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南京师大附中2013－2014学年度第1学期

高一年级期中考试数学试卷答案

一、填空题：本大题共14小题，每小题3分，共计42分．

1．{－1，3} 2．－2 3． 3 4． [2，+∞)

5．－x(x＋1) 6．b＜c＜a 7． 6 8． (2，+∞)

19．(－1，0)∪(1，＋∞) 10． 4 11． [2，+∞) 12． 奇

13．(－∞，－1) 14．（3）（4）

二．解答题：本大题共6小题，共计58分．

15．解：B＝(0，＋∞)，………………………………………………………………………2分

A∪B＝(－1，＋∞)；……………………………………………………………… 5分

A∩ UB＝(－1，0]．……………………………………………………………..…8分

16．解：（1） 4

9 12 64 27 23 2 2

291＝316＋4 ………………………………………………………………………2分

17＝48 ………………………………………………………………………4分

3log3 （2）log49－log232＋22

＝log23－log23＋log232＋3………………………………………………………6分

＝8． ………………………………………………………………………8分

17．解：（1）y ,0 x 2, 11 ………………………………………………4分 2.9x 5.2 ,x 2.

（2）当0＜x≤2时，y＝11＜40，满足题意； …………………………………..6分

当x＞2时，2.9x＋5.2≤40，解得2＜x≤12．

综上，0＜x≤12．………………………………………………………….…9分

答：其打车距离的取值范围是(0，12] km．..………………………….……………10分

418．（1）解：f (x)＝xx..………………………………………………….……….……….…2分

（2）证明：设x1，x2为区间(2，＋∞)上的任意两个值，且x1＜x2，则…………………4分

4(x－x)4444 f (x1)－f (x2)＝x1xx2－x(x1－x2)＋(xx＝(x1－x2)＋xx 121212

(xx－4)(x－x) ＝，……………………………………………...7分 xx12

因为2＜x1＜x2，所以x1x2＞4，

又因为x1＜x2，所以x1－x2＜0，

所以f (x1)－f (x2)＜0．

4 故f (x)＝xx(2，＋∞)上是单调增函数．…………………………………… 10分

19．解：（1）因为 1 x 0, 1 x 0.

所以f (x)的定义域为(－1，1)；………………………………………………….2分

（2）因为对于任意的x∈(－1，1)，都有

f (－x)＝loga(1－x)＋loga(1＋x)＝f (x)，

所以f (x)为偶函数；……………………………………………………………...4分

113 又f (2)＝f (－2＝loga40，

所以f (x)不为奇函数；…………………………………………………………...5分

（3）对于任意的x∈(－1，1)，

f (x)＝loga(1＋x)＋loga(1－x)＝loga(1－x2)，

其中，1－x2∈(0，1]，……………………………………………………….…...6分

①当a＞1时，

对数函数y＝logax在(0，1]上单调增，此时f (x)的值域为(－∞，0]；.…...8分

②当0＜a＜1时，

对数函数y＝logax在(0，1]上单调减，此时f (x)的值域为[0，+∞) ．.…...10分

综上，当a＞1时，f (x)的值域为(－∞，0]；当0＜a＜1时，f (x)的值域为[0，+∞) ．

20．解：（1）根据题意，把f(0) b,f(1) a b,看成关于a，b的二元一次方程组， 解得a f(1) f(0)，b f(0)；………………………………………….…..2分

（2） 由（1）知，a f(1) f(0)，b f(0)，

法一：根据题意，当a，b都是正数时，ab才可能最大．

把ab (f(1) f(0))f(0) f(0)f(1) [f(0)]2看成主元是f(1)的一次函数， 则函数关于自变量f(1)单调递增，所以ab f(0) [f(0)] [f(0) ] 21

2211 ， 44

故当f(1) 1,f(0) 111，即a b 是，ab的最大值为． 422

法二：把ab (f(1) f(0))f(0) f(0)f(1) [f(0)]2看成主元是f(0)的二次函数， 则函数ab (f(1) f(0))f(0) [f(0) 1111f(1)]2 [f(1)]2 [f(1)]2 ， 2444

故当f(1) 1,f(0) 111，即a b 是，ab的最大值为． 422

f(1)21] ； 24法三：利用基本不等式，ab (f(1) f(0))f(0) [

故当f(1) 1,f(0)

（3）根据题意， 111，即a b 是，ab的最大值为．…………………..6分 422

①若b 0，则存在0 I [c,b]，f(0)g(0) bc 0，不合题意；

②若b 0，则对任意x I [c,0]，f(

x) 0，于是g(x) 0在区间I上恒成立，则有c 1 c 0，此时|b c| 1，等号成立当且仅当b 0,c 1；

③若b 0，则对任意x I，f(x) 0

，于是g(x) 0在区间I上恒成立，则有c

且b

由c 1 c

0，又 1 b 0，于是|b c| 1. 综上所述，|b c|的最大值为1，此时b 0,c 1.