二次函数知识点、考点、典型试题集锦(带详细解析答案)

一、中考要求：

1．经历探索、分析和建立两个变量之间的二次函数关系的过程，进一步体验如何用数学的

方法描述变量之间的数量关系．

2．能用表格、表达式、图象表示变量之间的二次函数关系，发展有条理的思考和语言表达

能力；能根据具体问题，选取适当的方法表示变量之间的二次函数关系．

3．会作二次函数的图象，并能根据图象对二次函数的性质进行分析，逐步积累研究函数性

质的经验．

4．能根据二次函数的表达式确定二次函数的开口方向，对称轴和顶点坐标．

5．理解一元二次方程与二次函数的关系，并能利用二次函数的图象求一元二次方程的近似

根．

6．能利用二次函数解决实际问题，能对变量的变化趋势进行预测．

二、中考卷研究

(一)中考对知识点的考查：

:

(二)中考热点：

二次函数知识是每年中考的重点知识，是每卷必考的主要内容，本章主要考查二次函数的概念、图象、性质及应用，这些知识是考查学生综合能力，解决实际问题的能力．因此函数的实际应用是中考的热点，和几何、方程所组成的综合题是中考的热点问题．

三、中考命题趋势及复习对策

二次函数是数学中最重要的内容之一，题量约占全部试题的10％～15％，分值约占总

分的10％～15％，题型既有低档的填空题和选择题，又有中档的解答题，更有大量的综合题，近几年中考试卷中还出现了设计新颖、贴近生活、反映时代特征的阅读理解题、开放探索题、函数应用题，这部分试题包括了初中代数的所有数学思想和方法，全面地考查学生的计算能力，逻辑思维能力，空间想象能力和创造能力。

针对中考命题趋势，在复习时应首先理解二次函数的概念，掌握其性质和图象，还应注重其应用以及二次函数与几何图形的联系，此外对各种函数的综合应用还应多加练习.

★★★(I)考点突破★★★

考点1：二次函数的图象和性质

一、考点讲解： 21．二次函数的定义：形如y ax bx c（a≠0，a，b，c为常数）的函数为二次函数．

2．二次函数的图象及性质：

⑴ 二次函数y=ax2 (a≠0）的图象是一条抛物线，其顶点是原点，对称轴是y轴；当a＞0

时，抛物线开口向上，顶点是最低点；当a＜0时，抛物线开口向下，顶点是最高点；a越小，抛物线开口越大．y=a(x－h)2＋k的对称轴是x=h，顶点坐标是（h，k）。

24ac b2bby ax bx c⑵ 二次函数的图象是一条抛物线．顶点为（－），对称轴x=－；2a4a2a

当a＞0时，抛物线开口向上，图象有最低点，且x＞－2a，y随x的增大而增大，x＜－2a，y随x的增大而减小；当a＜0时，抛物线开口向下，图象有最高点，且x＞－2a，y随x的增大而减小，x＜－2a，y随x的增大而增大．

