第八节 曲线与方程

1.曲线与方程 一般地，在平面直角坐标系中，如果某曲线C(看作满足某种条 件的点的集合或轨迹)上的点与一个二元方程的实数解建立了 如下的关系: 这个方程的解 (1)曲线上点的坐标都是_____________. 曲线上 (2)以这个方程的解为坐标的点都在_______. 方程的曲线 曲线的方程 那么，这条曲线叫作___________,这个方程叫作___________.

2.求动点的轨迹方程的基本步骤

3.圆锥曲线的共同特征 一个定点 一条定直线 圆锥曲线上的点到_________的距离与它到___________的距离 之比为定值e.e的范围与圆锥曲线形状关系如下： e的范围 0<e<1 ______ 圆锥曲线表示的曲线

椭圆双曲线 抛物线

e>1 ____e=1 ____

4.直线与圆锥曲线的交点 设曲线C1:f(x,y)=0,C2:g(x,y)=0,M(x0,y0)是曲线C1与C2的一

f(x0,y0)=0 __________个交点 f x, y 0 故求曲线交点即求方程组 g x, y 0

g(x0,y0)=0 ___________, 的实数解.

判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”).(1)f(x0,y0)=0是点P(x0,y0)在曲线f(x,y)=0上的充要条件.

((2)方程x2+xy=x的曲线是一个点和一条直线.( )

)

(3)到两条互相垂直的直线距离相等的点的轨迹方程是x2=y2.( )

(4)方程 y x 与x=y2表示同一曲线.(

)

(5)若动点P到定直线l:x=4的距离与到定点F(1,0)的距离之比 是 ， 则动点P的轨迹为椭圆.(1 2

)

【解析】(1)正确.由f(x0,y0)=0可知点P(x0,y0)在曲线

f(x,y)=0上,又P(x0,y0)在曲线f(x,y)=0上时，有f(x0,y0)=0,

∴f(x0,y0)=0是P(x0,y0)在曲线f(x,y)=0上的充要条件.(2)错误.方程变为x(x+y-1)=0,∴x=0或x+y-1=0,

故方程表示直线x=0或直线x+y-1=0.(3)错误.当以两条互相垂直的直线为x轴、y轴时，是x2=y2,否 则不正确.

(4)错误.因为方程 y x 表示的曲线，只是方程x=y2表示曲线 的一部分，故其不正确.

(5)错误.动点P到定点F(1,0)的距离与到定直线l:x=4的距离之比为2,轨迹应为双曲线的一支，而不是椭圆.

答案：(1)√ (2)〓

(3)〓

(4)〓

(5)〓

1.方程 y 9 x 2 表示的曲线是( (A)抛物线的一部分 (C)圆

)

(B)双曲线的一部分 (D)半圆

【解析】选D.因为 y 9 x 2 , ∴y≥0, ∴x2+y2=9(y≥0)表示一个半圆.

2.已知定点P(x 0 ,y 0 )不在直线l:f(x,y)=0上，则方程f(x,y)f(x0,y0)=0表示一条( )

(A)过点P且垂直于l的直线 (B)过点P且平行于l的直线 (C)不过点P但垂直于l的直线 (D)不过点P但平行于l的直线

【解析】选B.显然定点P(x0,y0)满足方程 f(x,y)-f(x0,y0)=0, 即直线f(x,y)-f(x0,y0)=0过点P,

设直线l:f(x,y)=0的方程为Ax+By+C=0,即f(x,y)=Ax+By+C,

∴f(x,y)-f(x0,y0)=0的方程为:Ax+By+C-(Ax0+By0+C)=0,

∴Ax+By-Ax0-By0=0与l平行.综上可知：B正确.

3.已知点P是直线2x-y+3=0上的一个动点，定点M(-1,2)

,Q是 线段PM延长线上的一点，且|PM|=|MQ|,则Q点的轨迹方程是

((A)2x+y+1=0 (B)2x-y-5=0

)

(C)2x-y-1=0

(D)2x-y+5=0

【解析】选D.由题意知，M为PQ中点，设Q(x,y),则P点坐标为

(-2-x,4-y),代入2x-y+3=0得2x-y+5=0.

4.已知△ABC的顶点B(0,0),C(5,0),AB边上的中线长|CD|=3, 则顶点A的轨迹方程为_______.

【解析】设点A(x,y),因为B(0,0), 所以AB的中点 D( x , y ),2 2

又C(5,0),|CD|=3, 所以 (5 x ) 2 (0 y ) 2 3,2 2

化简得：(x-10)2+y2=36. 又∵△ABC中的三点A,B,C不能共线， 所以去掉点(4,0)和(16,0). 答案：(x-10)2+y2=36(除去点(4,0)和(16,0))