一维谐振子的零点能问题问题(书36页例1.10题):估计一维谐振子的最小可能能量(零点能)疑问：书上凭什么用下面两个关系，怎么来的？Δx= xΔp= p释疑：有些问题难以理解，这是因为没有用规范的量子力学方法去处理，这里给出规范的求解方法。先澄清一下，下面的说法在一般书上都有，初学者需留心，否则会引起概念混淆：

已知沿x方向的线性谐振子能量为：1 1 2 2 E= m v+ kx 2 2

这种经典力学的提法会引起这样的概念误解：“能量等于动能加势能”。学了量子力学后，还持有这样的看法就错了！因为它承认了动量(动能)和位置可以同时测到！量子力学里谈力学量的值，一定是针对某个量子态而言的平均值(即通过在该量子态进行测量得到的)!如果这个量子态是该力学量的本征态，则平均值就是相应本征态的本征值(每次测量结果都相同，确定的);如果不是本征态，则平均值是很多本征值的概率相加(每次测量结果取值不固定，但取某个值的概率是确定的)。

准确提法是平均能量等于平均动能加平均势能：已知沿x方向的线性谐振子的平均能量为：2 1 1 p 1 2 2 2 E= m v+ kx=+ kx 2 2 2m 2

( )

下一步是求 p 2、x 2这两个平均值。 的平均值是：在某个量子态ψ测量力学量 A

ψ ( x ) d x (一维情形) A=∫ψ * ( x) A 与波函数ψ的位置不 *表示取复共轭。注意算符 A ( x )则可交换位置，因能随便交换，对势能算符 U为在坐标表象它就是一个普通函数。

我们看看 p 2、x 2和Δp、Δx的关系。 的不确定度ΔA定义为：一个力学量 A

ΔA= ( A A ) 2= A 2 A 2

( )

可证明，对谐振子的任何一个能量本征态ψ n有： * * ψ n ( x) d x=∫ψ n x=∫ψn ( x) x ( x ) xψ n ( x ) d x= 0 ψ n ( x ) * * ψ n ( x ) d x= ih∫ψ n ( x ) p=∫ψ n ( x) p dx=0 x

这样根据上面的 式就有：Δx= x2 2

Δp 2= p 2

代入到平均能量 式就有：2 h 1Δp 2 1 2 2 2 m xω E=+ kΔ x用Δ x Δ p~ h 2+Δ 2m 2 8mΔx 2 2

剩下求极值就可以了。扩展：量子力学里可证明：对不连续谱的能量本征态(束缚态分立谱),动量在这个态的平均值为零。下面就用力学量算符的厄米性质以及它们之间的对易关系来严格证明对一维谐振子的能量本征态：x= 0, p=0

(1)对易关系 xx ψ= ih p ψ p xψ ( xψ )= i hψ+ x ( i h )= ihψ+ x x x

p x p xx )ψ= ihψ对任意函数成立，所以： (x

x的对易关系 , p x]≡ x p x p xx ≡ ih称为 x[x 和 p

量子力学中有很多力学量算符，它们之间的对易关系很重要，坐标和动量的对

易关系是最基本的。从对易关系式看，如果两个算符次序可交换，即： ,B B =0 ]= A B A[A

则称两算符对易，否则称为不对易。

显然坐标和动量算符是不对易的。对易的两算符对应的力学量可同时测准，不对易的不能同时测准，要受不确定关系的制约。 (2)厄米算符量子力学中的力学量算符都是厄米算符，为什么，因为厄米算符的本征值是实数，这样才能保证力学量是可测量的量。厄米算符是这样定义的，以一维为例，使下式成立的算符就称为厄米算符：

∫

ψ ( x )] d x=[ A ( x )]ψ ( x ) d x ( x )[ A∫

只对ψ ( x )作用，等式右边 A 注意：等式左边 A 只对 ( x )作用。

(3)一维谐振子问题一维谐振子哈密顿量：2 x p x 1 p 1 2 p x = x H=+ kx+ kx 2m 2 2m 2

, p x]≡ x p x p xx ≡ ih x的对易关系[ x 和 p利用 x

可证明下面的对易关系：ih 1 2 x[ x, H]=[ x, px]= p m 2m ]= 1 k[ p x,H x, x 2]= i h kx [p 2

对谐振子的任何一个能量本征态ψ n有： ] x,H[p ψ n ( x) d x=∫ψ ( x)ψ n ( x) d x x=∫ψ ( x) x ihk 1 * H p x )ψ n ( x ) d x=ψ ( x )( p H n x∫ ihk* n * n

1 * ψ ( x) d x ψ * ( x)H p ψ ( x ) p Hψ ( x ) d x= x n x n∫ n ∫ n ihk xψ n ( x )的结果是某注意保持算符次序。对第2项，p

的厄米性，通过换位得到：个函数，这样利用 H1 * ψ ( x) d x [H *ψ * ( x )] p ψ ( x ) p Hψ ( x ) d x= x n n x n∫ ∫ n ihk

对谐振子的任何一个能量本征态ψ n有： ψ ( x )= Eψ ( x ), H n n n *ψ * ( x )=[ H ψ ( x )] = Eψ * ( x ) H n n n n

(厄米算符本征值是实数)代入可得：1[ x= ihk* * xψ n ( x ) d xψ ( x ) p Eψ ( x ) d x Eψ x n n∫ n∫ n n ( x) p

]

本征值是数字，与算符可随意换位，所以：x= 0,类似步骤可证明 p= 0

算符次序不能算便颠倒，除非两者对易。几个算符相乘后作用到一个函数上，总是靠右边的先作用。