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第四章 随机信号的功率谱密度

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4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6

功率谱密度 功率谱密度与自相关函数之间的关系 功率谱密度的性质 互谱密度及其性质 白噪声与白序列 功率谱估值的经典方法

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4.1

功率谱密度

确定时间函数

频谱 能量

S (ω ) = ∫ s(t )e jωt dt ∞

∞

1 E = ∫ s ( t ) dt = ∞ 2π2

∞

∫

∞

∞

S (ω ) d ω

2

时域内信号的能量等于频域内信号的能量 能谱密度

S (ω )

2

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4.1

功率谱密度

随机过程 随机信号的能量一般是无限的，但是其平均功率是有限的。 因此可推广频谱分析法，引入功率谱的概念。

G X (ω ) = E[G X (ω , ξ )] 1 2 = E lim X T (ω , ξ ) T →∞ 2T 1 2 = lim E X T (ω , ξ ) T →∞ 2T

[

]

Gx(ω)被称为随机过程X(t)的功率谱密度函数，功率谱密 度是从频率角度描述随机过程X(t)的统计特性的最主要的 数字特征。

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4.1

功率谱密度

随机过程 随机过程X(t)的平均功率为：

W = E[Wξ ]2 1 T = lim ∫ T E[ X (t ) ]dt T →∞ 2T 1 ∞ = ∫ ∞ GX (ω )dω 2π

功率谱密度仅表示X(t)的平均功率在频域上的分布，不包 含任何相位信息。

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4.2

功率谱密度与自相关函数之间的关系

维纳-辛钦定理

S X (ω ) = ∫ RX (τ )e jωτ dτ ∞

∞

1 RX (τ ) = 2π∞

∫

∞

∞

S X (ω )e jωτ dω

成立条件是Rx(τ)和Sx(ω)绝对可积

∫ ∫

∞ ∞

R X (τ ) dτ < ∞ S X (ω ) dω < ∞

∞

即随机过程平均功率有限，应不能含有直流成分或周期性成 分

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4.2

功率谱密度与自相关函数之间的关系

维纳-辛钦定理 当τ=0时

1 RX (0) = E [ X (t )] = 2π2

∫

∞

∞

S X (ω )dω

可知

RX (0) = E [ X 2 (t )]是平稳随机过程X(t)的平均功率。

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4.2

功率谱密度与自相关函数之间的关系

维纳-辛钦定理 我们借助于δ-函数，将维纳-辛钦公式推广应用到含有直流 或周期性成分的平稳过程中来。 (1)如果所遇的问题中，平稳过程有非零均值，这时正常 意义下的付氏变换不存在，但非零均值可用频域原点处的 δ-函数表示。该δ-函数的权重即为直流分量的功率。 (2)当平稳过程含有对应于离散频率的周期分量时，该成 分就在频域的相应频率上产生δ-函数。

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4.2

功率谱密度与自相关函数之间的关系

典型的傅氏变换δ (t )1 cos ω0t ←→ ←→ ←→ 1 2πδ (ω )

sin( t / 2) ←→ 2π t / 2 e e a τ

←→ cos ω0τ ←→

a τ

rect ( ) 2a a2 + ω 2 a a + 2 a 2 + (ω ω0 ) 2 a + (ω + ω0 ) 2 sin 2 ( ) 2 ( )2 2

πδ (ω ω0 ) + πδ (ω + ω0 ) ω

1 τ , τ ≤ 1 0, 其他

ω

←→

ω

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4.3

功率谱密度的性质

性质1: 非负性， Gx(ω)≥0 性质2: GX(ω)是实函数 性质3: Gx(ω)是偶函数，即 性质4:

G X (ω ) = G X ( ω )

G X '

(ω ) = ω G X (ω )2

其中X ' (t ) = dX (t ) / dt

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4.3

功率谱密度的性质

性质5:有理谱密度是实际应用中最常见的一类功率谱密 度，自然界和工程实际的有色噪声常常可用有理函数形式 的功率谱密度来逼近。它应具有如下形式：

ω 2 n + a 2 n 2ω 2 n 2 + + a 0 G X (ω ) = G0 2 m 2m 2 ω + b2 m 2ω + + b0

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4.4

互谱密度及其性质

互谱密度 定义实过程X(t)和Y(t)的互谱密度函数为E[YT (ω , ξ ) X T (ω , ξ )] E[YT ( ω , ξ ) X T (ω , ξ )] GYX (ω ) = lim = lim T →∞ T →∞ 2T 2T*

E[ X T (ω , ξ )YT (ω , ξ )] E[ X T ( ω , ξ )YT (ω , ξ )] = lim G XY (ω ) = lim T →∞ T →∞ 2T 2T*

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4.4

互谱密度及其性质

互谱密度性质 1.

G XY (ω ) = GYX ( ω ) = G (ω ) = G ( ω )* YX * XY

2. Re[GXY(ω)]和Re[GYX(ω)]实部是ω的偶函数； Im[GXY(ω)]和Im[GYX(ω)]虚部是ω的奇函数。

Re[G XY (ω )] = Re[GXY ( ω )] = Re[GYX (ω )] = Re[GYX ( ω )]Im[GXY (ω )] = Im[GXY ( ω )] = Im[GYX (ω )] = Im[GYX ( ω )]3.若平稳过程X(t)和Y(t)相互正交，则有

G XY (ω ) = 0

GYX (ω ) = 0

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4.4

互谱密度及其性质

4. 若随机过程X(t)和Y(t)联合平稳，RXY(τ)绝对可积， 则互谱密度和互相关函数构成傅里叶变换对，即:

G XY (ω ) = ∫ R XY (τ )e ∞

∞

jωτ

dτ

GYX (ω ) = ∫ RYX (τ )e ∞

∞

jωτ

dτdω

1 R XY (τ ) = 2π 1 RYX (τ ) = 2π

∫

∞

∞

G XY (ω )e

jωτ

∫

∞

∞

GYX (ω )e jωτ dω

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4.4

互谱密度及其性质

5. 若X(t)和Y(t)是两个不相关的平稳过程，分别有均值mX 和mY,则

G XY (ω ) = GYX (ω ) = 2πm X mY δ (ω )Q RXY (τ ) = E[ X (t )Y (t + τ )] = E[ X (t )]E[Y (t + τ )] = m X m Y = R YX (τ )6. 互谱密度的幅度平方满足

G XY (ω ) ≤ G X (ω )GY (ω )2

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4.4

互谱密度及其性质

相干函数定义

γ XY (ω ) =

G XY (ω ) G X (ω )GY (ω )1/ 2

相干函数用于数据分析，系统辨识和功率谱估计