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常见函数的导数

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一、复习引入 1.导数的几何意义： 1.导数的几何意义： 导数的几何意义 曲线在某点处的切线的斜率; 曲线在某点处的切线的斜率; 导数的物理意义： 导数的物理意义： 物理意义 物体在某一时刻的瞬时度。 物体在某一时刻的瞬时度。 (瞬时速度或瞬时加速度) 瞬时速度或瞬时加速度)

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如何求切线的斜率? 2、如何求切线的斜率?y

y=f(x) Q

割 线 T 切线

o

P

x

k PQ

( x →0时， PQ无限趋近于点 处切线的斜率 当 k P )

f ( x + x) f ( x) = x

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3、导数：函数在某点处的瞬时变化率 导数： 设函数y= 在区间 在区间(a, 上有定义 上有定义， 设函数 =f(x)在区间 ，b)上有定义， x0∈(a,b),若△x无限趋近于零时，比值 无限趋近于零时， , , 无限趋近于零时

y f ( x0 + x ) f ( x0 ) = x x无限趋近于一个常数A,则称f(x)在x=x0 无限趋近于一个常数 ，则称 在 = 可导，并称该常数A为函数 为函数f(x)在x=x 0处 处 可导， 并称该常数 为函数 在 = 导数，记作f 的导数，记作 /(x0). .

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4、由定义求导数(三步法) 由定义求导数(三步法) 步骤: 步骤:

(1)求增量 y = f (x + x) f (x); y f (x + x) f (x) (2) 算比值 = ; x x y →常数 (3)当 x →0, x

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二、知识新授几种常见函数的导数: 几种常见函数的导数: 公式一: 公式一: C′= 0 (C为常数 为常数) 为常数

(kx+b)/=k

(1)( 2 x + 3)′ =-2 (4) x′ = 1 (2)( 2 x)′ = -2 (5)( x + 5)′ = 1 (3)3′ = 0 (6)( 4)′ = 0通过以上运算我们能得到什么结论? 通过以上运算我们能得到什么结论?

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公式二: 公式二: (x ) = αxα '

α 1

(α是常数 )2

(1) x′ = 1(2)( x )′ = 2x2

(3)(3 x )′ = 6x 1 1 (4)( )′ = 2 x x

通过以上运算我们能得到什么结论? 通过以上运算我们能得到什么结论?

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三、知识应用例1:求下列函数的导数： 求下列函数的导数：

( x ) = 3x3 '

3 1

= 3x' 2

2

1 2 x

'

= (x

) = 2x 3

2 1

= 2x

2 = 3 x

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( )

' 1 x = x = x 2 1 1 1 2 = x = 2 x 2'1 2

1 1 2

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公式三: 公式三:

(sin x)′ = cos x

公式四: 公式四:

(cos x)′ = sin x

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求下列函数的导数： 例2: 求下列函数的导数：

(1) y = x (2) y = x4

3

解：

(1) y′ = (x )′ = 4x = 4x4 4 1

3 4

(2) y′ = (x )′ = 3x 3

3 1

= 3x

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解：

1 1 1 1 (3)∵( )′ = (x )′ = 1x x 1 2 = x = 2 x

1 (3) y = x

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(4) y= x解：

(4) ∵ y = x = x1 2 1 1 2

1 2

1 1 ∴ y′ =(x )′ = x = 2 2x

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(5) y = sin 45解：

0

(6)u = cos v2 (5) y′ = (sin 45 )′ = ( )′ = 0 2o

(6)u ′ = (cos v)′ = sin v

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例3: (1) 已知y = x , 求f ′(2).3

∵ 解： y′ = ( x3 )′ = 3x3 1 = 3x2

′(2) = 3

×(2)2 =12 ∴f

′ = ( x 2 )′ = 2x 2 1 = 2x 3 ∵ 解： y1 2 ∴ f ′(3) = 2 × (3) = 2 × = 27 27 3

1 (2)已知y = 2 , 求f ′(3). x

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公式五: 公式五:对数函数的导数

公式六: 公式六:指数函数的导数x x

1 (1) (loga x)′ = (a > 0, a ≠1). x ln a 1 (2) (ln x)′ = . x(1) (a )′ = a ln a(a > 0, a ≠1).(2) (e )′ = e .x x