注意：分析二次函数增减性时，一定要以对称轴为分界线。首先要看所要分析的点是否

是在对称轴同侧还是异侧，然后再根据具体情况分析其大小情况。

解题小诀窍：二次函数上两点坐标为（x1,y），（x2,y），即两点纵坐标相等，则其对称轴为直线x x1 x2。 2

4ac b2bb⑶ 当a＞0时，当x=－2a时，函数有最小值4a；当a＜0时，当 x=－2a时，函数有4ac b2

。最大值4a bbbb

3．图象的平移：将二次函数y=ax2 (a≠0）的图象进行平移，可得到y=ax2＋c，y=a(x－h)2，

y=a(x－h)2＋k的图象．

⑴ 将y=ax2的图象向上(c＞0）或向下(c< 0）平移|c|个单位，即可得到y=ax2＋c的图象．其

顶点是（0,c），形状、对称轴、开口方向与抛物线y=ax2相同．

⑵ 将y=ax2的图象向左（h<0）或向右(h＞0）平移|h|个单位，即可得到y=a(x－h)2的图象．其

顶点是（h，0），对称轴是直线x=h，形状、开口方向与抛物线y=ax2相同．

⑶ 将y=ax2的图象向左（h<0）或向右(h＞0）平移|h|个单位，再向上(k>0)或向下(k<0)平移

|k|个单位，即可得到y=a(x－h)2 +k的图象，其顶点是（h，k），对称轴是直线x=h，形状、开口方向与抛物线y=ax2相同．

注意：二次函数y=ax2 与y=－ax2 的图像关于x轴对称。平移的简记口诀是“上加下减，

左加右减”。

一、 经典考题剖析：

【考题１】.抛物线y= 4(x+2)2+5的对称轴是______

【考题2】函数y= x2－4的图象与y 轴的交点坐标是（ ）

A.（2，0） B.（－2，0）

C.（0，4） D.（0，－4）

【考题３】在平面直角坐标系内，如果将抛物线y 2x向右平移2个单位，向下平移3个单位，平移后二次函数的关系式是（）

Ａ．y 2(x 2) 3

Ｂ．y 2(x 2) 3

Ｃ．y 2(x 2) 3

Ｄ．y 2(x 2) 3 22222

答案：Ｂ。

【考题４】（2009、贵阳）已知抛物线y 3(x 4)2 3 的部分图象（如图1-2-1），图象再次与x轴相交时的坐标是（ ）

A．（5，0） B.（6，0）

C．（7，0） D.（8，0）

解：C 点拨：由y 3(x 4)2 3，可知其对称轴为x=4,而图象与x轴已交于(1，0)，则与x轴的另一交点为(7，0)。参考解题小诀窍。

2y ax bx c 【考题５】（深圳）二次函数11

图像如图所示，若点Ａ（１，y1），Ｂ（２，y2）是它的图像上两点，则y1与y2的大小关系是（）

Ａ．y

1y1＝y2

Ｃ．y1＞y2 Ｄ．不能确定

答案：Ｃ。点Ａ，Ｂ均在对称轴右侧。

三、针对性训练：( 分钟) (答案： )

1．已知直线y=x与二次函数y=ax2 －2x－1的图象的一个交点 M的横标为1，则a的值为

（ ）

A、2 B、1 C、3 D、 4

k2．已知反比例函数y= 的图象在每个象限内y随x的增大而增大，则二次函数y=2kx2 －x

x+k2的图象大致为图1－2－3中的（ ）

4．抛物线y=x2－４x＋5的顶点坐标是（ ）

A．（－2，1） B．（－2，－1）

C．（2，l） D．（2，－1）

５．二次函数 y=2（x－3）2+5的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标分别为（ ）

A．开口向下，对称轴x=－3，顶点坐标为（3,5）

B．开口向下，对称轴x＝3，顶点坐标为（3，5）

C．开口向上，对称轴x=－3，顶点坐标为(－3,5)

D．开口向上，对称轴x=－3，顶点(－3,－5）

６．二次函数y x2 bx c的图象上有两点(3，－8)和(－5，－8)，则此拋物线的对称轴是（ ）

A． x 4 B. x 3

C. x 5 D. x 1

7．在平面直角坐标系内，如果将抛物线y 3x2 向右平移3个单位，向下平移4个单位，

平移后二次函数的关系式是（ ）

Ａ．y 3(x 3)2 4

Ｂ．y 3(x 3)2 4

Ｃ．y 3(x 3)2 4

Ｄ．y 3(x 3)2 4

8..已知，点A（－1，y1），B（ ，C（－5，y3）在函数y x2的图像上，则2，y2）

y1，y2，y3的大小关系是（）

A . y1＞y2＞y3 B. y1＞y3＞y2

C. y3＞y2＞y1 D. y2＞y1＞y3

29．已知二次函数y1 ax bx c(a≠0）与一次函数y2=kx+m(k≠0）的图象相交于点A（－

2，4）,B(8，2)，如图1－2－7所示，能使y1＞y2成立的x取值范围是

_______

10.（襄樊）抛物线y x bx c的图像如图所示，则抛物线的解析式为_______。

11.若二次函数y x bx c的顶点坐标是（2，－1），则b=_______，c=_______。 22

12直线y=x+2与抛物线y=x2 +2x的交点坐标为____．

13读材料：当抛物线的解析式中含有字母系数时，随着系数中的字母取值的不同，抛物线

的顶点坐标也将发生变化．

例如：由抛物线y x2 2mx m2 2m 1①，有y=(x m)2 2m 1②，所以抛物线的顶点坐

x m,标为（m，2m－1），即 ③④。 y 2m 1

当m的值变化时，x、y的值随之变化，因而y值也随x值的变化而变化，将③代人④，得y=2x—1l⑤．可见，不论m取任何实数，抛物线顶点的纵坐标y和横坐标x都满足y=2x－1，回答问题：（1）在上述过程中，由①到②所用的数学方法是________，其中运用了_________公式，由③④得到⑤所用的数学方法是______；（2）根据阅读材料提供的方法，确定抛物线y x 2mx 2m 3m 1顶点的纵坐标与横坐标x之间的关系式_________. 14抛物线经过第一、三、四象限，则抛物线的顶点必在（ ）

A．第一象限 B．第二象限

C．第三象限 D．第四象限

15 已知M、N两点关于 y轴对称，且点 M在双曲线 y= 1上，点 N在直线上，设点M2x22

的坐标为(a，b)，则抛物线y=－abx2+(a＋b）x的顶点坐标为___.

