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第1章 线性系统的状态空间描述——系统的数学模型

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要解决的问题1.什么是状态空间描述(模型)?描述(模型)?——就是方程(组)的意思 状态？—— 指方程(组)中含有状态变量 空间？—— 状态变量的个数=状态空间的维数 在本章中，建立系统的状态空间描述，实际上

就是人为选择一组状态变量，用含这些状态变量及其一阶导数的一阶微分方程组来表示系统输入和输 出之间的关系。

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要解决的问题2. 怎么才能列出状态空间描述(模型)?A. 通过物理机理直接列出状态空间模型； B. 由经典控制理论中的数学模型(微分方程 或传递函数)导出。

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§1.1 状态空间的概念1.引入例1:P41 图2.1 图示电路中，设u为输入，uc 为输出，求系统的状态方程。duC C i dt di L Ri uC u dtduC 1 i dt C di 1 uC R i 1 u i dt L L L uC

1 / C uC 0 uC 0 i 1 / L R / L i 1 / L u

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§1.1 状态空间的概念2. 状态变量的概念能够完整的、准确的描述系统行为的最少一组变量。若已知这组变量在t=t0时刻的值和t≥t0时刻的

输入信号，则系统在t≥t0时刻的行为就可以被完全确定。这样的一组变量就称为状态变量。

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§1.1 状态空间的概念2. 状态变量的概念设一个系统中有A,B两个物理量，若A f (......, B,......)

则A就可以被考虑选为状态变量之一。

1 t ic (t )dt 例如： uc (t ) uc (t0 ) C t0

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§1.1 状态空间的概念2. 状态变量的概念(1)状态变量的物理意义可以理解为系统中与储 能元件有关系的积分物理量。

(2)不是所有的积分物理量都可以被选为状态变 量，必须是独立变量。 (3)若系统为n阶，则系统有且只有n个独立的状 态变量，即只能列出n个独立的一阶微分方程。

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§1.1 状态空间的概念3. 状态空间模型的一般(规范)形式例2:P43 图2.4状态变量的一阶导数 状态变量

1 C C ( R1 R2 ) u i R1 L( R1 R2 ) R1 u R 2 ( R1 R2 )输出信号

R1 C ( R1 R2 ) uC 0 e R1R2 i 1 / L L( R1 R2 )

输入信号

输入信号

R1R2 uC R2 e ( R1 R2 ) i ( R1 R2 ) 状态变量

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§1.1 状态空间的概念3. 状态空间模型的一般(规范)形式为了描述方便，在建立系统的状态空间模型时做 如下规定：状态变量统一用x表示，多个状态变量就分别用 x1, x2,……表示； 输入信号统一用u表示，多个输入信号就分别用 u1,u2,……表示

; 输出信号统一用y表示，多个输出信号就分别用 y1,y2,……表示；

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§1.1 状态空间的概念3. 状态空间模型的一般(规范)形式例2:P43 图2.4R1 1 uC C ( R1 R2 ) C ( R1 R2 ) uC 0 B e u i A R1R2 i 1 / L R1 L( R1 R2 ) L( R1 R2 ) x2 R1 R1R2 uC R2 u R 2 CR1 R2 ) i ( R1DR2 ) [e] ( ( R1 R2 )

x1

y

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§1.1 状态空间的概念3. 状态空间模型的一般(规范)形式例2:P43 图2.4状态方程 X AX Bu y CX Du

x1 x2

x1 x1 A Bu 令 X x2 x2 x1 y C Du 状态向量 X x2

输出方程

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§1.1 状态空间的概念3. 状态空间模型的一般(规范)形式若系统为时变系统，则系数矩阵A、B、C、D可能与时间 有关，此时系统的状态空间描述为

X A(t ) X B(t )u y C (t ) X D(t )u说明:(1)对于输入、输出和状态变量而言，u1,x1,y1和 u1(t),x1(t),y1(t)这两种写法是一个意思。 (2)对于系数矩阵而言，用A、B、C、D表示通常是 指系统为定常系统，用A(t),B(t),C(t),D(t)表示通 常是特指系统为时变系统。

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§1.1 状态空间的概念4. 状态空间模型的方框图D(t )

u

B(t )+

X

A(t )

X

+

C(t )

y

注意：顺着箭头的方向，输出=方框×输入，顺序不能颠倒

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§1.1 状态空间的概念5. 关于状态空间模型的几点说明(1)经典控制理论中的数学模型为输入—输出模型， 状态空间模型为输入—状态—输出模型。 (2)状态空间模型中只包含输入变量、状态变量和 输出变量，不能包含有其它的变量。

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§1.1 状态空间的概念5. 关于状态空间模型的几点说明(3)状态变量的选择是不唯一的。例：U(t)为输入电压信号，取u2作为输出信号

取 X [u1 , u 2 ]T , y u2 或 X [u 2 , i2 ]T , y u 2 均可。

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§1.1 状态空间的概念5. 关于状态空间模型的几点说明X [u1 , u 2 ]T , y u 2 取 X y 0 R1 R2 R1 R2 C1 1 R2 C 2 1 1 R2 C1 X R1C1 U 1 0 R2 C 2

1 X

取 X [u 2 , i2 ] , y u 2T

0 X 1 R1 R2 C1 y 1 0 X

1 0 C2 X 1 U R1 R2 1 R R C 1 2 1 R1 R2 C1 R2 C 2