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高等数学A

第5章 空间解析几何

5.6 空间曲线及其方程

中南大学开放式精品示范课堂高等数学建设组

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5.6 空间曲线及其方程

5.6.1 空间曲线方程引例 曲 面 及 其 方 程 5.6.2 空间曲线的一般方程

5.6.3 空间曲线的参数方程 5.6.4 空间曲线在坐标面上的投影 5.6.5 小结

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5.6.1 空间曲线及其方程引例

引例：在空间直角坐标系中， 圆柱面x2+y2=1与平面

x+y+z=2的交线是什么图形？ z

表示圆柱面与平面的交线为一个椭圆

x

0

y

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5.6.1 空间曲线及其方程引例

引例：在空间直角坐标系中，旋转抛物面 x 2 y 2 2 z 与球面 x 2 y 2 z 2 1的交线是什么图形？一般来 说， G( x, y, z ) 0 代表什么图形？ F ( x, y, z ) 0 ，

交线为平面 z 2 1 上的一个圆：

x2 y 2 2( 2 1), z 2 1

F ( x, y, z ) 0 一般来说， 代表一条空间曲线。 G( x, y, z ) 0

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5.6.2 空间曲线的一般方程

空间曲线C可看作空间两曲面的交线.

F ( x, y, z ) 0 G ( x , y , z ) 0

空间曲线的一般方程 特点：曲线上的点都满足 方程，满足方程的点都在 曲线上，不在曲线上的点 不能同时满足两个方程.

z

S1 S2

o

x

C

y

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5.6.2 空间曲线的一般方程

x2 y2 1 例1 方程组 表示怎样的曲线？ 2 x 3 y 3 z 6

解

x 2 y 2 1 表示圆柱面，

2 x 3 y 3 z 6 表示平面，

x2 y2 1 2 x 3 y 3 z 6

交线为椭圆.

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5.6.2 空间曲线的一般方程

x2 y2 z 2 1 例2 方程组 2 表示怎样的曲线？ 2 2 x y ( z 1) 1

z

解

x2 y 2 z 2 1

x2 y2 ( z 1)2 1

均表示球面， 两个球面的交线为圆.

x

y

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5.6.2 空间曲线的一般方程

z a2 x2 y2 2 例3 方程组 表示怎样的曲线？ a 2 a 2 ( x ) y 2 4 2 2 2 z a x y 解

上半球面,

2 a 2 a 圆柱面, ( x ) y2 2 4

z

交线如图.

y

0 x

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5.6.3 空间曲线的参数方程

x x( t ) y y( t ) 空间曲线的参数方程 z z(t )

当给定 t t1 时，就 得到曲线上的一个点

( x1 , y1 , z1 ) ，随着参数的变化可得到曲线上的全

部点.

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5.6.3 空间曲线的参数方程 2 2 2 例 4 如果空间一点 M 在圆柱面 x y a 上以 角速度 绕 z 轴旋转，同时又以线速度 v 沿平行于 z 轴的正方向上升（其中 、 v 都是常数），那么点 M 构成的图形叫做螺旋线．试建立其参数方程． z 取时间t为参数， 动点从A点出 解 发，经过t时间，运动到M点 M 在 xoy 面的投影 M ( x , y ,0)

t

o

x A

M

x a cos t y a sin t z vt

y

M

螺旋线的参数方程

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5.6.3 空间曲线的参数方程 螺旋线的参数方程还可以写为

x a cos

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