16当b＜0时，一次函数y=ax+b和二次函数y=ax2＋bx＋c在同一坐标系中的图象大致是图1－2－9中的（ ）

考点2：二次函数的图象与系数的关系

一、考点讲解：

1、a的符号：a的符号由抛物线的开口方向决定．抛物线开口向上，则a＞0；抛物线开口

向下，则a＜0．

2、b的符号由对称轴决定，若对称轴是y轴，则b=0；若抛物线的顶点在y轴左侧，顶点的横坐标－2a＜0，即2a＞0，则a、b为同号；若抛物线的顶点在y轴右侧，顶点的横坐标－2a＞0，即2a＜0．则a、b异号．间“左同右异”．

3．c的符号：c的符号由抛物线与y轴的交点位置确定．若抛物线交y轴于正半，则c＞0，

抛物线交y轴于负半轴．则c＜0；若抛物线过原点，则c=0．

4．△的符号：△的符号由抛物线与x轴的交点个数决定．若抛物线与x轴只有一个交点，

则△=0；有两个交点，则△＞0．没有交点，则△＜0 ． 25、a+b+c与a－b+c的符号：a+b+c是抛物线y ax bx c(a≠0）上的点(1，a+b+c）的纵

2坐标，a－b+c是抛物线y ax bx c(a≠0）上的点（－1，a－b＋c）的纵坐标．根据

点的位置，可确定它们的符号.

二、经典考题剖析： 2【考题1】（2009、潍坊）已知二次函数y ax bx c的图象如图 l－2－2所示，则a、b、bbbb

c满足（ ）

A．a＜0，b＜0，c＞0

B．a＜0，b＜0，c＜0

C．a＜0，b＞0，c＞0

D．a＞0，b＜0，c＞0

解：A 点拨：由抛物线开口向下可知a＜0；与y轴交于正半轴可知c＞0；抛物线的对称轴在y轴左侧，可知－2a ＜0，则b＜0．故选A．

2【考题2】（2009、天津）已知二次函数y ax bx c (a≠0）且a＜0，a－b+c＞0，则一定b

有（ ）

A．b2－4ac＞0 B．b2－4ac＝0

C．b2－4ac＜0 D．b2－4ac≤0 2 解：A 点拨：a＜0，抛物线开口向下，y ax bx c经过（－1，a－b+c）点，因为a－b+c＞0，所以（－1，a－b+c）在第二象限，所以抛物线与x轴有两个交点，所以b2－4ac＞0，故选A． 2【考题３】（2009、重庆）二次函数y ax bx c的图象如图1－2－10，则

c点（b，）在（ ） a

A．第一象限 B．第二象限

C．第三象限 D．第四象限

解： 点拨：抛物线开口向下，所以a ＜0, 顶点在y轴右侧，a、b为异号，所以b＞0，

c抛物线交y轴于正半轴，所以c＞0，所以＜0，所以 M在第四象限． a

三、针对性训练：( 60分钟) 21．已知函数y ax bx c的图象如图1－2－11所示，给出下列关于系数a、b、c的不等

式：①a＜0，②b＜0，③c＞0，④2a＋b ＜0，⑤a＋b＋c＞0．其中正确的不等式的序号为___________- 22．已知抛物线y ax bx c与x轴交点的横坐标为－1，则a＋

c=_________.

2y ax bx c中，已知a：b：c=l：2：3，最小值为6，则此抛物线的解析式为3．抛物线

____________

4．已知二次函数的图象开口向下，且与y轴的正半轴相交，请你写出一个满足条件的二次

函数解析式： _______________. 25．抛物线y ax bx c如图1－2－12 所示，则它关于y轴对称的抛物线的解析式是___________.

