华理高数答案

第7章 （之1） 第32次作业

教学内容: §7.1定积分的微元法 7.2.1平面图形的面积

1．选择题:

* (1) s1和s2表示的面积（如图），则

ba

f(x)dx （ ）

(A)　s1 s2　　(B)　s1 s2(C)　s2 s1　　(D)s1 s2

答

( C )

* (2) 曲线y lnx,y lna,y lnb(0 a b)及y轴所围成的平面图形的面积

为A （ ）

(A)　lnxdx　　(B)　edy　　(C)　edx　　(D)　blnxdx a

lna

lna

e

e

lnb

lnb

y

eb

x

ea

x

答( B )

*** (3) 曲线y e,过原点的该曲线的切线及y轴所围成的平面图形的面积 为A （ ）

xx

(A)　(lny ylny)dy　　　　(B)　(e xe)dx 1

1

e

e

(C)　(D)　 (lny ylny)dy　　　　 (e ex)dx

11

x

答( D )

积*** (4) 曲线 acos (a 0)所围成的平面图形的面

121222(A)　(B)　 02acos d 　　　 2acos d

2 1122222(C)　acos d 　　　(D)　2 02 02acos d

2

A ()

华理高数答案

*2.在下面图中用阴影标出一块与所示定积分之值相等的面积。

答( D )

1 1

[y2 2 y2]dy

x2

** 3. 用两种(对x和对y积分)方法,求曲线y x2和y 4所围成的平面图形的面积.

21132

2(8 8) . 解:s 2 (4 x2)dx 2(4x x3)20

03334434432s 2 ydy y0 8 .

0333

** 4. 用两种(对x和对y积分)方法,求曲线

y

1

,y 0,x 1及x 3所围 2x

成的平面图形的面积. 1

解:交点(11,),(3,

9311

dx s 1x2x

3

1

1

12 33

s 1(

9

1

1

1

1)dy 2

9y

1

19

(2y y)

22122 1 ( 93993

**** 5. 求极坐标中区域D

, 2 1 cos , 2sin 的面积。

解：如图所示，A A1 A2， 由

2 1 cos

得 , ，

2 2sin

华理高数答案

A1

2

， A2 A1

1 32

A2 4 1 cos d 4

222

A 2 4

。

**6. 试求由曲线 x y2 和 x 4 2y y2 围成图形的面积。 解：两曲线x y2，x 4 2y y2交点为 1, 1 , 4,2 ， A

4 2y y

2 1

2

y2dy 9。

***7. 求极坐标中区域 3cos ,

1 cos 公共部分的面积。

3 2

解：两曲线 3cos , 1 cos 交点为 ,

3

, , ， 3 23

112232 由对称性 A 2A上 2 02 1 cos d 2 3cos d

3

52cos2 d 1 cos d 9 。

4

30

2

3

****8. 求极坐标中的曲线 cos sin 3和 sin2 4围成图形的面积。

2

华理高数答案

解：由 cos sin 3， 得 x y 3，

由 2sin2 4， 得 xy 2。 由

x y 3

得交点 1,2 , 2,1 ，如图所示，

xy 2

2 2 3

A 3 y dy 2ln2 1 y 2

第7章 （之2） 第33次作业

教学内容: §7.2.2平面曲线的弧长 7.2.3立体体积

1.选择题：

**（1） 由曲线y x2与y2 x所围成的平面图形绕y轴旋转一周所成的旋

转体的体积V （ ）

3

(A)　 　　(B)　　(C) 　　(D)

2105

答( C )

x a(t sint)

**（2）摆线 的一拱与x轴所围的平面图形绕x轴旋转所得的

y a(1 cost) 旋转体的体积V （ ）

22

, (A)　 a(1 cost)da(t sint)(B)　 a(1 cost)dt,

2

2

22

(C)　 a(1 cost)dt, (D)　 a(1 cost)d a(t sint)

2

2

2 a

2

2 a

2

2

答( D )

***（3）设s1是由抛物线y 4x与直线x a,x 1,y 0所围成平面图形,s2

是由y

4x2与直线x a,y 0所围成的平面图形(0 a 1),设s1,s2分别绕x轴,y轴旋转而得到的旋转体的体积为V1,V2,则V1 V2为最大时的a值是

111

(A)1　　　(B)　　(C)　　(D)342

()

华理高数答案

****（4） 由曲线y (x 1)与直线y

2

答( D )

x3

所围平面图形绕oy轴旋转成

的立体的体积V （ ）

(A)　 3y2dy 3(1 y2)2dy

2

2

1

(B)　 (C)　 (D)　

2

3ydy (1 y2)2dy

2

1

01

2

3y2dy (1 y2)2dy

1

(1 y)dy

22

32

3ydy (1 y2)2dy

2

1

答( D )

