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专题三

开放型问题

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开放型问题是中考题多样化和时代发展要求的产 物，是中考的热点题型，是考查学生探索能力、创新 能力的重要方式.开放型问题是相对于封闭型问题而 言，是指那些条件不完整、结论不确定、解法不限制 的数学问题，它的显著特点是正确答案不唯一，从所 呈现问题的方式看，有下列几种基本形式：

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1.条件开放型：称条件不充分或没有确定已知条 件的开放型问题为条件开放题.由于满足结论的条件 不唯一，解题时需执果寻因，根据结论和已有的已知 条件，寻找使得结论成立的其他条件.

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2.结论开放型：称结论不确定或没有确定结论的 开放型问题为结论开放题.给出问题的条件，让解题 者根据给出的条件探索相应的结论，而符合条件的结 论往往呈现多样性，解题时需由因导果，由已知条件 导出相应的结论，并且得出的结论应尽可能地使用题 目给出的全部条件.

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3.判断型开放题：称判定几何图形的形状大小、 图形的位置关系、 方程 (组 )的解的情况或判定具有某种 性质的数学对象是否存在的开放型问题为判断型开放 题，又称存在型探索题.解题的基本思路是：先假设 直接找出或证得符合条件的结论，若推理所得的结论 说明其不存在.考点知识梳理 中考典例精析 考点训练

结论“存在”, 然后从条件出发进行计算或推理论证，

与已知条件或相关定理相一致，则说明其存在；否则，

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考点一 例 1

条件开放型 (2013· 青海)如图，BC=EC,∠1=∠2,添

加一个适当的条件使△ABC≌△DEC, 则需添加的条件 是_________________________ (不添加任何辅助线).

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【点拨】 由 ∠1 = ∠2 ,可得 ∠ACB = ∠DCE ,又 BC=EC,要使△ABC≌△DEC,可添加∠B=∠E,由 “ASA”得证；添加∠A=∠D,由“AAS”得证；添加 AC =DC,由“SAS”得证. 【答案】 不唯一， 如∠B=∠E(或∠A=∠D 或 AC =DC)

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方法总结 添加条件时，首先分析具备了哪些条件，然后按照 三角形全等的判定方法确定缺少的条件.

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考点二 例2

结论开放型

(2013· 吉林)如图，AB 是⊙O 的弦，OC⊥AB

于点 C,连接 OA,OB.点 P 是

半径 OB 上任意一点，连 接 AP.若 OA=5 cm,OC=3 cm,则 AP 的长度可能是 _______cm(写出一个符合条件的数值即可).

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【点拨】因为 OC⊥AB,所以由垂径定理，可得 AC=BC.在 Rt△AOC 中，OA=5 cm,OC=3 cm,由 勾股定理，可得 AC = 4 cm ,所以 AB = 8 cm. 因为 AO≤AP≤AB,所以 5 cm≤AP≤8 cm,当点 P 与点 O 重合时，AP=AO=5 cm;当点 P 与点 B 重合时，AP =AB=8 cm;当点 P 在 O 与 B 之间时，AO<AP<AB. 所以 AP 可以是 5 cm 与 8 cm 之间的任意数值. 【答案】 6(答案不唯一，5 cm≤AP≤8 cm 即可)考点知识梳理 中考典例精析 考点训练

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方法总结 解答结论开放型问题，要熟练掌握常见图形的性 质、函数的性质等，然后由因导果添加适当的结论.

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考点三 例3

判断型开放题 (2012· 宜宾)如图，在△ABC 中，已知 AB

= AC= 5, BC= 6,且△ABC≌△DEF,将△DEF 与 △ABC 重合在一起，△ABC 不动，△DEF 运动，并满 足：点 E 在边 BC 上沿 B 到 C 的方向运动.且 DE 始 终经过点 A,EF 与 AC 交于 M 点.

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(1)求证：△ ABE∽△ ECM; (2)探究：在△ DEF 运动过程中，重叠部分能否构 成等腰三角形，若能，求出 BE 的长；若不能，请说明 理由； (3)当线段 AM 最短时，求重叠部分的面积.

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【点拨】 (1)利用全等三角形的对应角相等确定相 似的条件； (2)分情况讨论，显然 AE, AM 不能作腰， 讨论当 AE,EM 作腰时，求得 BE= 1;当 AM,EM 作 腰时，利用 △ CAE∽△ CBA 求得 CE,进而求出 BE 的 值； (3)设 BE 为 x,通过相似用 x 表示出 CM,进而表 示出 AM,通过二次函数顶点确定 AM 的最小值，进而 确定重叠部分的面积.考点知识梳理 中考典例精析 考点训练