第五节函数图的描形绘渐近 线图形绘描的骤 步图作例

举三第 章微分中定值与导理数应的用1

函图数形的绘描

、一近渐线义定

当线y f 曲(x ) 上一动的点P 沿着曲线移向无穷点 ,时如 点果P 到 某定线直 的距离L趋向于零,那 直线L么 就为曲线y称 f (x ) 的条一近渐.线2

数图形函的描

绘.1 竖直渐近线 x0

x(直垂于x的轴近渐线)x x0

如 果li m f x() 或li m f( x ) 么那 x x0是就y f ( ) 的x条一 直竖近渐线 .11 l m i , x 如 y( x )(2x 3 ) 2( x 2)( x 3) 1 im l 直渐竖近线: x ,2 x 3. x 3 ( x 2) x( )33

函数形的描绘图2 水.渐平近线 x

(行于平轴的x渐线近)

f x )( b ( 为常数b )果如ilmf (x ) b 或 xlmi 那 y b 就是 么 y f (x ) 的一条水 平渐线.近 如 arycat xn l,miar cta x nilma crtn xa x 2 x 2 水渐平线: y近 , y . 22

函图数形的绘描3.斜渐 近线如果li m [f x() ( xa )b ] 0(a b, 为数常,且a 0 )()1x

那么 y ax b就是 fy ( ) x一条的渐斜线.计近算 a, 的公式b由(:)1,b 式il [m f ( x) a x]x

1 x为无又大穷 , 有lim [f (x ) ( xa b ] ) 0 x x f( x)f (x) b (f x)[ a ] l i m a 0从而 a lm i x即il m x x x x xx

数函形的描图

注 绘果

a如 limx

( fx ), bilm[ (f x ) ax x ] xf( x )(1 )li m不在存; x xf () x(2 ) ilm a 在,存 但 li m [f( x ) ax] 存不在 , x x x可断定以y f( x )不 在斜存近线.

2(渐 x 2) (x 3 ) 渐近的.线 例 求 f ()x x 1f ( x ) 定义域 ( 解, )1 1(, ) . il xm 1

, x 是曲线1竖直渐的近 线6.

函数图的描形

绘( x3) )2( x )2(x film无水平近线渐[ f (x ) ax] alim, b lim x x x x 1x

2 x( )(2 x)3求 f( x) 渐近的线 x .1(2x 2( x ) 3 ) f( x ) 又 lim iml 2 a xx x ( x 1 )x 2 x( 2() x3 )2 x] lm[ fi (x) xa ] iml x [ x x 12( x2)( x ) 2 x3 (x 1 ) iml 4 b x x1 y x 2 4 是 曲的一线斜渐条线 近.7

函图数的描形绘

、二形描图的绘步骤利用数特性函描绘函数形. 图确定函的定义域、数域值间、断,点 讨论函数单的调性极和值, 线曲的凸凹性和拐点 ,渐近线 适.计当曲线算一些上的点坐, 特标注意别 坐与标是否轴有交点.

函数图形的绘

描三、图作举例4(x 1 )例作函 f (数x )

2的图 形. 2x 解 D : x 0 ,非奇 偶非函数, 4( x 2) 8 (x 3) f x( ,)f ( x) 3.4 x x令 f x )( ,0 驻得点 x 2, f 令 ( x ) 0, 得 x 34. ( x ) 1limf ( x ) l m[i 2] 2, 水渐近线y平 2; 2x x x 9

数函形图的描绘4 (x )1f x() 4 (x 1) li m ( x )f l mi [ 2 ] , 铅直渐线近x 0. 2x 0 x 0 x无斜近渐.线

2x

2f (x ) ( x 4 2) x3 8( x 3) f ( x ) 4

x表列x ( , )3 3 3, 2( ) 2 ( 20,)f ( x) f x( )f x)(0不在存(0 ,

)

0点( 拐 ,3 2 6) 90

极小

值

间 断点3

1

函0图数形描的绘x

,(3 ) 3 ( ,32) 2 ( 2 0,)

0存在不

0, () 4 x( )1 f( ) xf x)( 2x2f (x) 平水渐近线: 0

拐点

极0值小

y

断间点

y 2,f (x )垂直近线: x 渐0. 极小值 f ( )2 3 点 (拐 3 ,2 6 9)作图

6

充补点(1 3 , 0,)( 1 3 0),, 32 1O 1

1

2

x( 1 ,2) (1,6,,)( 2, )1. 2 3 1

1

数函形图描的绘2 x 2x 2 作函例数y 的 形图 . x1解D : x 1 , 奇非非函数,偶x( x 2 2)y ,y . 3 ( x 2 1 ) x( 1 )令y ,0 得驻 点 x0, x 2, y无 0 的.点2 x 2 x x22 2x 2 li m l,i m . x1 x 1 1xx 1垂渐直线近 1x

1.2函

图数形描的绘x2 2x 2 f ( ) x x1 又a l i mim l1 x x x

x2x 2x 2 b li m f[ ( x) x]a lm( i x ) x 1 x x1 y x1 曲是线一条的渐近斜 线.

x( x )2( x1) 22y ( x 1 3 ) y

列表xy

y ( , 0)

0 0(0,)11

(,1)22

(2, )

无定义

0

小极

值31

y极大值

22

函

数图形的描绘x ( ,0 ) 00,(1)5 补 充点 :( 1 , 0 ) , B y A (3 ,6.y ) x2 2 x 2 图形的.1 作函数 (2x2, )1(,2 )y 1

2 2 f( ) 2 f 0() 2 ,小极 值大值极

0极值小

极y大值

2

无义定2

作图y

x 1 y x 11

3 21

O

11

2

3x

1

4