6．若抛物线过点(1，0)且其解析式中二次项系数为1，则它的解析式为___________．（任写

一个） 27．已知二次函数y ax bx c的图象与x轴交于点（－2，0），(x1，0)且1＜x1＜2，与y·轴正半轴的交点连点(0，2）的下方，下列结论：①a＜b＜0；②2a+c＞0；③4a+c< 0，④2a－b+l＞0．其中的有正确的结论是（填写序号）__________．

28．若二次函数y ax bx c的图象如图，则ac_____0（“＜”“＞”或“=”）

第8题图

9．二次函数y ax2 bx c的图象如图 1－2－14所示，则下列

关于a、b、c间的关系判断正确的是（）

A．ab＜0 B、bc＜0

C．a+b＋c＞0 D．a－b十c＜0 210．抛物线y ax bx c（a＞0）的顶点在x轴上方的条件是（ ）

A．b2－4ac＜0 B．b2－4ac＞ 0 C．b2－4ac≥0

D． c ＜0

2411 二次函数⑴y=3x2；⑵y= x2；⑶y= x2的图象的开口大小顺序应为（ ） 33

A．（1）＞（2）＞（3）B．（1）＞（3）＞（2）

C．（2）＞（3）＞（1）D．（2）＞（1）＞（3）

考点3：二次函数解析式求法

一、考点讲解：

1．二次函数的三种表示方法：

⑴表格法：可以清楚、直接地表示出变量之间的数值对应关系；

⑵图象法：可以直观地表示出函数的变化过程和变化趋势；

⑶表达式：可以比较全面、完整、简洁地表示出变量之间的关系．

2．二次函数表达式的求法： 2 ⑴一般式法：若已知抛物线上三点坐标，可利用待定系数法求得y ax bx c；将已知

的三个点的坐标分别代入解析式，得到一个三元一次方程组，解这个方程组即可。

y a(x h)2 k ⑵顶点式法：若已知抛物线的顶点坐标或对称轴方程，则可采用顶点式：

其中顶点为(h，k)，对称轴为直线x=h；

⑶交点式法：若已知抛物线与x轴的交点坐标或交点的横坐标，则可采用交点式：

y a(x x1)(x x2),其中与x轴的交点坐标为（x，0），（x2，0）。 1

解题小诀窍：在求二次函数解析式时，要灵活根据题目给出的条件来设解析式。例如，

已知二次函数的顶点在坐标原点可设y ax；已知顶点（0，c），即在y轴上时可设2

y ax2 c；已知顶点（h，0）即顶点在x轴上可设y a(x h)2.

注意：当涉及面积周长的问题时，一定要注意自变量的取值范围。

二、经典考题剖析：

【考题1】（2009、长沙）如图1－2－16所示，要在底边BC=160cm，高AD=120cm的△ABC铁皮余料上，截取一个矩形EFGH，使点H在AB上，点G在AC上，点E、F在BC上，

AMHGAD交HG于点M 。 ADBC

(1)设矩形EFGH的长HG=y，宽HE=x，确定y与x的函数关系式；

(2)当x为何值时，矩形EFGH的面积S最大？

(3)以面积最大的矩形EFGH为侧面，围成一个圆柱形的铁桶，怎样围时，才能使铁桶的体积较大？请说明理由(注：围铁桶侧面时，接缝无重叠，底面另用材料配备)。

4120-xy 解：⑴∵△AHG ∽△ABC，所以AM HG，所以，所以y x 160 1201603ADBC

⑵∵矩形的面积S=xy，

4242 x 160x (x 120x 3600 3600) ∴S=33

= 4(x 60)2 4800, 3

所以x=60cm, S最大=4800㎝2.

⑶围圆柱形铁桶有两种情况：当x=60㎝时，

y 4 60 160 8c0m( ).3

第一种情况：以矩形EFGH的宽HE=60cm作铁桶的高，长HG=80cm作铁桶的底面周长，则底面半径R=80

2 cm，铁桶体积V1=80

2 60=96000

(㎝2)

第二种情况：以矩形EFGH的长HG=80cm作铁桶的高，宽HE=60cm作铁桶的底面周长，则底面半径R=60

2 cm，铁桶体积V2=60

2 80=720002. (㎝)

