数学物理方程习题解答案
时间:2025-04-03
时间:2025-04-03
数学物理方程复习资料
数学物理方程习题解
习题一
1,验证下面两个函数:
u(x,y) 都是方程
u(x,y) exsiny
uxx uyy 0
的解。
证明:(1
)u(x,y)
1
ux ( )
2
1(x y)
2
322
2x
xx2 y2
x2 y2 x 2xx2 y2
uxx 2
(x2 y2)2(x y2)2
11y 2y
因为uy ( )
322
2x y(x2 y2)2
x2 y2 y 2yy2 x2
uyy 2
222(x y)(x y2)2x2 y2y2 x2
uxx uyy 2 0
(x y2)2(x2 y2)2
所以u(x,y) xuxx uyy 0的解。
(2)u(x,y) esiny 因为
ux siny ex,uxx siny exuy e cosy,uyy e siny
所以
uxx uyy esiny e
x
x
x
x
siyn 0
u(x,y) exsiny是方程uxx uyy 0的解。
2,证明:u f(x)g(y)满足方程
uuxy uxu y0
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其中f和g都是任意的二次可微函数。
证明:因为
u f(x)g(y)
所以
ux g(y) f (x),uy f(x) g (y)uxy f (x) g (y)
uuxy uxuy f(x)g(y) f (x)g (y) g(y)f (x) f(x) g (y) 0
得证。
3, 已知解的形式为u(x,y) f( x y),其中 是一个待定的常数,求方程 uxx 4uxy 3uyy 0 的通解。
解:令 x y则u(x,y) f( )
所以ux f ( ) ,uxx f ( ) 2
( uxy f ( ),uy f ( ),uyy f
将上式带入原方程得( 4 3)f ( ) 0
2
因为f是一个具有二阶连续可导的任意函数,所以 -4 3 0 从而 1 =3, 2 1,
2
故u1(x,y) f1(3x y),u2(x,y) f2(x y)都是原方程的解,f1,f2为任意的二阶可微函数,根据迭加原理有
u(x,y) f1(3x y) f2(x y)为通解。
4,试导出均匀等截面的弹性杆作微小纵振动的运动方程(略去空气的阻力和杆的重量)。 解:弹性杆的假设,垂直于杆的每一个截面上的每一点受力与位移的情形都是相
同的,取杆的左端截面的形心为原点,杆轴为x轴。在杆上任意截取位于
杆的截面积为s,由材料力学可知,微元两端处的相对伸长(应[x,x x]的一段微元,
u u
(x,t)与(x x,t),又由胡克定律,微元两端面受杆的截去部分的 x x
u u
(x,t)与SE(x x)(x x,t),因此微元受杆的截去部分的拉力分别为SE(x) x x
u u
(x x,t) SE(x)(x,t) 作用力的合力为:SE(x x) x x
变)分别是
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2u
且合力的正向与坐标轴相同,设为微元质心的坐标,则质心处的加速度为2(,t),
x
由牛顿第二定律有:
2u u u
x s x 2(,t) sE x x x x,t sE x x,t , x x x
x x x
约去s,并对右端应用中值定理,得
2u u
x x 2(,t) [E x ]x x x x, 0 1
x x x
约去 x,并令 x 0,即得:
u u
x Ex t t x x
由于弹性杆是均匀的, x (常数),E x E(常数)
2
2uE2 u2
a 从而2 a,其中(E是杨氏模量, 是体密度)。
t x2
5, 一均匀细杆直径为l,假设它的同一横截面上温度是相同的,杆的表面和周围介质发生热交换,服从规律 dQ K1(u u1)dSdt
记杆的体密度为 ,比热为C,热传导系数为K.试导出此时温度u满足的微分方程。 解:取杆轴为x,考察杆位于 x1,x2 段在 t1,t2 时间区间上的热平衡,在 t1,t2 时间内,
x1,x2 段的侧面流入的热量为:
Q1
t1
t2x2
x1
K1(u u1) ldxdt
在点x1,x2处截面流入该段的热量为:
Q2
所以
t2
t1
t2 u l2 u l2
K(x1,t)dt,Q3 K(x2,t)dt
t1
x4 x4
Q Q1 Q2 Q3
t2
t1
x2
x1
t2x2 2u l2
K2(x,t) K1(u u1) ldxdt
t1x1
x4
温度升高所吸收的热量:
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Q C x (x)S u(x,t2) u(x,t1) dx
x1
x2
u
t1 x1 tt2x2 l2 u c dxdt
t1x1
4 t
t2
x2
c s
由能量守恒定律得:
t1
t2x2
x1
[
l2c u
4 2U l2 K2 K1(u u1) l]dxdt 0 t x4
由x1,x2,t1,t2的任意性,有
uk 2u4k1
(u u1)。 tc x2c l
6,设某溶质在溶液中扩散,它在时刻t溶液中点(x,y,z)处的浓度用函数u(x,y,z,t)表示,试导出u所满足的微分方程。 解:由Nernst定律得
dm D(x,y,z)
u
dsdt n
上式中u表示扩散物质浓度,dm为在dt时间内经过面ds扩散物质的量,D(x,y,z)为扩散系数。
在 t1,t2 时段内通过边界曲面S流入区域 的质量为
m
t2
t1t2
D
s
udsdt n
u u u
(D) (D) (D)]dxdydzdt x x y y z z
t1t2
[
t1
2u 2u 2u
D(2 2 2)dxdydzdt x y z
从时刻t1到t2, 中该物质质量的增加为:
[u(x,y,z,t) u(x,y,z,t)]dxdydz
2
1
t2
t1
u
t
从而,由质量守恒定律有
t2
t1
t2 u 2u 2u 2u
D( )dxdydzdt dtdxdydz 222 t1 x y z t
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交换积分次序可得:
t2
t1
2u 2u 2u u
[D(2 2 2) ]dxdydzdt 0 x y z n
由于t1,t2在区域 都是任意的,可以得到
u 2u 2u 2u
D(2 2 2)
t x y z
7,一根均匀杆原长l,一段固定,另一端拉长 而静止,然后突然放手任其振动,试写出其
定解问题。
解:设点在x 0处固定,在x l处拉长 而静止,然后突然放手任其振动,则方程为
utt a2uxx,0 x l,t 0。
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