有限元理论

第2章 有限元理论基础

(ANSYS软件)的理论基础－基本方程，边界条件。 基本方程：描述应力状态的平衡方程

描述应变状态的几何方程

－－－－－有限元计算的核心思想。 描述应力应变关系的本构方程 对应的边界条件。 2.1应力状态分析

图2.1为单元体的应力状态。

图2.1 单元体的任一点的应力状态描述：

11 12

ij 21 22

31 32

13

23 ，剪应力互等 ij ji，六个独立分量 33

单元体的静力平衡问题。单元体沿三个坐标轴方向的力的平衡条件和对三个轴的力矩平衡条件。 三维力的平衡微分方程：

ij ij 11 21 31

Fj 0 0 F1 0

x x x y zii

12 22 32

F2 0

Fj 0

0 x y zij,iij,i 13 23 33

F3 0 x y z j=1,2,3 j=1,2,3

note: 1. 11 在垂直x轴平面的应力，在X轴的分量。

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2. F为体力，包括：重力、磁力、惯性力，与物体的质量成正比。Fi为I轴的体力分量。

3.物体表面单位面积的面力T 三个分量为Tx,Ty,Tz,或T１,T２,T３,应力 的三个分量 x, y, z或 1, 2, 3 应力边界条件：

T1 11 21 31T2 12 22 32

Ti jiTi ij

T2 13 23 33 i 1,2,3

表达作用在物体表面单位面积丧的面力T与物体内的应力分量之间的关系。 2.2 应变状态分析 图2.2为单元体的应变状态。

图2.2

单元体的一点的应变状态的张量描述：

xx

ij yx

zx xy xz 11 12 13

yy yz 212223 与应力状态相似。由剪应变互等定律 ij ji

zy zz 31 32 33

九个应变分量中只有六个是完全独立的。

描述一点的应变分量与点的位移分量之间的关系的几何方程。

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v u u x xyyx

x y x

v w v y yz zy

y y z w u w z zx xz

z z x

如果用张量表示：

定义： xx x, yy y, zz z, xy yx

111

xy, yz zy yz, zx xz zx 222

xx 11

u1

u1,1 x1

yy 22 u2,2 zz 33 u3,3 xy 12

11 u2 u1 1 (ui,j uj,i) ij (u u)2,11,22 2 x1 x2 2

yz 23 (u3,2 u2,3) zx 31

1

21

(u1,3 u3,1)2

2.2 应力－应变关系分析－－用于定义材料的性质、设定边界条件。 2.3.1 弹性材料

弹性理论研究的对象是理想的弹性体。 符合下述四个基本假设：

(1) 物体是连续的,由连续介质组成,没有空隙，物体中的应力、应变以及位移等量是连续的，

可以用坐标的连续函数表示。

(2) 物体是均匀的，各部分具有相同的性质， 弹性常数不随位置坐标而改变。 (3)物体各向同性、弹性常数不随方向而改变。 (4)物体是完全弹性的。

线弹性问题是以理想弹性体的微小位移和应变为前提条件。(略去高次项成线性方程)。 反之为非线性弹性理论。

处于(弹)塑性状态的应力－应变关系理论为(弹)塑性理论。

线弹性理论的广义虎克定律

描述弹性体内任一点的应力－应变分量之间的关系。

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xx yy zz xy yz zx

1

[ xx ( yy zz)]E1

[ yy ( zz xx)]E1

[ zz ( xx yy)]

1 E

ij ij

ij

1EE xy

2G1 yz

2G1 zx

2G

式中：

ii 11 22 33

12

ij 单位张量 ij ij

E

2(1 )

E 杨氏模量；v 泊松比；G 为剪切模量 G

上述为物理方程，或本构方程。 用应变表示应力的形式：

xx e 2 xx yy e 2 yy

zz e 2 zz

ij ije 2 ij

xy 2 xy yz 2 yz zx 2 zx

基本方程 通解 ＋

定解条件 完整的问题

初始条件――讨论问题的特定时刻 （动态问题） 边界条件――弹性体边界上的外力和位移的情况。

弹性力学中的边界条件：

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(1) 应力边界条件 已知作用在物体内的体力Fi 和物体表面处的面力Ti, 就已知物体边界上的应力。

(2) 位移边界条件 已知作用在物体内的体力Fi和物体表面处的位移ui,已知物体边界上的位移。

(3) 混合边界条件 已知作用在物体内的体力Fi，物体表面处的位移ui和力已知。

力系作用的物体的应力和应变的解是唯一的。

平面问题： 一般都是三维问题，求解、分析是相当复杂和困难的。在特殊情况下，如果能够把它作为平面问题，大大简化了计算和分析的过程。

WHAT?

