高中数学课件 共面向量基本定理

共面向量基本定理

知识回顾1、空间共线向量：表示空间向量的有向线段所在直线互相平行或重合， 则这些向量叫做共线向量或平行向量。 b a a a 平行 b 记作：a // b b

2、空间共线向量定理：对空间任意两个向量

a 、 ( b 0) ,a // b 的充 b a

要条件是存在 实数 ,使得 b

新知探讨①推论：如果 l为过点A且平行于已知向量 a的直线，那么对 任一点O,点P在直线 l上的充要条件是存在实数 满足等式： OP OA ta 其中向量 a 叫做直线 l 的方向向量。 (注意：点P在 l 上的位置与 t 存在一一对应关系)

t

P

B

a

A

(t 1)

O

②空间直线的向量参数方程： ∵ OP OA ta① (在 l 上取 AB a )

OP OA tAB OP OA t (OB OA) ② OP (1 t)OA tOB把①或②都叫做空间直线的向量参数方程。 ③线段AB中点公式： 1 ②中，当 t 时， 2 点P是线段AB的中点，

B

P

A

此 时有： 1 OP (OA OB ) (如图) 2

O

OP (1 t )OA tOBP、A、B 三点共线 O、P、A、B 四点共面

1 OP (OA OB ) 2(中点公式)

例1:若点P分线段AB成2:1,对空间任意一点O, 试用 OA, OB表示OPB

P

A

O

练习： 已知点P分线段AB的比为m:n(mn>0),点O为空间任一点，则 A.

B.

m n OP OA OB m n m n n m OP OA OB m n m n m n OA OP OB m n m n m n OB OA OP m n m n

C.

D.

3、空间共面向量： 1、向量 a 与面 平行定义：平行于 , a在 内，或 直线OA(OA是 a 所在直线) 记作：a // 则向量 a 平行于平面 ,

a a

b

a

2、共面向量定义： 平行于同一平面的向量，叫做共面向量。例如： a // , b// ,则

a 与 b 为共面向量。

平面向量的基本定理：如果 e1 ,e 2 是同一平面内的两个不共线的向量，那么对于这

a ,有且只有一对实 数 1, 2 ,使 a 1e1 2e2 。共面向量定理： 如果两个向量 a ,b 不共线， 则向量 p 与向量 a ,b 共面的充要条件是

一平面内的任一向量

y 存在实数对 x , ,使 p xa yb

3、共面向量定理： 如果两个向量 a ,b 不共线， 则向量 p 与向量 a, b共面的充要条件是 存在实数对 x,,使 p xa yb y作 MA a

MB b

MA' xa

A' P ybB M A

则 MP xa yb

pA'

P

于是点P ∈面MAB,

p∥面MAB,即共面。

p, a, bO

推论 空间一点P ∈面MAB的充要条件是存在有序实数对 x, y , 使

MP xMA yMB或 OP OM

xMA yMB

(平面MAB的向量表达式) OP OM xMA yMB 证明 M、P、A、B 四点共面的方法：

MP xMA yMBM

B A

P

A'

O

三、例题研究例2 对空间任一点O和不共线的三点A,B,C间满足向量 式 OP xOA

yOB zOC 其中 ( x y z 1) 的四点P,A,B,C共是否共面。

解：原式可化为： (1 y z )OA yOB zOC OP

OP OA y(OB OA) z(OC OA) AP yAB zAC所以，点 P、A、B、C 共面。练习

五、课堂总结1、空间共线向量定理：

a // b 的充要条件是 a b (b 0, R)2、空间直线的向量参数方程

OP OA tAB (1 t)OA tOB3、空间共面向量定理

p xa yb MP xMA yMB OP OM xMA yMB作业P162之友

B

P

A

OP (1 t )OA tOB

OPB A

P、A、B 三点共线

OP xOA yOBO、P、A、B 四点共面

O

例3 已知

ABCD ,从平面AC外一点O引向量

OE kOA, OF kOB, OG kOC, OH kOD求证：①四点E、F、G、H共面； ②平面AC//平面EG。 证明： ∵四边形ABCD为O

① ∴ AC AB AD

(﹡)D

EG OG OE kOC kOA

C

k (OC OA) kAC k ( AB AD) (﹡)代入 k (OB OA OD OA)

AH

BG

OF OE OH OE E F EF EH 所以 E、F、G、H共面。

例3 已知

ABCD ,从平面AC外一点O引向量

OE kOA, OF kOB, OG kOC, OH kOD求证：①四点E、F、G、H共面；

②平面AC//平面EG。证明： EF ②

OF OE kOB kOA

O

k (OB OA) kAB 由①知 EG kAC EG // AC EF // AB由面面平行判定定理的推论得：AH

D

C

BG

面EG // 面AC

E

F