**（5）曲线y

121

x lnx自x 1至x e之间的一段曲线弧的弧长s () 42

1111(A)(e2 2)　　　(B)(1 e2)(C)(e2 1)　　　(D)(e2 1)

4444

答( C )

**（6）曲线 1,从

34

到 的一段弧的弧长s () 43

4444

13313322212

(A)　(B)　,(D)　 3 ( )d ,　 32 d ,(C)　 3 d　 3 (1)d

4

4

4

4

**2.证明半径为R，高为H的球缺体积为 H R

2

答( B )

H . 3

222

解：曲线x y R与y轴，y R H围成区域绕y轴旋转一周得旋转体即为球缺

V

RR H

x2dy

RR H

R

2

1

y2dy R2y y3

3

R

R H

1

H2 R H .

3

华理高数答案

***3.求由星形线x y a所围成的区域绕x轴旋转所得旋转体体积.

3

x acos

解：由对称性V 2V1，星形线的参数方程为 3

y asin

2

32323

V 2 y2dx 2 a2sin6 3acos2 sin d

2

a0

323

a.

105

**4.求曲线y ln1 x

2

1 0, 在区间 2 上的一段弧长.

1

20

解：S

120

y dx

2

1 x21 2x 2 dx dx ln3 . 22 021 x 1 x

2

1

**5.计算星形线x acos3t,y asin3t的全长. 解：由对称性S 4S1，

dydx

3asin2tcost， 3acos2t sint ， dtdt

2

S 4S1 4

2

xt ytdt

2

4

20

9a2sin2tcos2tdt 12a 2sintcostdt 6a

tsinucosu

du,y 1u 1udu 在 1 t e 之间的一段弧长.

costsint

,y 解：x ， tt

***6.求曲线 x

t

s

e1

x 2

y dt

2

e1

cos2tsin2t

2dt 1. 2

tt

华理高数答案

**7.求极坐标中的指数螺线 ae a 0 在解：

a

ae之间的一段弧长. e

d

ae , 1 1， d

s

1 1

d 2a e d 2a e e 1 .

2

2

1 1

**8.求圆x2 y b a2 0 a b 绕x轴旋转所生成旋转体的体积.

2

解：V V1 V2

b a x

aa

a

22

dx b

2

a a

a x

22

dx

2

y

4 ba2 x2dx

a

8 b

a0

a2 x2dx(作代换

x acos )

28 a2bsin2 d 2 2a2b.

**9.

一物体的底面是由曲线y x2,x 1和x轴所围成的平面图形,用垂直

x轴的平面截该物体,所截得的是正方形截面.试求该物体的体积.

解:正方形的边长为x2，则

V

10

s(x)dx x2 x2dx

1

1

. 5

**10*.试求高为h，底半径为R的正圆锥体的侧面积.

y 解：S

h0

2 y y 2dxh

RR222

2 x1 2dx RR h0hh

***11*.求圆x2 y b a2 0 a b 绕x轴旋转所生成旋转体的表面积.

2

解：S S1 S2

a a

2 b a2 x2

2x

1 22

2a x

dx

2

华理高数答案

2 b a2 x2

a

a

2x1 22

2a x

dx

2

4 ab

a0

1a2 x2

dx作代换x acos 8 b 2ad 4 2ab (图同8题).

第7章 （之3） 第34次作业

教学内容: §7.3物理应用

1.选择题：

***（1）一三角形水闸底边与水 平面平行,顶点在上方.另一矩形水闸的宽度与

三角形底边相同,高度也与三角形高相同.则放满水时,三角形水闸所受压力与矩形水闸所受压力的比

1125

(A)　　　(B)　　　(C)　　　(D)3236

hF1ay122

答(C),因F矩 aydy h,　F三 dy　 a h2,　 三 .

002h3F矩3

h

()

***(2)、一个长l0米的弹簧被F牛顿的力拉长 l米,设所需功为W0,现把此弹簧

再拉长 l米,再需作功W1,则

W1

W0

()

(A)　4　　(B)　3　　(C)　2　　(D)1　答（B）

因F k l,　k W1

2 l l

FFx

.W0 kxdx

0 l l2

l

2 l

F

l,2

kxdx

Fx l2

22 l

l

WF

3 l, 1 32W0

部抽到高为H的水塔上,所作 ***(3). 横截面为S,深为h的水池装满水。把水全的功W

(

)

华理高数答案

(A)　 Sg(H h y)dy　　　(B)　 Sg(H h y)dy

hH

(C)　 Sg(H y)dy　　　　(D)　

hh H

Sg(H h y)dy

其中g为重力加速度

答（A）因微元dW Sg(H h y)dh,y的变化范围从0到h.