因为V1＞V2，所以以矩形EFGH的宽HE=60cm作铁桶的高，长HG=80cm作铁桶的底面周长围成的圆柱形铁桶的体积较大．

点拨：作铁桶时要分两种情况考虑，通过比较得到哪种情况围成的铁桶的体积大

【考题2】在直角坐标系中，△AOB的顶点坐标分别为A（0，2），O（0，0），B（4，0），把

0△AOB绕O点按逆时针方向旋转90到△COD。

（1）求C，D两点的坐标；

（2）求经过C，D，B三点的抛物线解析式。

解：（1）C点（－2,0），D点（0，4）。

（2）设二次函数解析式为y a(x x1)(x x2)，由点C，B两点的坐标，得y a(x 2)(x 4)。

1， 2

1即二次函数解析式为y (x 2)(x 4)。 2将点D（0,4）代入得a=

【考题3】如图，抛物线的对称轴是直线x=1，它与x轴交于A,B两点，与y轴交于C点。点A,C的坐标分别是(－1，0)，(0，3)。 2

（1）求此抛物线对应的函数解析式；

（2）若点P是抛物线上位于x轴上方的一个动点，求△ABP的面积的最大值。

解：

2（1）已知抛物线的对称轴为x=1，设抛物线解析式为4a k 0, 3 3 y a(x 1) k，将点A(－1，0)，C(0，)代入解析式，得 a k 2 2

1 1 a y (x 1)2 2， 解得 ， 22 k 2

123 即y x x 。 22

（2）A点横坐标为－1，对称轴为x=1，则点B的横坐标为3，设点P横坐标是m（－1

2＜m＜3），则点P纵坐标yp m m 。（yp＞0） 1

232

S ABP 1113AB yp 4 ( m2 m ) 2222

m2 2m 3 (m 1)2 4

当m=1时，S有最大值，为4。

解题小诀窍：当二次函数图像上出现动点时，可以先设出动点的横坐标，然后利用二次函数的解析式将动点的纵坐标表示出来，如上面点P的纵坐标的表示方法。

【考题4】（2009、南宁）目前，国内最大跨江的钢管混凝土拱桥——永和大桥，是南宁市又一标志性建筑，其拱形图形为抛物线的一部分（如图 1－2－18），在正常情况下，位于水面上的桥拱跨度为350米，拱高为8．5米。

⑴在所给的直角坐标系中（如图1－2－19），

假设抛物线的表达式为y ax2 b，请你根

据上述数据求出a、b的值，并写出抛物线

的表达式（不要求写自变量的取值范围，a、

b的值保留两个有效数字）。

⑵七月份汛期将要来临，当邕江水位上涨后，位于水面上的桥拱跨度将会减小，当水位上涨4m时，位于水面上的桥拱跨度有多大？（结果保留整数）

解：（1）因为桥拱高度OC=8．5m，抛物线过点C （0，8．5），所以b=8．5

．又由已知，

得AB=350m，即点A、B的坐标分另为（－175，0）， （175，0）．则有0= 1752 ²a+ 8．5，解得a≈0．00028，所求抛物线的解析式为y=0．00028x2＋8．5；

（2）由1－2－20所示，设DE为水位上升4m后的桥拱跨度，即当y= 4时，有4=0．00028x2＋8．5，所以x≈±126．77．所以 D、E两点的坐标为（－12 6.7 7， 4），（12 6.7 7， 4）．所以ED≈12 6．7 7+12 6．77≈254米.

答：当水位上涨4m时，位于水面上的桥拱跨度为254m．

点拨：理解桥拱的跨度AB即为抛物线与x轴两交点之间的距离 .

2【考题5】（2009、海口）已知抛物线y=x2+(2n－1)x+n－1 (n为常数).

(1)当该抛物线经过坐标原点，并且顶点在第四象限时，求出它所对应的函数关系式；

(2)设A是(1)所确定的抛物线上位于x轴下方、且在对称轴左侧的一个动点，过A作x轴的平行线，交抛物线于另一点D，再作AB⊥x轴于B，DC⊥x轴于C.

①当BC=1时，求矩形ABCD的周长；

②试问矩形ABCD的周长是否存在最大值？如果存在，请求出这个最大值，并指出此时A点的坐标；如果不存在，请说明理由.

2解：由抛物线过原点，得n－1=0。解这个方程，

得n1=1, n2=－1。

2当n=1时，得y=x2+x, 此抛物线的顶点不在第四象限；当n=－1时，得y=x－3x, 此抛物

线的顶点在第四象限.∴所求的函数关系为y=x2－3x.

(2) 由y=x2－3x，令y=0, 得x2－3x=0，

解得x1=0,x2=3。∴抛物线与x轴的另一个交点为(3,0)，∴它的顶点为(3, 9), 对称轴为24

直线x=3, 其大致位置如图所示。 2

①∵BC=1，由抛物线和矩形的对称性易知OB=1×(3－1)=1.∴B(1,0)，∴点A的横坐标2

x=1， 又点A在抛物线y=x2－3x上，∴点A的纵坐标y=12－3×1=－2.

∴AB=|y|=|－2|=2.∴矩形ABCD的周长为：2(AB+BC)=2×(2+1)=6.

