB=BD=2，AE=，∠EAD=∠EAB．

（1）证明：平面ACEF⊥平面ABCD；

（2）若∠EAG=60°，求三棱锥F﹣BDE的体积．

19．（12分）某市为了鼓励市民节约用电，实行“阶梯式”电价，将该市每户居民的月用电量划分为三档，月用电量不超过200度的部分按0.5元/度收费，超过200度但不超过400度的部分按0.8元/度收费，超过400度的部分按1.0元/度收费．

（1）求某户居民用电费用y（单位：元）关于月用电量x（单位：度）的函数解析式；

（2）为了了解居民的用电情况，通过抽样，获得了今年1月份100户居民每户的用电量，统计分析后得到如图所示的频率分布直方图，若这100户居民中，今年1月份用电费用不超过260元的点80%，求a，b的值；

（3）在满足（2）的条件下，若以这100户居民用电量的频率代替该月全市居民用户用电量的概率，且同组中的数据用该组区间的中点值代替，记Y为该居民

用户1月份的用电费用，求Y的分布列和数学期望．

20．（12分）已成椭圆C： +=1（a＞b＞0）的离心率为．其右顶点与

上顶点的距离为，过点P（0，2）的直线l与椭圆C相交于A、B两点．（1）求椭圆C的方程；

（2）设M是AB中点，且Q点的坐标为（，0），当QM⊥AB时，求直线l 的方程．

21．（12分）已知函数f（x）=（ax+1）lnx﹣ax+3，a∈R，g（x）是f（x）的导函数，e为自然对数的底数．

（1）讨论g（x）的单调性；

（2）当a＞e时，证明：g（e﹣a）＞0；

（3）当a＞e时，判断函数f（x）零点的个数，并说明理由．

[选修4-4：坐标系与参数方程]

22．（10分）在直角坐标系中xOy中，曲线E的参数方程为（α为参数），以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．

（1）写出曲线E的普通方程和极坐标方程；

（2）若直线l与曲线E相交于点A、B两点，且OA⊥OB，求证： +

为定值，并求出这个定值．

[选修4-5：不等式选讲]

23．已知f（x）=|x+a|，g（x）=|x+3|﹣x．

（1）当a=1，解不等式f（x）＜g（x）；

（2）对任意x∈[﹣1，1]，f（x）＜g（x）恒成立，求a的取值范围．

2018年广东省深圳市高考数学一模试卷（文科）

参考答案与试题解析

一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．若集合A={2，4，6，8}，B={x|x2﹣9x+18≤0}，则A∩B=（）A．{2，4}B．{4，6}C．{6，8}D．{2，8}

【考点】交集及其运算．

【分析】求出B中不等式的解集确定出B，找出A与B的交集即可．

【解答】解：∵A={2，4，6，8}，B={x|x2﹣9x+18≤0}={x|（x﹣3）（x﹣6）≤0}={x|3≤x≤6}，

∴A∩B={4，6}，

故选：B．

【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．

2．若复数（a∈R）为纯虚数，其中i为虚数单位，则a=（）

A．﹣3 B．﹣2 C．2 D．3

【考点】复数代数形式的乘除运算．

【分析】由复数代数形式的乘除运算化简复数，又根据复数（a∈R）为纯虚数，列出方程组，求解即可得答案．

【解答】解：==，

∵复数（a∈R）为纯虚数，

∴，

解得：a=﹣2．

故选：B．

【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．

3．袋中装有大小相同的四个球，四个球上分别标有数字“2”，“3”，“4”，“6”．现从中随机选取三个球，则所选的三个球上的数字能构成等差数列的概率是（）

A．B．C．D．

【考点】古典概型及其概率计算公式．

【分析】现从中随机选取三个球，基本事件总数n==4，所选的三个球上的数字能构成等差数列包含的基本事件的个数，由此能求出所选的三个球上的数字能构成等差数列的概率．

【解答】解：袋中装有大小相同的四个球，四个球上分别标有数字“2”，“3”，“4”，“6”，

现从中随机选取三个球，

基本事件总数n==4，

所选的三个球上的数字能构成等差数列包含的基本事件有：

（2，3，4），（2，4，6），共有2个，

∴所选的三个球上的数字能构成等差数列的概率是p==．

故选：C．

【点评】本题考查概率的求法及应用，是基础题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公式的合理运用．

4．设a=0.23，b=log0.30.2，c=log30.2，则a，b，c大小关系正确的是（）A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．b＞c＞a D．c＞b＞a