**（4）* 一均匀直棒,长为l,质量为M,在它中垂线上距棒的中点a单位处有

一质量为m的质点P,则棒对此质点的引力可以用下式计算:F ()

kMmkMml(A)2　　　(B)2

aa2kMmdx(D)l 0a2 x2

**（5）*在0 x

ll

2akMmdx(C) 0(a2 x2)l

（C）答案

2

中,用x代替sinx时,其绝对误差的平均值是()

(A) 　　　(B)

4 24

2

(C) 1　　(D) 1。

84

答：A

2

2 2

**（6）* 一横梁长30米,它所承受垂直载荷为p(x) x 40x 400　(m)

则它的平均载荷为

(A)　400(m)　　(B)　500(m)(C)　600(m)　　(D)　700(m)

()

答( D )

***2、一容器由圆柱形和半球形组成(如图)。r 2m,　H 4m.将该容 器埋于地下，容器口离地面3m.若在容器中灌满水，试求抽出全部水所需的功。 解：如图

W

0 4

g 2(x 7)dx　 g (4 x)(x 7)dx

2

2

2

2

华理高数答案

80

g

124

g 3

364

g 3 3733.67(KJ)

**3.两质点之间的吸引力为f k

m1m2

，其中k为常数，m1、m2为二质点的质量，r为2

r

两质点之间的距离。设两质点初始距离为l0，将一质点沿连线延长线方向移动 l，求克服引力所作的功. 解：W

l0

k

m1m2

2

(l0 x)

l

1

km1m2

l0 x

km1m2(

1111

) km1m2( ).

l0 ll0l0l0 l

5

***4．在直径为0.2m，高为0.8m的圆柱形气缸内，充满了压强为8 10Pa的气体.若要将气体的体积压缩到原来的一半，问需作功多少？ 解：pv k 8 10 0.1 0.8 6400 ， 压缩至x处气体压强 p x

5

2

k6400 640000

， 2

v 0.1 0.8 x0.8 x

6400006400

0.12 ，

0.8 x0.8 x

断面受气体压力 F x p x S F外

6400

，

0.8 x

将气体体积压缩至原来的一半需作功 W

0.40

6400

dx 6400 ln2.

0.8 x

**5. 底长为a，高为h的等腰三角形木板铅直置于水中，底与水面相齐，两腰中点连线将此三角形分成上下两部分，试证明，在一个侧面上下两部分上所受水压力相等. 解：直线L方程

h xxy

a， 1， y 2hha

2

华理高数答案

对x 0,h 处厚dx的小片所收水压力dF 2

h xh x

adx gx gaxdx， 2hh

F上 ga

h

20

hh x ga2h x ga2

xdx h,F下 h gaxdx . F上 F下.

h12h122

**6.洒水车上的水桶是一个横放的椭圆柱体，尺寸如图所示，当水箱装满水时，求水箱一个端面处所收的侧压力.

解：记y轴上厚dy的小片所收压力为dF，则dF 2x dy g 0.75 y ，

F

0.75 0.75

dF

0.75 0.75

2 g 0.75 y

1

0.752 y2dy 0.752 g 0.5625 g

. 0.75

17.31(KN)

**7.某水库的闸门是一个等腰梯形，上底为6m，下底为2m，高为10m，当水面与闸门顶部相齐时，求闸门所受的压力.

解：直线L过 0,3 , 10,1 ，其方程为y

1

x 3，dF 2y dx gx， 5

华理高数答案

F

100

500 1

2 g x 3 xdx g

3 5

**8*.求函数f x xe x在区间 0,1 上的平均值. 解： x

11112 x x x1 xxedx xedx xe edx 1 0 001 0 0e

T

I,0 t 2

**9*、求周期为T的矩形脉冲电流 i t 的有效值.

0,T t T 2

解：由公式 6 22 知脉冲电流的有效值I0为

t

T 1t21 22

I0 i t dt Idt T0dt 00TT 2

I2I

.

22

**10*.求函数f x xcosx在区间 0,2 上的平均值.

1

解： x

2

2 0

xcosxdx

1

2

2 0

1

xdsinx xsinx

2

2 0

1 2

2 0

sinxdx 0.

**11*.已知某一日任意时刻t的气温为 T t 15 3sin

t 8

, 0 t 24 12

求在区间 0,24 上的平均气温. 解：

124 t 8 3 t 8 24

15 3sin dt 15 cos 0 15. 02412 2 12

第7章（之4） 第35次作业

华理高数答案

教学内容：§7.5.1广义积分问题的产生 7.5.2无穷区间上的广义积分

1. 填充题： ***（1）

x

1 x3

dx ________

. 解： 3

。

***（2）

e

x

dx _________

. 解：2。

2. 选择题： ***（1）若广义积分

0

f(x)dx收敛，

且 0

f(x)dx A，则下列结论中错误的是（(A) 对于任意实数a，广义积分 af(x)dx也一定收敛； (B) 对于任意实数a，广义积分

a2f(x)dx也一定收敛； (C)

0f( x)dx必收敛，且

f( x)dx A ；

(D)

f(lnx) 1

xdx必收敛，且 f(lnx)

1x

dx A.

