线性代数 第二章 n维向量

第二章n维向量

§2.1 n维向量及其运算

一. 历史

古希腊的二力合成的平行四边形法则

1844年, 德国数学家n维向量1888年, 意大利数学家以公理的方式定义了有/无限维向量空间

线性代数 第二章 n维向量

二. n维向量(vector)的概念

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第二章 n维列向量

§2.1 n维向量及其运算

三. n维向量的线性运算与矩阵的线性运算相同四. n维向量的线性运算性质与矩阵的线性运算性质相同五.线性组合(linear combination) n维向量:α1,α2,…,αs数(scalars): k1, k2,…, ks线性组合: k1α1+k2α2+…+ksαs9

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§2.1 n维向量及其运算

六.线性表示(linear representation) n维向量:η,α1,α2,…,αs若存在常数: k1, k2,…, ks使得η= k1α1+k2α2+…+ksαs则称η能由向量组α1,α2,…,αs线性表示 (η can be linearly represented byα1,…)

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§2.1 n维向量及其运算

例1. n维基本单位向量组ε1= 1 0…… 0,ε2= 0 1…… 0,…,εn= 0 0…… 1

.

standard/natural basis of Rn

9

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§2.1 n维向量及其运算

任何一个n维向量α= a1 a2 an都能由ε1,ε2,…,εn线性表示.事实上,α= a1 1 0 0 0 1 0+ a2+…+ an .………… 0 0 19

……

……

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§2.1 n维向量及其运算

a11 a21例 2. A=… a n1

a12 a22… a n2 b1 b2 bn

…………

a1s a2s= (α1,α2,…,αs),… ans x1 x2 xs……

β=

, x=

,

β能由α1,α2,…,αs线性表示 方程组Ax=β有解.9

……

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§2.2向量组的秩和线性相关性

§2.2向量组的秩和线性相关性一.基本概念列向量组:α1,α2,…,αs矩阵A= (α1,α2,…,αs)矩阵A的秩向量组α1,α2,…,αs的秩 r(α1,α2,…,αs)5 9

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§2.2向量组的秩和线性相关性

行向量组:β1,β2,…,βsβ1β2矩阵A=βs矩阵A的秩向量组β1,β2,…,βs的秩 r(β1,β2,…,βs)

……9

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§2.2向量组的秩和线性相关性

r(α1,α2,…,αs)≤ s r(α1,α2,…,αs)< sα1,α2,…,αs线性相关(linearly dependent)

r(α1,α2,…,αs)= sα1,α2,…,αs线性无关(linearly independent)

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§2.2向量组的秩和线性相关性

几个显然的结论:α1,α2,…,αs线性相关 (1)α1T,α2T,…,αsT线性相关注意:不要混淆:“矩阵A的行向量组线性相关”与“矩阵A

的列向量组线性相关” 1 0 1如: A= 0 1 09

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§2.2向量组的秩和线性相关性

(2)只含有一个向量α的向量组线性相关 α= 0. (3)含有零向量的向量组一定线性相关. (4)含有两个向量α,β的向量组线性相关 α,β的分量成比例. (5)当s> n时,任意s个n维向量都线性相关.例3.设α1,α2,α3线性无关,β1=α1+ 2α2,β2=α2+ 2α3,β3=α3+ 2α1.证明:β1,β2,β3线性无关.9

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§2.2向量组的秩和线性相关性

二.向量组之间的关系 1.给定两个向量组 A:α1,α2,…,αr B:β1,β2,…,βs

若B组中的每个向量都能由A组中的向量线性表示,则称向量组B能由向量组 A线性表示. 2, 3 1, 0能由例如:线性表示, 0 0 0 1 1, 0不能由 2, 3线性表示.但 0 1 0 0

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§2.2向量组的秩和线性相关性

a1 s a11 a12 a 21 a 22 a 2 s A: , ,L, L L L a m 1 a m 2 a ms

c1n c11 c12 c21 c22 c2 n C: , ,L, L L L c m 1 c m 2 cmn

简记为A:α1,α2,…,αs, C:γ1,γ2,…,γn.若γj= b1jα1+ b2jα2+…+ bsjαs, j=1,2,…,n,即 c11 c21 L c m 1 c12 L c1n c22 L c2 n = L LL cm 2 L cmn a11 a 21 L a m 1 a12 L a1 s b11 a 22 L a2 s b21 L L L L am 2 L ams bs 1 b12 b22 L bs 2 L b1n L b2 n LL L bsn 9

γ1γ2

γn

α1α2

αs

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§2.2向量组的秩和线性相关性

[b11[b21 B: L[bs1

b12 b22 L bs 2

L L L L

b1n] b2 n] L bsn]

[c11[c 21 C: L[c m 1

c12 L c22 L L L cm 2 L

c1n] c2 n] L c mn]

简记为B:β1,β2,…,βs, C:η1,η2,…,ηm.若ηi= ai1β1+ ai2β2+…+ aisβs, i=1,2,…,m,即 a11 a 21 L L L L = L ηm cm 1 cm 2 L cmn a m1

η1 c11 c12 L c1n η2 c21 c22 L c2 n

a12 L a1 s a 22 L a 2 s L LL a m 2 L a ms

b11 b21 L bs 1

b12 b22 L bs 2

L b1n β1 L b2 n β 2 LL L bsn

βs

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§2.2向量组的秩和线性相关性

2.向量组的线性表示与矩阵乘积 c11 c21 L cm 1 c12 L c1n a11 c 22 L c2 n a 21 = L LL L cm 2 L cmn a m1

a12 L a1 s b11 a 22 L a 2 s b21 L L L L a m 2 L a ms bs1

b12 b22 L bs 2

L b1n L b2 n LL L bsn

矩阵的乘积Cm×n= Am×s Bs×n,向量组的线性表示:列向量γj= b1jα1+ b2jα2+…+ bsjαs, j=1, 2,…, n,行向量ηi= ai1β1+ a

i2β2+…+ aisβs, i=1, 2,…, m.9