利用递推关系求数列通项的九种类型及解法

利用递推关系求数列通项的九种类型及解法

1.形如an 1 an f(n)型

（1）若f(n)为常数,即：an 1 an d,此时数列为等差数列，则an=a1 (n 1)d. （2）若f(n)为n的函数时，用累加法. 方法如下： 由 an 1 an f(n)得：

n 2时，an an 1 f(n 1)，

an 1 an 2 f(n 2)，

a3 a2 f(2) a2 a1 f(1)

所以各式相加得 an a1 f(n 1) f(n 2) f(2) f(1)

即：an a1

f(k).

k 1

n 1

为了书写方便，也可用横式来写： n 2时，an an 1 f(n 1)，

an (an an 1) (an 1 an 2) (a2 a1) a1

=f(n 1) f(n 2) f(2) f(1) a1.

例 1. （2003天津文） 已知数列｛an｝满足a1 1,an 3n 1 an 1(n 2),

3n 1

证明an

2

证明：由已知得：an an 1 3n 1,故

an (an an 1) (an 1 an 2) (a2 a1) a1

n 1

n 2

3n 13n 1

3 1 . an =3 3.

22

例2.已知数列 an 的首项为1，且an 1 an 2n(n N*)写出数列 an 的通项公式.

2

答案：n n 1

例3.已知数列{an}满足a1 3，an an 1 答案：an 2

1

(n 2)，求此数列的通项公式.

n(n 1)

1 n

评注：已知a1 a,an 1 an f(n)，其中f(n)可以是关于n的一次函数、二次函数、指数

函数、分式函数，求通项an.

①若f(n)是关于n的一次函数，累加后可转化为等差数列求和; ②若f(n)是关于n的二次函数，累加后可分组求和;

③若f(n)是关于n的指数函数，累加后可转化为等比数列求和; ④若f(n)是关于n的分式函数，累加后可裂项求和。

1n

(an ),求数列{an}的通项公式. 2an

1n1n

解:由已知Sn (an )得Sn (Sn Sn 1 ),

2an2Sn Sn 1

例4.已知数列{an}中, an 0且Sn

2222

化简有Sn Sn 1 n,由类型(1)有Sn S1 2 3 n,

利用递推关系求数列通项的九种类型及解法

2

又S1 a1得a1 1,所以Sn

则an

n(n 1)

,又an 0,sn 2

2n(n 1) 2n(n 1)

2n(n 1)

,

2

2

此题也可以用数学归纳法来求解. 2.形如

an 1

f(n)型 an

an 1

q（其中q是不为0的常数），此时数列为等比数列，an

（1）当f(n)为常数，即：

an=a1 qn 1.

（2）当f(n)为n的函数时,用累乘法.

an 1a

f(n)得 n 2时，n f(n 1)， anan 1

anan 1a2

a1=f(n)f(n-1) f(1) a1. an

an 1an 2a1

由

22

例1.设 an 是首项为1的正项数列，且 n 1 an2， 3，…）， 1 nan an 1an 0（n=1，

则它的通项公式是an=________.

解：已知等式可化为：(an 1 an) (n 1)an 1 nan 0

an 0(n N*) (n+1)an 1 nan 0, 即 n 2时，

an 1n

ann 1

ann 1

an 1naaan 1n 211

1=. an n n 1 2 a1=nn 12nan 1an 2a1

评注：本题是关于an和an 1的二次齐次式，可以通过因式分解（一般情况时用求根公式）得到an与an 1的更为明显的关系式，从而求出an.

例2.已知an 1 nan n 1,a1 1,求数列{an}的通项公式. 解：因为an 1 nan n 1,所以an 1 1 nan n, 故an 1 1 n(an 1),又因为a1 1,即a1 1 0，

an 1 1

n,故由累乘法得 所以由上式可知an 1 0,所以

an 1

a 1an 1 1a 1a2 1

an 1 n 3 (a1 1)

an 1 1an 2 1a2 1a1 1

(a1 1) =(n 1) (n 2) 2 1 (a1 1) (n 1)!

(a1 1)-1. 所以an (n 1)!

评注：本题解题的关键是把原来的递推关系式an 1 nan n 1,转化为

an 1 1 n(an 1),若令bn an 1,则问题进一步转化为bn 1 nbn形式，进而应用累乘

法求出数列的通项公式. 3.形如an 1 an f(n)型

利用递推关系求数列通项的九种类型及解法

（1）若an 1 an d（d为常数），则数列{an}为“等和数列”，它是一个周期数列，周期为2，其通项分奇数项和偶数项来讨论;

（2）若f(n)为n的函数（非常数）时，可通过构造转化为an 1 an f(n)型，通过累加来求出通项;或用逐差法(两式相减)得an 1 an 1 f(n) f(n 1)，，分奇偶项来分求通项. 例1. 数列{an}满足a1 0,an 1 an 2n,求数列{an}的通项公式. 分析 1：构造 转化为an 1 an f(n)型 解法1：令bn ( 1)nan

则bn 1 bn ( 1)n 1an 1 ( 1)nan ( 1)n 1(an 1 an) ( 1)n 1 2n.

bn bn 1 ( 1)n 2(n 1) n 1

bn 1 bn 2 ( 1) 2(n 2)

n 2时,

b b ( 1)2 2 1

1 2

b1 a1 0

各式相加:bn 2( 1)n(n 1) ( 1)n 1(n 2) ( 1)3 2 ( 1)2 1

当n为偶数时，bn 2 (n 1) ( 1) 此时an bn n

n 2

n. 2

n 1

) n 1 2

此时bn an,所以an n 1.

当n为奇数时，bn 2(

n 1,n为奇数,

an

n,n为偶数.

解法2： an 1 an 2n n 2时，an an 1 2(n 1)， 两式相减得：an 1 an 1 2.

a1,a3,a5, ,构成以a1,为首项，以2为公差的等差数列; a2,a4,a6, ,构成以a2,为首项，以2为公差的等差数列 a2k 1 a1 (k 1)d 2k 2 a2k a2 (k 1)d 2k.

故 an

n 1,n为奇数, n,n为偶数.

12

评注：结果要还原成n的表达式.

例2.（2005江西卷）已知数列{an}的前n项和Sn满足

n 1

Sn－Sn－2=3( )(n 3),且S1 1,S2

解：方法一：因为Sn Sn 2

以下同例1，略

3

,求数列{an}的通项公式. 2

1

an an 1所以an an 1 3 ( )n 1(n 3),

2

利用递推关系求数列通项的九种类型及解法

1n 1 4 3 (),n为奇数, 2

答案 an

1 4 3 ()n 1,n为偶数.

2

4.形如an 1 an f(n)型

（1）若an 1 an p(p为常数)，则数列{an}为“等积数列”，它是一个周期数列，周期为2，其通项分奇数项和偶数项来讨论;

（2）若f(n)为n的函数（非常数）时，可通过逐差法得an an 1 f(n 1)， …… 此处隐藏：6976字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……