第六节 高斯公式 通量与散度Green 公式 一、高斯公式推广

第十章

Gauss 公式

*二、沿任意闭曲面的曲面积分为零的条件 三、通量与散度

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一、高斯 ( Gauss ) 公式定理1. 设空间闭区域 由分片光滑的闭曲面 所围成, 的方向取外侧, 函数 P, Q, R 在 上有连续的一阶偏导数 , 则有

P d y d z Q d z d x Rdx d y

(Gauss 公式)

下面先证: R d x d y d z R d x d y z 高斯 目录 上页 下页 返回 结束

证明: 设为XY型区域 , 1 2 3 , 1 : z z1 ( x, y ) ,

2 : z z2 ( x, y ), 则 z R z2 ( x, y ) R z d x d y d z Dxd x d y z1 ( x, y ) z d z y Dx y

2

R ( x , y , z 2 ( x, y ) ) R( x, y, z1 ( x, y ) ) d x d y2 1 3

Dx y

3 1

y

x

R d x d y R d x d y R( x, y, z 2 ( x, y ))dxdy R( x, y, z1 ( x, y )) d xdyDx y Dx y定理1 目录 上页 下页 返回 结束

R 所以 z d x d y d z R d x d y 若 不是 XY–型区域 , 则可引进辅助面 将其分割成若干个 XY–型区域, 在辅助面 正反两侧面积分正负抵消, 故上式仍成立 . P d x d y d z Pd y d z 类似可证 x Q y d x d y d z Qd z d x 三式相加, 即得所证 Gauss 公式： P Q R x y z d x d ydz P d y d z Q d z d x R d xdy 定理1 目录 上页 下页 返回 结束

例1. 用Gauss 公式计算 其中 为柱面 及平面 z = 0 , z = 3 所围空间 z 闭域 的整个边界曲面的外侧. 3 解: 这里 P ( y z ) x, Q 0, R x y 利用Gauss 公式, 得 原式 = ( y z ) d x d y d z (用柱坐标)

9 d rd r (r sin z ) d z 0 0 0 2 思考: 若 改为内侧, 结果有何变化? 若 为圆柱侧面(取外侧) , 如何计算?2 1 3机动 目录 上页 下页 返回 结束

(r sin z )r dr d d z

o 1 x

y

例2. 利用Gauss 公式计算积分

z其中 为锥面 x 2 y 2 z 2 介于 z = 0 及z = h 之间部分的下侧. 解: 作辅助面

1 h ho x

y

2 2 2 1: z h, ( x, y ) D x y : x y h , 取上侧

记 , 1所围区域为 , 则I ( 1 1

在 1 上 , 0 2

)( x 2 cos y 2 cos z 2 cos ) d S2xy

2 ( x y z ) d x d y d z D h d x d y机动 目录 上页 下页 返回 结束

I 2 ( x y z ) d xdydz

Dx y

h d xd yz

2

利用重心公式, 注意 x y 04 2 z d x d

ydz h

1 h ho x

y

2 z z d z h20

h

4

1 4 h 2

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2 2 例3. 设 为曲面 z 2 x y , 1 z 2 取上侧, 求

I ( x 3 z x) d y d z x 2 yz d z d x x 2 z 2 d x d y. z 解: 作取下侧的辅助面 2 ( x, y ) D x y : x 2 y 2 1 1 : z 1 1 用极坐标 1 I 用柱坐标 1 1

d x d ydz ( 1) ( x ) d x d y2

ox

1y

13 12

2 0

Dxy

d

0

1

dr

2 0

cos d 2

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在闭区域 上具有一阶和 v 二阶连续偏导数, 证明格林( Green )第一公式 P u 2 2 2 x v v v v u x 2 y 2 z 2 d x d y d z Q u y v v v v u cos cos cos d S R u y z x z u v u v u v d x d y d z x x y y z z 其中 是整个 边界面的外侧. P Q R 分析: 高斯公式 x y z d x d ydz 例4. 设函数

P d y d z Q d z d x R d x d y 机动 目录 上页 下页

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v v v , Q u , R u , 由高斯公式得 证:令 P u x y z 2v 2v 2v 2 2 x2 y z v v v x y z

v v v u cos cos cos d S x y z 移项即得所证公式.(见 P171)机动 目录 上页 下页 返回 结束

*二、沿任意闭曲面的曲面积分为零的条件1. 连通区域的类型 设有空间区域 G , 若 G 内任一闭曲面所围成的区域全属于 G, 则称 G 为空间二维单连通域 ; 若 G 内任一闭曲线总可以张一片全属于 G 的曲面, 则称 G 为空间一维单连通域 . 例如, 球面所围区域 既是一维也是二维单连通区域 ; 环面所围区域 是二维但不是一维单连通区域 ; 立方体中挖去一个小球所成的区域 是一维但 不是二维单连通区 域.机动 目录 上页 下页 返回 结束

2. 闭曲面积分为零的充要条件定理2. 设 P( x, y, z ), Q( x, y, z ), R( x, y, z ) 在空间二维单 连通域G内具有连续一阶偏导数, 为G内任一闭曲面, 则

P d y d z Q d z d x R d x d y 0

①

的充要条件是: P Q R ② 0 , ( x, y , z ) G x y z 证: “充分性”.根据高斯公式可知②是①的充分条件. “必要性”. 用反证法. 已知①成立, 假设存在 M 0 G, 使 P Q R M 0 0 x y z机动 目录 上页 下页 返回 结束

因P, Q, R 在G内具有连续一阶偏

导数 , 则存在邻域

( M 0 ) G, 使在 ( M 0 ) 上, P Q R 0 x y z

设 ( M 0 ) 的边界为 取外侧, 则由高斯公式得

P d y d z Q d z d x R d x d y ( M 0 )

P Q R d x d y d z x y z

0与①矛盾, 故假设不真. 因此条件②是必要的.机动 目录 上页 下页 返回 结束

三、通量与散度引例. 设稳定流动的不可压缩流体的密度为1, 速度场为

v( x, y, z ) P( x, y, z ) i Q( x, y, z ) j R( x, y, z ) k设 为场中任一有向曲面, 则由对坐标的曲面积分的物 理意义可知, 单位时间通过曲面 的流量为

P d y d z Q d z d x Rdx d y

由两类曲面积分的关系, 流量还可表示为

P cos Q cos R cos d S

v n d S 机动 目录 上页 下页 返回 结束

若 为方向向外的闭曲面, 则单位时间通过 的流量为

P d y d z Q d z d x Rdx d y

n n

当 > 0 时, 说明流入 的流体质量少于流出的, 表明 内有泉; 当 < 0 时, 说明流入 的流体质量多于流出的, 表明

内有洞 ;当 = 0 时, 说明流入与流出 的流体质量相等 .

根据高斯公式, 流量也可表为③机动 目录 上页 下页 返回 结束

为了揭示场内任意点M 处的特性, 设 是包含点 M 且 方向向外的任一闭曲面 , 记 所围域为 , 在③式两边同除以 的体积 V, 并令 以 任意方式缩小至点 M 则有 lim M V

P Q R M x y z 此式反应了流速场在点M 的特点: 其值为正,负或 0, 分别反映在该点有流体涌出, 吸入, 或没有任何变化.机动 目录 上页 下页 返回 结束