【考点】对数值大小的比较．

【分析】利用指数函数与对数函数的单调性即可得出．

【解答】解：a=0.23=0.008，b=log0.30.2＞log0.30.3=1，c=log30.2＜1，

∴b＞a＞c，

故选：B．

【点评】本题考查了指数函数与对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．

5．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cosC=，a=1，c=2，则△ABC的面积为（）

A．B．C．D．

【考点】正弦定理．

【分析】由题意cosC=，a=1，c=2，余弦定理求解b，正弦定理在求解sinB，

那么△ABC的面积即可．

【解答】解：由题意cosC=，a=1，c=2，

那么：sinC=，

cosC==，解得b=2．

由，可得sinB=，

那么△ABC的面积=

故选A

【点评】本题主要考查了余弦定理，正弦定理的运用，属于基础题．

6．若双曲线的焦点到渐近线的距离是焦距的，则该双曲线的离心率为（）

A．B．C．2 D．

【考点】双曲线的简单性质．

【分析】利用双曲线的焦点到渐近线的距离是焦距的，列出关系式求解离心率即可．

【解答】解：设双曲线方程：，可得渐近线方程为：bx﹣ay=0，焦点坐标（c，0），

双曲线的焦点到渐近线的距离是焦距的，

可得：，

整理得：5b2=4c2，即c2=5a2，解得e=．

故选：D．

【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查计算能力．

7．将函数y=sin（6x+）的图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍，再向右平

移个单位，得到的函数的一个对称中心（）

A．B．C．（）D．（）

【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；正弦函数的对称性．

【分析】先根据三角函数图象变换规律写出所得函数的解析式，再根据三角函数的性质进行验证：若f（a）=0，则（a，0）为一个对称中心，确定选项．

【解答】解：函数的图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍得到

图象的解析式为

再向右平移个单位得到图象的解析式为=sin2x

当x=时，y=sinπ=0，所以是函数y=sin2x的一个对称中心．

故选A．

【点评】本题考查了三角函数图象变换规律，三角函数图象、性质．是三角函数中的重点知识，在试题中出现的频率相当高．

8．函数f（x）=•cosx的图象大致是（）

A．B．

C．D．

【考点】函数的图象．

【分析】先判断函数的奇偶性，再判断函数值，问题得以解决．

【解答】解：f（﹣x）=•cos（﹣x）=•cosx=﹣f（x），

∴f（x）为奇函数，

∴函数f（x）的图象关于原点对称，

当x∈（0，）时，cosx＞0，＞0，

∴f（x）＞0在（0，）上恒成立，

故选：C

【点评】本题考查了函数图象的识别，关键是掌握函数的奇偶性和函数值，属于基础题

9．祖冲之之子祖暅是我国南北朝时代伟大的科学家，他在实践的基础上提出了体积计算的原理：“幂势既同，则积不容异”．意思是，如果两个等高的几何体在同高处截得的截面面积恒等，那么这两个几何体的体积相等．此即祖暅原理．利用这个原理求球的体积时，需要构造一个满足条件的几何体，已知该几何体三视图如图所示，用一个与该几何体的下底面平行相距为h（0＜h＜2）的平面截该

几何体，则截面面积为（）

A．4πB．πh2C．π（2﹣h）2D．π（4﹣h）2

【考点】由三视图求面积、体积．

【分析】由题意，首先得到几何体为一个圆柱挖去一个圆锥，得到截面为圆环，明确其半径求面积．

【解答】解：由已知得到几何体为一个圆柱挖去一个圆锥，底面半径为2高为2，设截面的圆环，小圆半径为r，则为\frac{h}{2}=\frac{r}{2}$，得到r=h，所以截面圆的面积为πh2；

故选B．

【点评】本题考查了几何体得到三视图以及截面面积的求法；关键是明确几何体形状，然后得到截面的性质以及相关的数据求面积．

10．执行如图所示的程序框图，若输入p=2018，则输出i的值为（）

A．335 B．336 C．337 D．338

【考点】程序框图．

【分析】根据题意，模拟程序框图的运行过程，即可得出输出i的值．

【解答】解：模拟程序的运行，可得程序框图的功能是统计1到2018这些数中能同时被2和3整除的数的个数i，

由于：2018=336×6+1，

故程序框图输出的i的值为337．

故选：C．

【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时模拟程序框图的运行过程，正确得出程序框图的功能是解题的关键，属于基础题．