②∵点A在抛物线y=x2－3x上，故可设A点的坐标为(x，x2－3x),

∴B点的坐标为(x,0). (0＜x＜3) 2

∴BC=3－2x, A在x轴下方，∴x2－3x＜0，∴AB=|x2－3x|=3x－x2 ，∴矩形ABCD的周长

P=2[(3x－x2)+(3－2x)]= －2(x－1)2+13 22

∵a=－2＜0,∴当x=1时，矩形ABCD的周长P最大值为2

A(1, 5). 24132. 此时点A的坐标为解题小诀窍：在此类求三角形面积、四边形周长和面积的最值问题时，解题的关键是如何用一个未知数将其表示出来

【考题6】（2009、郸县）如图1－2－24，△OAB是边长为23 的等边三角形，其中O是坐标原点，顶点B在y轴的正方向上，将△OA B折叠，使点A落在边OB上，记为A′，折痕为EF．

（1）当A′E∥x轴时，求点A′和E的坐标；

2（2）当A′E∥x轴，且抛物线y 6x bx c经过点A′和E时，求该抛物线与x轴的1

交点的坐标；

（3）当点A′在OB上运动但不与点O、B重合时，能否使△A′EF成为直角三角形．若能，请求出此时点A′的坐标；若不能，请你说明理由．

○解：（1）当A′E∥x时，∠EA′O=90 ，因为△AOB为等边三角形，所以∠A′OE=60

○1○ ， ∠A′EO=30，A′O= EO，设OA′=a，则OE=2a，由勾股定理得A′3 2

ａ ，由题意意可知ΔA′EF≌ΔAEF，所以A′E=A E，

所以A′E=3 a=AE，因为AE+OE=2+3 ，

所以a=OA′=1，A′E=3 ，

所以A′(0,1)，3 ，1)

1⑵由题意知，点A′(0,1)，E(3 ，1)在y=-x2 6

bx

c的图象上，则方程组 1

，解得 2 c 1 c=1 6 c 1

所以y=-1x21，当y=0时，得 6

-1x21 0,解得x12 6所以，抛物线与x轴的交点坐标为3 ，0)， (－3 ，0)

⑶不能．理由：因为要使△A’EF为直角三角形，则90°角只能是∠A′EF或∠A′FE．若

○○∠A′EF=90 ，因为△FA′Ｅ与△FAE关于 FE对称，所以∠A′EF=∠AEF＝90 ，∠

○AEA′=180．此时A、E、A ′应在同一直线上，点A’应与O点重合，这与题设矛盾．所

○○以∠A′EF＝90，即△A′EF不能为直角三角形．同理， ∠A′FE＝90也不成立，

即△A′EF不能为直角三角形．

点拨：此题是代数、几何综合题，注意利用几何图形之间的关系．

【考题７】如图，已知二次函数图像的顶点坐标为C(1,0)，直线y x m与二次函数的图像交于A、B两点，其中A点的坐标为（3,4），B点在y轴上。

（1）求m的值及二次函数的解析式；

（2）P为线段AB上的一个动点（点P与A,B不重合），过点P做x轴的垂线与二次函数图像交于点E，设线段PE的长度为h，点P的横坐标为x，求h与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；

（3）D为直线AB与这个二次函数图像对称轴的交点，在线段AB上是否存在一点P，使得四边形DCEP是平行四边形？若存在，请说明理由。

解：（1）∵点A（3,4）在直线y x m上，

∴4=3+m，∴m=1。

设所求二次函数为y a(x 1)2

∵点A（3,4）在二次函数为y a(x 1)2上，

∴4 a(3 1)2，∴a=1.

所求二次函数为y (x 1),即y x 2x 1

（2）设P、E两点的纵坐标是yP,yE，

所以，PE=h=yP yE=(x+1)－(x 2x 1)

= x 3x，

即h= x 3x(0＜x＜3).

(3)存在。要使四边形DCPE是平行四边形，必有PE=DC，点D在直线y x 1上，点D的坐标为（1,2）。所以 x 3x=2，解得x1 2,x2 1（不合题意舍），所以点P坐标为（2,3）时符合题意。

三、针对性训练：(45 分钟)