平面问题： 薄板一类的结构。包括平面应力和平面应变问题。 平面问题的基本方程和边界条件

xx yx

Fx 0 x y

平衡方程：

xy yy

Fy 0 x y

xx

几何方程： yy

u

x v y

1 v u

)2 x y

xy yx (

边界条件：力

Tx xxn1 yxn2Ty xyn1 yyn2

位移：u=u1 v=v1

平面应力问题：等厚度、 板厚度远小于板的其它两个方向的尺寸，所受的外力平行于板面且不受厚度变化。

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满足上述条件，应力状态是平面的，二维的；应变状态是空间的，三维的。 弹性体平面应力问题：

xx 应力状态描述： ij xy 0

yx

yy

0 xx

0 应变状态描述： ij xy

0 0

yx

yy

0 0 zz

xx yy

本构方程：

zz xy yz

1

( xx yy)E1

( yy xx)E1

( xx yy)

E11 xy xy

2GE zx 0

平面应变问题：沿z轴方向的尺寸远大于其它另外两个方向的尺寸。Z轴方向的位移或应变相对于本身尺寸很小，可忽略不计。

满足上述条件的应变状态是平面的，二维的；其应力状态是空间三维的。 弹性体的平面应变问题：

xx 应力状态描述： ij xy 0

yx

yy

0 xx

0 应变状态描述 ij xy

zz 0

yx

yy

0 0 0

xx

本构方程： yy

xy

式中：E

'

1'

( yy)xx'E1

'( yy ' xx) E1 xy

2G

Ev'

v 2

1 v1 v

轴对称问题：弹性体的几何形状和所受外力均对称于弹性体的中心轴。典型的有：柱、筒、环等。

特征：剪应力为零 r r 0，

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rr rr(r)

只有正应力

A

B(1 2lnr) 2Cr2

A

(r) 2 B(3 2lnr) 2C

r

轴对称平面应力问题：平行板面的外力和几何尺寸沿z轴对称，且z轴的尺寸远远小于x,y方向的尺寸，如薄板圆环。

轴对称平面应变问题：所受的外力和几何尺寸沿z轴对称，沿z轴方向的尺寸远大于其它另外两个方向的尺寸或两端受约束。Z轴方向的位移或应变相对于本身尺寸很小，可忽略不计。

rr

两种情况的应力分量表达式一样：

r

A

2C2rA

2 2C

r r 0

1A

[(1 v)2 (1 3v)B 2(1 v)B nr 2(1 v)C]Er1A

平面应力问题的应变分量表达式： [ (1 v)2 (3 v)B 2(1 v)B nr 2(1 v)C]

Er2 r rr 0

rr

平面应变问题的应变表达式：将E换为E' 2.3.２ 弹塑性材料

Ev

v' 和v换为。 2

1 v1 v

应力较小时，材料处于弹性变形阶段，应力－应变线性关系，服从虎克定律，当应力 超过材料

ep

的屈服极限 s时，材料进入塑性变形阶段，总应变 ij有弹性应变 ij和塑性应变 ij两部分组成。e ij ij ijp

应力－应变曲线如图。

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在塑性阶段不仅与应力状态有关，而且与加载路径有关。 介绍几种常用的弹塑性理想（简单）模型 (1)理想的刚塑性模型

材料在屈服前处于刚性无变形状态，一旦屈服后进入不强化的理想塑性流动状态。应力－应变关系见图２.1。

图 2.1 其表达式： s

(2)理想的弹塑性模型

弹性阶段的应力－应变关系是线性的，屈服后是不强化的理想塑性流动状态。 应力－应变关系见图2.2。

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图 2.2 其表达式：

E s

s

s

(3)刚塑性线性强化模型

屈服前为刚性无变形状态，屈服后为线性强化。 应力－应变关系如图2.3。

图 2.3 其表达式： s E1

(4)弹塑性线性强化模型－－－双直线模型 弹性阶段是线性的，屈服后线性强化。 应力－应变关系如图2.4。

图

2.4

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其表达式：

(5)幂强化模型

应力－应变遵从幂指数关系， A

式中：A>0 n为强化系数。 n=0 理想刚塑性材料；n=１理想线弹性材料。 见图2.5。

n

E s

s s E1( s)

图 2.5

(6)多阶段模型

为了描述更加接近实际材料的情况。

大多数材料是非理想的材料，其普遍的应力应变关系遵从在弹性段是线性的，符合虎克定律。 屈服后发生塑性变形，应力应变规律是复杂非线性的，为研究方便，将塑性阶段分段分析。 如图2.6。

s

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图 2.6

(7)增量理论模型

塑性状态下，应力－应变关系的本质－－－增量关系。这是一种更接近实际塑性材料的模型。

p'