答案(A)

**（2）若f(x)是偶函数，且

f(x)dx A，则下列结论中错误的是（ ）

(A)

f(x)dx A2； (B)

0

f( x)dx A

2；

(C)

f(1 x)dx A； (D)

f(1 x)dx A.

答案(B) **3. 求

dx

1

(1 x2)x

2

. 解：原式

1

[

111 x2 x2

1

]dx=[ x arctanx]

1 1 4. **4 .求

dx

1

x(1 x2

).

解：原式=

1

1

[1x x

xx2 1]dx lnx2 1

1

2

ln2. ）

华理高数答案

**5 求

0

dx(1 x)

2

32

解：原式 **6. 求

20

costdt 1

0

xe

3 x2

dx. 原式

1 t

tedt 02

令　x2 t,

b111

lim te tdt lim( te t e t)b . 0

2b 22b 0

***7. 求

0

e

x

dx.

解：令　x t

原式 2

0

te tdt 2lim te tdt 2lim( te t e t)b0

b

b

b

2lim be

b

b

e b 1 2. arctanx

***8. 计算广义积分

0

(1 x2)

3

2

dx.

解：令arctanx t,原式

20

t2

sectdt 3

sect

20

2tcostdt 2td(sint) tsint

2sintdt

2

cost

20

2

1.

****9. 计算广义积分

1

arctanx

dx. 22

x(1 x)

解：令　x tant, 原式

2

4

t cottdt 2t(csc2t 1)dt

4

2

t2

(t cott lnsint )

2

24

4

13

ln2 2. 232

华理高数答案

****10. 求解：I

0

e xcos2xdx.

x

1 x

ed(sin2x) 02

ecos2xdx

1 x

[esin2x0 e xsin2xdx]

02

1 x1 x

ed(cos2x) [ecos2x

4041

I .

5

0

I]

11 I 44

***11.已知广义积分

a

ax b

dx收敛于 ，求a,b的值. 22

x 2ax 1 a

解：

a

ax bx2 2ax 1 a2

(a2 b)

x a tdx

0

at a2 b

dt

t2 1

t

， 202t 1

可知此广义积分收敛的充要条件是a 0，又由于它收敛于 ，所以有 b 2.

a

**12.试证无界区域D x,y x 1,0 y 成的旋转体体积为有限.

1

的面积为无穷大，而该区域绕x轴旋转生x

1

1xdx， 而

1b1b

dx lim limlnx1 . 1xb 1xb

1

dx，而 （２）该体积即为： 21x

证：（１）依题意，该“面积”即为：

1

b111b1

dx limd( ) lim( ) lim(1 ) . 1

b 1b b xxbx2

第7章（之5） 第36次作业

教学内容：§7.5.3无界函数的广义积分

1．填空题（下列广义积分如收敛，请填广义积分值；否则填“发散”两字）：

华理高数答案

**（1）

20

cosxx1 t4 t

2

. dx _________

解： 2。 ***（2）

20

. dt _________

解：2

2

。

2.选择题：

**（1）下列各式中，是广义积分的是 （ ）

1111sinxcosx

)dx； (B) 2dx；(C) 2(A) 2(dx； (D) exp( 2)dx.

10sinx00xxxx

答案(C) **（2）f(x)在( ,0),(0, )上连续，x 0是f(x)的无穷间断点，则 ( ) (A) 广义积分(B) 广义积分(C) (D)

1 11 1

f(x)dx可定义为lim[

t 0

t 1

f(x)dx f(x)dx]；

t

1

f(x)dx发散的必要条件是

10

0 1

f(x)dx和

1 1

10

f(x)dx同时发散；

0 10 1

f(x)dx和 f(x)dx都发散，不能推导出 f(x)dx和 f(x)dx都收敛的充要条件是

01

1

f(x)dx也一定发散；

1

f(x)dx收敛。

答案（D）

***（3）下列广义积分收敛的是 （ ） (A)

e1

dxxx

； (B)

e

dxxlnx

； (C)

e1

dxdx

； (D) 1xlnkx（k 0). xln2x

答案(A) ***3.

31

xdxx 4

2

.

解：原式

21

xdx4 x

2

32

xdxx 4

2

4 x2

2

1

x2 4

32

3 .

***4. 计算广义积分

10

1 2lnx

x

1

12

dx的值.

111111

2 [2x2lnx 2x2 dx] 0 0 0x

解：

10

1 2lnx

x

dx (x

2x2lnx)dx 2x2

1

1