考试题库之高等量子力学

时间:2025-04-02

1、请写出关于直积的五个定理并加以证明 答案:

定理一:两个对角矩阵的直积仍是对角矩阵 证明:已知A、B为两个对角矩阵,

有Aij = Aii ij , Bmn =Bmm mn (A×B)im,jn = AijBmn = AiiBmm ij mn = Cim;im im,jn 所以.A×B仍是对角矩阵 定理二:(A + B)×C = A×C + B×C 证明: ((A + B)×C)im,jn = (A + B)ijCmn = (Aij + Bij)Cmn

= AijCmn + BijCmn = (A×C)im,jn + (B×C)im,jn, 所以 (A + B)×C = A×C + B×C. 定理三:如果A和B是幺正矩阵,则A×B也是幺正的 证明:因为A、B都是幺正矩阵,所以AA= I,BB= I

A

k

ik

A kj ij , BmlBln mn

l

**

(A B) kl,jn AikBml(A B)jn,kl AikBmlAjkBnl

kl

kl

ln

kj

(A B)

klkl

im,kl

AikBmlAB AikA

kj

k

B

l

ml

B ij mn im,jn ln

所以A×B也是幺正矩阵 定理四:Tr(A×B)=TrA·TrB 证明:Tr(A×B) =(A B)im,im=

im

AB

iiim

mm

=

A B

iii

m

mm

= TrA·TrB

定理五:设A、C为同维矩阵,B、D为同维矩阵,则有(A×B)(C×D) = (AC)×(BD) 证明:((A B)(C D))im,jn

(A B)

kl

l

im,kl

(C D)kl,jn

AikBmlCkjDln AikBkj BmlDln

kl

k

(AC)ij(BD)mn ((AC) (BD))im,jn

所以(A×B)(C×D) = (AC)×(BD)

mA 0,m为正整数, A 0。2、如果f是厄米算符,而且对某一特定右矢A有f则有f mA 0, 证明:因为f

(m 2)f m f 2(m 1)A 0,Af 2(m 1)A 0 所以f

是厄米算符,所以f (m 1)也是厄米算符,

因为f

2(m 1)A Af (m 1)f (m 1) f (m 1)Af (m 1)A 0 所以Af

(m 1)A 0,同理,可得到f (m 2)A 0……,以此类推,可得到f A 0 所以f

3、(1)请写出一维谐振子的经典哈密顿量

(2)请写出一维谐振子的Heisenberg运动方程 (3)已知a 证明aa

n

m ip m ip

q ,a q , a,a =1,请用数学归纳法2 m 2 m

a na na n 1

n

n

(4)根据a0 0,00 1用数学归纳法,证明0aa0 n!,并根据正交归一性

推导出 a n 1n 1

an n

答案:(1)一维谐振子的经典哈密顿量H

1

2m

(p2 m2 2q2) (2)一维线性谐振子的Heisenberg运动方程 q 1

pt t i qt,H m p t 1

i p2

t

,H

m qt (3)证明:因为 a,a

=1,所以当n=1时成立 假设当n m时,aa

m

a ma na m 1 成立

则当n m 1时, a,a m 1

= a,a m

a

a m a,a

na m 1a a m (n 1)a

m

所以n m 1时成立,由此可推出aa n

a na na n 1

(4)证明:因为a0 0,所以当n=1时成立 假设当n m时,0am

a m

m!

成立 则当n m 1时,0a

m 1

a m 1 0amaa a m0

0am

(1 a

a)a m

0am

a

aa m

+0ama m0

0am

a (a

m

a ma m 1)+0ama m0 因为a0 0,所以0ama a m

a 0

上式 0ama ma m 1+0ama m0 m0ama m+0ama m0

(m 1)0ama m0 (m 1)m! (m 1)! 所以n m 1时成立,由此可推出aa

因此相应于能量为(n

n

n

0 n!

1

) 的归一化本征右矢为 2

n

1 n

a0 n!

n 11n 1n!1n!

a n 10

n 1(n 1)!

n(n 1)!

a n 10 n 1n

所以an

1n!1n!

a n 10

同理an

aa n0 (a na na n 1)0 a n 10 nn

a n n 1n 由此得出

an nn

4、(1)请写出费曼—海尔曼定理 (2)请写出维里定理

(3)请用费曼—海尔曼定理

答案:(1)假设系统的束缚态能量本征值及归一化的能量本征态为En和n, 为哈密顿

En H

n 量中含有的任何一个参数,则有 n

P2

(2)2nTn r· Vn,这里T 是动能,V V r 是势能。

2mP2 22 V r V r , (3)在坐标表象中,H 2m2m

把 看成参量,由F-H定理知

H 21P22

T, m m

En H2

nn nTn ……①

P2P2 d

在动量表象中,H 2m V r 2m

V i dP

H V r V· V r ·iddP

V r

·r 在最后一步中又将动量表象中的i ddP

换回为r

由F-H定理知

En n H1

n

nr· Vn ……② 比较①和②得知

2nTn nr

· Vn,证毕。

5、由j1j2

m Cjmj1m1,j2m2

j1m1;j2m2和j1m1;j2m2 Cjm

j1m1,jj1j2jm1m2

jm

2m2证明CG系数满足下面的正交归一性m Cjmj mj1,jmj1m1,j2m2 jj mm

2

2

1,m1mC 2

C

jm

jmj,j1m1

,jjm

1m12m2Cj2m2 m1m1 m2m2

证明:j1j2

m

Cjmj1m1,j2m2

j1m1;j2m2 1m2

取共轭为:j1j2j m

Cj m

j ;m1

m1

,jj2

m2

j1m1

2m2

1 m2

由以上两式,得 jj mm j1j2j m j1j2jm Cj m jm

j1m1

,j2

m2

Cj1

m1,j2m2

j1m1 ;j2m2 j1m1;j2m2 m 1m2m 1m 2

Cj m jm

m11

j2

m2

Cj1m1,j2m2 m1m1 m2m 2

1m2m m jm , 12

Cj jm

jmjm m11,j2m2Cj1m1,2m2

1m2

j1m1;j2m2 Cjmj1m1,jj1j2jm jm

2m2

取共轭为:j ;jj m

1m1

2m2 C

jj m

1

m 1,j2m 2

j1j2j m

由以上两式,得 m1m1 m2m 2

j1m1 ;j2m2 j1m1;j2m2 Cj m < …… 此处隐藏:5197字,全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……

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