1．二次函数的图象经过点（－3，2），（2，7），（0，－1），求其解析式．

2．已知抛物线的对称轴为直线x=－2，且经过点 （－l，－1），（－4，0）两点．求抛物

线的解析式．

3．已知抛物线与 x轴交于点（1，0）和(2，0)且过点 (3，4)，求抛物线的解析式． 222222

24．已知二次函数y ax bx c的图象经过点A（0，1）B(2，－1）两点．（1）求b和c的

值；(2）试判断点P（－1，2）是否在此抛物线上？

2y ax bx c的图象如图1－2－25所示，请5．已知一个二次函数

你求出这个二次函数

6．已知抛物线的表达式，并求出顶点坐标和对称轴方程． y ax2 bx c过三点（－1，－1）、（0，－2）、

（1，l）．

（1）求抛物线所对应的二次函数的表达式；

（2）写出它的开口方向、对称轴和顶点坐标；

（3）这个函数有最大值还是最小值？ 这个值是多少？ 27．当 x=4时，函数y ax bx c的最小值为－8，抛物线过点（6，0）．求：

（1）顶点坐标和对称轴；（2）函数的表达式；

（3）x取什么值时，y随x的增大而增大；x取什么值时，y随x增大而减小．

○8．在ΔABC中，∠ABC＝90 ，点C在x轴正半轴上，点A在x轴负半轴上，点B在y

轴正半轴上(图1－2－

C点的抛物线的解析

9．已知：如图1－2－27

y轴分别交于点B、C，

抛物线与x轴的另一个交点．

（1）求抛物线的解析式； 126所示），若 tan∠BAC= ，求经过 A、B、2式． 所示，直线y=－x+3与x 轴、 抛物线y=－x2＋bx＋c经过点B、C，点A是

1（2）若点P在直线BC上，且SΔPAC=SΔPAB，求点P的坐标．

2

10 四边形DEFH为△ABC的内接矩形(图1－2－28)，AM为BC

边上的高，DE长为x，矩形的面积为y，请写出y与x之间的函数关系式，并判断它是不是关于x的二次函数.

考点4：根据二次函数图象解一元二次

方程的近似解

一、考点讲解：

1．二次函数与一元二次方程的关系： 2 （1）一元二次方程ax2 bx c 0就是二次函数y ax bx c当函数y的值为0时的情况．

2 （2）二次函数y ax bx c的图象与x轴的交点有三种情况：有两个交点、有一个交点、

2没有交点；当二次函数y ax bx c的图象与x轴有交点时，交点的横坐标就是当y=0

时自变量x的值，即一元二次方程ax2＋bx＋c=0的根． 2 （3）当二次函数y ax bx c的图象与 x轴有两个交点时，则一元二次方程y ax2 bx c有两个不相等的实数根；当二次函数y ax2 bx c的图象与x轴有一个交点时，则一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有两个相等的实数根；当二次函数y＝ax2+ bx+c的2图象与 x轴没有交点时，则一元二次方程y ax bx c没有实数根．

解题小诀窍：抛物线与x轴的两个交点间的距离可以用| x1－x2|来表示。

二、经典考题剖析： 2【考题1】（2009、湖北模拟）关于二次函数 y ax bx c的图象有下列命题：①当c=0时，函数的图象经过原点；②当c＞0且函数的图象开口向下时，ax’＋bx＋c=0必有两个

4ac b2

不等实根；③函数图象最高点的纵坐标是4a；④当b=0时，函数的图象关于y轴对称．其中正确的个数是（ ）

A．1 B．2 C．3 D．4

2 解：C 点拨：①显然正确；由a＜0及c＞0，得△=b -4ac＞0．所以②正确．由于a的

符号不定，所以顶点是最高点或最低点不定．所以③不正确．因为b=0时，对称轴为x＝0．所以④正确．

【考题2】（2009、青岛模拟，8分）

已知二次函数y=x2－6x+8，求：

（1）抛物线与x轴y轴相交的 交点坐标；

（2）抛物线的顶点坐标；

（3）画出此抛物线图象，利用

图象回答下列问题：

①方程x2 －6x＋8=0的解是什

么？

②x取什么值时，函数值大于0？

③x取什么值时，函数值小于0？

解：（1）根据题意，得x2－6x+8=0．则（x－2）(x－4）= 0，x1=2，x2=4．所以与x轴交点为（2,0）和（4，0）；当x1=0时，y=8．所以抛物线与 y轴交点为（0，8）。

b 64ac b2 （2）x 。 3,y 1，抛物线的顶点坐标为（3，－1）2a2 14a

（3）图1－2－29所示．①由图象知，x2－6x+8=0的解为x1=2，x2=4．②当x＜2或x＞4时，函数值大于0；③当2＜x＜4时，函数值小于0．

点拨：二次函数y= x2－6x+8与x轴交点的横坐标就是一元二次方程x2－6x+8=0的两个解，用抛物线解一元二次方程需要知道抛物线与x轴的交点坐标．

【考题3】（2009、天津）已知抛物线y＝x2－2x－8，

（1）求证：该抛物线与x轴一定有两个交点；

（2）若该抛物线与x轴的两个交点分别为A、B，

且它的顶点为P，求△ABP的面积．

2 解：（1）证明：因为对于方程x2－2x－8=0，其判别式△=（－2） －4³（－8）－36＞0，

所以方程x2－2x－8=0有两个实根，抛物线y= x2－2x－8与x轴一定有两个交点；

（2）解：因为方程x2－2x－8=0有两个根为x1=2，x2=4，所以AB=| x1－x2|＝6．又抛物

4ac b2

线顶点P的纵坐标yP =4a=－9，

1所以SΔ²AB²|yP|=27。 2

点拨：本题主要考查了二次函数，一元二次方程等知识及它们的综合应用．

三、针对性训练：( 45分钟)

