考试题库之高等量子力学
时间:2025-04-02
时间:2025-04-02
1、请写出关于直积的五个定理并加以证明 答案:
定理一:两个对角矩阵的直积仍是对角矩阵 证明:已知A、B为两个对角矩阵,
有Aij = Aii ij , Bmn =Bmm mn (A×B)im,jn = AijBmn = AiiBmm ij mn = Cim;im im,jn 所以.A×B仍是对角矩阵 定理二:(A + B)×C = A×C + B×C 证明: ((A + B)×C)im,jn = (A + B)ijCmn = (Aij + Bij)Cmn
= AijCmn + BijCmn = (A×C)im,jn + (B×C)im,jn, 所以 (A + B)×C = A×C + B×C. 定理三:如果A和B是幺正矩阵,则A×B也是幺正的 证明:因为A、B都是幺正矩阵,所以AA= I,BB= I
A
k
ik
A kj ij , BmlBln mn
l
**
(A B) kl,jn AikBml(A B)jn,kl AikBmlAjkBnl
kl
kl
ln
kj
(A B)
klkl
im,kl
AikBmlAB AikA
kj
k
B
l
ml
B ij mn im,jn ln
所以A×B也是幺正矩阵 定理四:Tr(A×B)=TrA·TrB 证明:Tr(A×B) =(A B)im,im=
im
AB
iiim
mm
=
A B
iii
m
mm
= TrA·TrB
定理五:设A、C为同维矩阵,B、D为同维矩阵,则有(A×B)(C×D) = (AC)×(BD) 证明:((A B)(C D))im,jn
(A B)
kl
l
im,kl
(C D)kl,jn
AikBmlCkjDln AikBkj BmlDln
kl
k
(AC)ij(BD)mn ((AC) (BD))im,jn
所以(A×B)(C×D) = (AC)×(BD)
mA 0,m为正整数, A 0。2、如果f是厄米算符,而且对某一特定右矢A有f则有f mA 0, 证明:因为f
(m 2)f m f 2(m 1)A 0,Af 2(m 1)A 0 所以f
是厄米算符,所以f (m 1)也是厄米算符,
因为f
2(m 1)A Af (m 1)f (m 1) f (m 1)Af (m 1)A 0 所以Af
(m 1)A 0,同理,可得到f (m 2)A 0……,以此类推,可得到f A 0 所以f
3、(1)请写出一维谐振子的经典哈密顿量
(2)请写出一维谐振子的Heisenberg运动方程 (3)已知a 证明aa
n
m ip m ip
q ,a q , a,a =1,请用数学归纳法2 m 2 m
a na na n 1
n
n
(4)根据a0 0,00 1用数学归纳法,证明0aa0 n!,并根据正交归一性
推导出 a n 1n 1
an n
答案:(1)一维谐振子的经典哈密顿量H
1
2m
(p2 m2 2q2) (2)一维线性谐振子的Heisenberg运动方程 q 1
pt t i qt,H m p t 1
i p2
t
,H
m qt (3)证明:因为 a,a
=1,所以当n=1时成立 假设当n m时,aa
m
a ma na m 1 成立
则当n m 1时, a,a m 1
= a,a m
a
a m a,a
na m 1a a m (n 1)a
m
所以n m 1时成立,由此可推出aa n
a na na n 1
(4)证明:因为a0 0,所以当n=1时成立 假设当n m时,0am
a m
m!
成立 则当n m 1时,0a
m 1
a m 1 0amaa a m0
0am
(1 a
a)a m
0am
a
aa m
+0ama m0
0am
a (a
m
a ma m 1)+0ama m0 因为a0 0,所以0ama a m
a 0
上式 0ama ma m 1+0ama m0 m0ama m+0ama m0
(m 1)0ama m0 (m 1)m! (m 1)! 所以n m 1时成立,由此可推出aa
因此相应于能量为(n
n
n
0 n!
1
) 的归一化本征右矢为 2
n
1 n
a0 n!
n 11n 1n!1n!
a n 10
n 1(n 1)!
n(n 1)!
a n 10 n 1n
所以an
1n!1n!
a n 10
同理an
aa n0 (a na na n 1)0 a n 10 nn
a n n 1n 由此得出
an nn
4、(1)请写出费曼—海尔曼定理 (2)请写出维里定理
(3)请用费曼—海尔曼定理
答案:(1)假设系统的束缚态能量本征值及归一化的能量本征态为En和n, 为哈密顿
En H
n 量中含有的任何一个参数,则有 n
P2
(2)2nTn r· Vn,这里T 是动能,V V r 是势能。
2mP2 22 V r V r , (3)在坐标表象中,H 2m2m
把 看成参量,由F-H定理知
H 21P22
T, m m
En H2
nn nTn ……①
P2P2 d
在动量表象中,H 2m V r 2m
V i dP
H V r V· V r ·iddP
V r
·r 在最后一步中又将动量表象中的i ddP
换回为r
。
由F-H定理知
En n H1
n
nr· Vn ……② 比较①和②得知
2nTn nr
· Vn,证毕。
5、由j1j2
m Cjmj1m1,j2m2
j1m1;j2m2和j1m1;j2m2 Cjm
j1m1,jj1j2jm1m2
jm
2m2证明CG系数满足下面的正交归一性m Cjmj mj1,jmj1m1,j2m2 jj mm
2
2
1,m1mC 2
C
jm
jmj,j1m1
,jjm
1m12m2Cj2m2 m1m1 m2m2
证明:j1j2
m
Cjmj1m1,j2m2
j1m1;j2m2 1m2
取共轭为:j1j2j m
Cj m
j ;m1
m1
,jj2
m2
j1m1
2m2
1 m2
由以上两式,得 jj mm j1j2j m j1j2jm Cj m jm
j1m1
,j2
m2
Cj1
m1,j2m2
j1m1 ;j2m2 j1m1;j2m2 m 1m2m 1m 2
Cj m jm
m11
j2
m2
Cj1m1,j2m2 m1m1 m2m 2
1m2m m jm , 12
Cj jm
jmjm m11,j2m2Cj1m1,2m2
1m2
j1m1;j2m2 Cjmj1m1,jj1j2jm jm
2m2
取共轭为:j ;jj m
1m1
2m2 C
jj m
1
m 1,j2m 2
j1j2j m
由以上两式,得 m1m1 m2m 2
j1m1 ;j2m2 j1m1;j2m2 Cj m < …… 此处隐藏:5197字,全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……