Reuss假设： d ij d ij

2.3.３ 塑性材料

塑性问题的求解是非常复杂的。

不少实际问题可用刚塑性材料的平面应变问题来近似―――采用的滑移线场理论。

塑性平面应变问题，则是指物体内个质点的塑性流动均平行与XOY 平面，与z无关。

u u(x,y),v v(x,y),w 0

基本方程

12

( xx yy)2 xy k24

xx yy

应力平衡方程： 0

x y xy yy

0 x y

xx

应变几何方程：

xy

u v

, yy xx 0 x y,

u v yz zx 0 x y,

滑移线场理论中常遇到的应力边界条件： （1）应力自由表面

yy 0 xy 0

（2）无摩擦接触面

xy 0

一些特殊情况查书。 2.3.４ 粘弹性材料

固体同时显示出弹性和粘性的行为。 以线弹性和线粘性为例讨论。

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当开始加载时，初始材料显示弹性性能，符合虎克定律

E 。

在加载时形变随时间而增大的现象，卸载后形变继续保留下来，应力－应变关系符合牛顿

定律。

d

dt

线性粘弹性材料的力学模型：

Maxwell模型： 一个弹簧和一个阻尼器串联。近似描述粘弹性固体的应力松弛行为。

E

E t

0，得： (t) 0e讨论：当 0,

当 0 得： (t)

应力松弛――应力随时间减小。

0

t 蠕变――应力随时间增大。

Kelvin模型： 一个弹簧和一个阻尼器并联。近似描述粘弹性固体的蠕变行为。

E

讨论： 0

(t)

0

E

(1 e

E

t

) 蠕变――应力随时间增大

0 E 弹性行为――虎克定律 0,

标准线性固体模型：Maxwell模型和另一个弹簧并联。同时描述应力松弛和蠕变现象的模型。

) MR(

0 讨论：当 0,

当 0

粘弹性固体的动态力学行为 内耗：Q

1

(t) MR 0 ( 0 MR 0)e (t)

0

MR

( 0

E

t

应力松弛

0

MR

)e

E t

应变松弛－蠕变

1 W

sin tg

2 W

1

标准线性固体的动态力学模型：Q

M

1 2 2

M

Mu MR

M

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前面讲的是由外力引起的应力―――结构应力。 下面讲由热――温度变化引起的应力――热应力。

引起热冲击破坏（温度骤变）和热疲劳破坏。―――高温场合尤为重要。 2.5 热应力 2.5.１ 热应力的产生

构件的热胀冷缩受到外界约束。（棒两端固定，然后加热，产生压应力）

相连的两个构件存在温差，且相互约束。（温差引起热传导，构件热胀冷缩，相互约束引

起应力。）

构件内部存在温差，且相互约束。（构件加热－冷却不均匀 热处理，内部引起应力） 不同材料的组合和约束。（不同材料膨胀系数不同，加热过程，约束，引起应力。复合材

料在热处理过程中。）

约束 热应力 温度场 应力场

载荷 边界

2.5.２ 基本方程

热传导基本方程。

2T 2T 2T

三维：k(2 2) qd 0 有内热源 2

x y z

2T 2T 2T

k(2 2 2) 0 无内热源 x y z 2T 2T

二维：k(2 ) qd 0 有内热源

x y2 2T 2T

k(2 ) 0 无内热源

x y2

边界条件：T(P)=f(P)

T(P)与物体表面相接触的流体温度，物体表面温度f(P)。

k(

T

) [T(P) Tf(P)] 0 n

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式中，n是边界的法向，u是放热系数。 弹性热应力基本方程

弹性力学的基本方程用于热应力分析――热膨胀影响应力和应变。 故：平衡方程和几何方程不受影响，仍为前述。仅本构方程变化。

xx yy zz

热应力本构方程：

xy yz zx

1

[ xx ( yy zz)] TE1

[ yy ( zz xx)] TE1

[ zz ( xx yy)] TE

1 xy

2G1 yz

2G1 zx

2G

式中： 为材料的线胀系数。

平面热弹性问题

xx yy xy

1''

( ) Txxyy'E1

'( yy ' xx) 'T E1 xy

2G

平面应力：

zz 0,E' E,v' v, '

'

平面应变： zz v( xx yy) ET

E'

列出场表达式：

4

Ev'

v ' (1 v) 2

1 v1 v

E 2T

平面应力

/(1 v) 平面应变 求解方程：―――步骤：

热传导方程 温度场分布 应力场分布

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轴对称平面热弹性问题

可参照平面热弹性问题解题思路。 2.6

残余应力

固有应力，无外力作用时以平衡态存在于物体内部的应力。 2.6.１ 残余应力种类

机械残余应力――机械作用造成不均匀塑性变形。机加工、拉、拔、扭、压。 热残余应力―――热应力造成不均匀变形。如

制备涂层过程冷却时：涂层－基体、焊接过程母体－焊缝；高分子材料模压成型后，

脱模。

相变残余应力――相变造成不均匀变形。淬火处理过程的马氏体相变。 化学残余应力――化学变化造成不均匀变形。 2.6.2 解题思路：

一般残余应力场处于弹性段，可以用弹性理论求解残余应力的问题。