Chapter5 Stresses in beams

(Stresses in Beams)

第五章 弯曲应力 (Stresses in beams)§5-1 引言 ( Introduction) §5-2 纯弯曲时的正应力 (Normal stresses in pure beams ) §5-3 横力弯曲时的正应力(Normal stresses in transverse bending ) §5-4 梁的切应力及强度条件 (Shear stresses in beams and strength condition) §5-5 提高梁强度的主要措施(Measures to strengthen the strength of beams)

(Stresses in Beams)一、弯曲构件横截面上的应力 (Stresses in flexural members)

§5-1 引言

(Introduction)m

M

当梁上有横向外力作用时，一般情况下， 梁的横截面上既又弯矩M,又有剪力FS. 剪力FS 切应力 m FS m

弯矩M 正应力 只有与切应力有关的切向内力元素 dFS = dA 才能合成剪力； 只有与正应力有关的法向内力元素 dFN = dA 才能合成弯矩.所以，在梁的横截面上一般既有正应力， 又有切应力.

内力

m m

FS M

m

平面弯曲时横截面 纯弯曲梁(横截面上只有M而无FS的情况) 平面弯曲时横截面 横力弯曲(横截面上既有FS又有M的情况) F F

(Stresses in Beams) 二、分析方法 (Analysis method)

三、纯弯曲(Pure bending)

若梁在某段内各横截面的弯矩为 常量，剪力为零，则该段梁的弯曲就

A C aD

B

a

称为纯弯曲.简支梁CD段任一横截面上，剪 力等于零，而弯矩为常量，所以该段

F

+ +FaF

梁的弯曲就是纯弯曲.

+

(Stresses in Beams)

§5-2 纯弯曲时的正应力 (Normal stresses in pure beams )deformation geometric relationship physical relationshipExamine the deformation, then propose the hypothesis

Distribution regularity of deformation

变 形 几 何 关 系 物 理 关 系 静 力 关 系

观察变形， 提出假设

变形的分布规律

Distribution regularity of stress

应力的分布规律

static relationshipEstablish the formula

建立公式

(Stresses in Beams) 一、实验( Experiment)1.变形现象(Deformation phenomenon ) 纵向线 各纵向线段弯成弧线， 且靠近顶端的纵向线缩短， 靠近底端的纵向线段伸长. 横向线 各横向线仍保持为直线， 相对转过了一个角度，

仍与变形后的纵向弧线垂直.

(Stresses in Beams)2.提出假设 ( Assumptions) (a)平面假设：变形前为平面的横截面变形后仍保持为平面且垂直于变形 后的梁轴线； (b)单向受力假设：纵向纤维不相互挤

压，只受单向拉压.推论：必有一层变形前后长度不变的纤维—中性层中性轴

中性轴 ⊥横截面对称轴中性层 横截面对称轴

(Stresses in Beams) 二、变形几何关系( Deformation geometric relation )dx

dxO

d

O

x O yb

z b 图(a)y

O’b’ z y

O’

x b’

图(b)

图(c)

b b ( + y )d 应变分布规律：

( + y )d d y d bb dx OO O'O' d

直梁纯弯曲时纵向纤维的应变与它到中性层的距离成正比.

(Stresses in Beams) 三、物理关系(Physical relationship)Hooke’s Law 所以 σ E

σ Eεy?

MO

z

x

?y

应力分布规律： 直梁纯弯曲时横截面上任意一点的正应力，与它到中性轴

的距离成正比.待解决问题 中性轴的位置 中性层的曲率半径

?

(Stresses in Beams) 四、静力关系 (Static relationship)横截面上内力系为垂直于横截 面的空间平行力系，这一力系简化 得到三个内力分量. M

Mz

z

内力与外力相平衡可得

O

y

dA

x σdA

FN

σ FN A dFN A dA 0A A

(1)

My

y

M iy dM y zσdA 0 (2)

dFN σdAdM y z dA dM z y dA

M iz dM z yσdA M (3) A A

(Stresses in Beams)将应力表达式代入(1)式，得

FN E dA 0A

y

E

A

ydA 0

S z ydA 0A

中性轴通过横截面形心 将应力表达式代入(2)式，得

M iy zE dA 0A

y

E

A

yzdA 0

I yz A yzdA 0

自然满足 将应力表达式代入(3)式，得

M iz yE dA MA

y

E1

A y dA M 2

E

Iz M

M E Iz

(Stresses in Beams)将

M y 代入 σ E EI z My σ IzM为梁横截面上的弯矩； y为梁横截面上任意一点到中性轴的距离；

1

得到纯弯曲时横截面上正应力的计算公式:

Iz为梁横截面对中性轴的惯性矩.

(Stresses in Beams)如右图结构，用公式计算正应力误差如下表 ：

Ph

L

L/ h %

1 26

2 6.67

3 2.96

4 1.96

5 1.05

6 0.74

8 0.42

10 0.27

剪力为主

弹力计算区

材力求解区

(Stresses in Beams)讨论 (1)应用公式时，一般将 My 以绝对值代入. 根据梁变形的情 况直接判断 的正负号. 以中性轴为界，梁变形后凸出边的应 力为拉应力( 为正号).凹入边的应力为压应力( 为负号); (2)最大正应力发生在横截面上离中性轴最远的点处.

σ max

M ymax Iz

Iz 引用记号 W —抗弯截面系数 ymax M σmax 则公式改写为 W

(Stresses in Beams)(1)当中性轴为对称轴时

Iz πd / 64 πd 实心圆截面 W d /2 d /2 324

3

d z

yb

矩形截面

Iz bh3 / 12 bh2 W h/ 2 h/ 2 6

h

z y D d

πD 3 空心圆截面 W (1 4 ) 32

d α D

z y

(Stresses in Beams)(2)对于中性轴不是对称轴的横截面 应分别以横截面上受拉和受压部分距中性轴最远的距离

yc max 和 yt max 直接代入公式 My σ Iz σc maxyc maxM

σ t max z

My t max Iz Myc max Iz

yt maxy

σ c max σ tmax