1．已知函数y=kx2－7x—7的图象和x轴有交点，则k的取值范围是（ ）

77 B.k 且k 0 44

77C.k D.k 且k 044A.k

2．直线y=3x－3与抛物线y=x2 －x+1的交点的个数是（ ）

A．0 B．1 C．2 D．不能确定 23．函数y ax bx c的图象如图l－2－30，那么关于x的方程ax2 bx c 0的根的情况是

（ ）

A．有两个不等的实数根B．有两个异号实数根

C．有两个相等实数根 D．无实数根

4．二次函数y ax bx c的图象如图l－2－31所示，则下列结论成立的是（ ） 2

A．a＞0，bc＞0，△＜0

B.a＜0，bc＞0，△＜0

C．a＞0，bc＜0，△＜0

D.a＜0，bc＜0，△＞0 25．函数y ax bx c的图象如图 l－2－32所示，则下列结论错误的是（ ）

A．a＞0 B．b2－4ac＞0

C、ax2 bx c 0的两根之和为负

D、ax2 bx c 0的两根之积为正

6．不论m为何实数，抛物线y=x2－mx＋m－2（ ）

A．在x轴上方 B．与x轴只有一个交点

C．与x轴有两个交点 D．在x轴下方

7．画出函数y =x2－2x－3的图象，利用图象回答：

（1）方程x2－2x－3=0的解是什么？

（2）b取什么值时，函数值大于0？

（3）b取什么值时，函数值小于0？

8．已知二次函数y =x2－x－6·

（1）求二次函数图象与坐标轴的交点坐标及顶点坐标；

（2）画出函数图象；

（3）观察图象，指出方程x2－x—6=0的解；

（4）求二次函数图象与坐标轴交点所构成的三角形的面积

考点5：用二次函数解决实际问题

一、考点讲解：

1．二次函数的应用：

（1）二次函数常用来解决最优化问题，这类问题实际上就是求函数的最大（小）值；

（2）二次函数的应用包括以下方面：分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系；运用二次函数的知识解决实际问题中的最大（小）值．

注意：二次函数实际问题主要分为两个方面的问题，几何图形面积问题和经济问题。解几何图形面积问题时要把面积公式中的各个部分分别用同一个未知数表示出来，如三角形

S=1hl，我们要用x分别把h，l表示出来。经济问题：总利润=总销售额－总成本；总2

利润=单件利润³销售数量。解最值问题时，一定要注意自变量的取值范围。分为三类：①对称轴在取值范围内；②取值范围在对称轴左边；③取值范围在对称轴右边。

2．解决实际问题时的基本思路：（1）理解问题；（2）分析问题中的变量和常量；（3）用函数表达式表示出它们之间的关系；（4）利用二次函数的有关性质进行求解；（5）检验结果的合理性，对问题加以拓展等．

二、经典考题剖析：

【考题1】（2009、贵阳，12分）某产品每件成本10元，试销阶段每件产品的销售价x（元）与产品的日销售量y（件）之间的关系如下表：

若日销售量y是销售价x的一次函数；

（1）求出日销售量y（件）与销售价x（元）的函数关系式；

（2）要使每日的销售利润最大，每件产品的销售价应定为多少元？此时每日销售利润是多

少元？

解：（1）设此一次函数解析式为y kx b.

则 15k b 25，解得：k= 1,b=40, 20k b 20

即：一次函数解析式为y x 40

（2）设每件产品的销售价应定为x元，所获销售利润为w元，w =(x 10)(40 x) x2 50x 400

2= (x 25) 225。产品的销售价应定为25元，此时每日获得最大销售利润为225元

点拨：求（1）（2）中解析式时，可选取表格中的任意两组值即可．

【考题2】（2009、鹿泉）图1－2－33是某段河床横断面的示意图．查阅该河段的水文资料，得到下表中的数据：

（1）请你以上表中的各对数据（x，y）作为点的坐标，尝试在图1－2－34所示的坐标系中画出y关于x的函数图像；