11．已知棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1，球O与该正方体的各个面相切，则平面ACB1截此球所得的截面的面积为（）

A．B．C．D．

【考点】球的体积和表面积．

【分析】求出平面ACB1截此球所得的截面的圆的半径，即可求出平面ACB1截此球所得的截面的面积．

【解答】解：由题意，球心与B的距离为=，B到平面ACB1的距离

为=，球的半径为1，球心到平面ACB1的距离为﹣=，

∴平面ACB1截此球所得的截面的圆的半径为=，

∴平面ACB1截此球所得的截面的面积为=，

故选D．

【点评】本题考查平面ACB1截此球所得的截面的面积，考查学生的计算能力，属于中档题．

12．若f（x）=sin3x+acos2x在（0，π）上存在最小值，则实数a的取值范围是（）

A．（0，）B．（0，]C．[，+∞）D．（0，+∞）

【考点】三角函数的最值．

【分析】设t=sinx，由x∈（0，π）和正弦函数的性质求出t的范围，将t代入f （x）后求出函数的导数，求出临界点，根据条件判断出函数的单调性，由导数与函数单调性的关系列出不等式，求出实数a的取值范围．

【解答】解：设t=sinx，由x∈（0，π）得t∈（0，1]，

∵f（x）=sin3x+acos2x=sin3x+a（1﹣sin2x），

∴f（x）变为：y=t3﹣at2+a，

则y′=3t2﹣2at=t（3t﹣2a），

由y′=0得，t=0或t=，

∵f（x）=sin3x+acos2x在（0，π）上存在最小值，

∴函数y=t3﹣at2+a在（0，1]上递减或先减后增，

即＞0，得a＞0，

∴实数a的取值范围是（0，+∞），

故选：D．

【点评】本题考查正弦函数的性质，导数与函数单调性的关系，以及构造法、换元法的应用，考查化简、变形能力．

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上

13．已知向量=（1，2），=（x，3），若⊥，则|+|=5．

【考点】平面向量的坐标运算．

【分析】⊥，可得=0，解得x．再利用向量模的计算公式即可得出．

【解答】解：∵⊥，∴=x+6=0，解得x=﹣6．

∴=（﹣5，5）．

∴|+|==5．

故答案为：5．

【点评】本题考查了向量垂直与数量积的关系、向量模的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．

14．已知α是锐角，且cos（α+）=，则cos（α﹣）=．

【考点】两角和与差的余弦函数．

【分析】由已知利用诱导公式可求sin（α﹣）=，结合角的范围，利用同角三角函数基本关系式计算可解．

【解答】解：∵cos（α+）=sin[﹣（α+）]=sin（α﹣）=，

∵α是锐角，α﹣∈（﹣，），

∴cos（α﹣）===．

故答案为：．

【点评】本题主要考查了诱导公式，同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．

15．直线ax﹣y+3=0与圆（x﹣2）2+（y﹣a）2=4相交于M，N两点，若|MN|

≥2，则实数a的取值范围是a≤﹣．

【考点】直线与圆相交的性质．

【分析】由圆的方程找出圆心坐标与半径r，利用点到直线的距离公式表示出圆

心到直线的距离d，利用|MN|≥2，建立不等式，即可得到a的范围．

【解答】解：由圆的方程得：圆心（2，a），半径r=2，

∵圆心到直线ax﹣y+3=0的距离d=，|MN|≥2，

∴，

解得：a≤﹣，

故答案为：a≤﹣．

【点评】此题考查了直线与圆相交的性质，涉及的知识有：圆的标准方程，点到直线的距离公式，垂径定理，勾股定理，熟练掌握公式及定理是解本题的关键．

16．若实数x，y满足不等式组，目标函数z=kx﹣y的最大值为12，

最小值为0，则实数k=3．

【考点】简单线性规划．

【分析】先画出可行域，得到角点坐标．利用k与0的大小，分类讨论，结合目标函数的最值求解即可．

【解答】解：实数x，y满足不等式组的可行域如图：得：A（1，3），

B（1，﹣2），C（4，0）．

①当k=0时，目标函数z=kx﹣y的最大值为12，最小值为0，不满足题意．

②当k＞0时，目标函数z=kx﹣y的最大值为12，最小值为0，当直线z=kx﹣y 过C（4，0）时，Z取得最大值12．

当直线z=kx﹣y过A（3，1）时，Z取得最小值0．

可得k=3，满足题意．