有限元理论

第2章 有限元理论基础

(ANSYS软件)的理论基础－基本方程，边界条件。 基本方程：描述应力状态的平衡方程

描述应变状态的几何方程

－－－－－有限元计算的核心思想。 描述应力应变关系的本构方程 对应的边界条件。 2.1应力状态分析

图2.1为单元体的应力状态。

图2.1 单元体的任一点的应力状态描述：

11 12

ij 21 22

31 32

13

23 ，剪应力互等 ij ji，六个独立分量 33

单元体的静力平衡问题。单元体沿三个坐标轴方向的力的平衡条件和对三个轴的力矩平衡条件。 三维力的平衡微分方程：

ij ij 11 21 31

Fj 0 0 F1 0

x x x y zii

12 22 32

F2 0

Fj 0

0 x y zij,iij,i 13 23 33

F3 0 x y z j=1,2,3 j=1,2,3

note: 1. 11 在垂直x轴平面的应力，在X轴的分量。

有限元理论

2. F为体力，包括：重力、磁力、惯性力，与物体的质量成正比。Fi为I轴的体力分量。

3.物体表面单位面积的面力T 三个分量为Tx,Ty,Tz,或T１,T２,T３,应力 的三个分量 x, y, z或 1, 2, 3 应力边界条件：

T1 11 21 31T2 12 22 32

Ti jiTi ij

T2 13 23 33 i 1,2,3

表达作用在物体表面单位面积丧的面力T与物体内的应力分量之间的关系。 2.2 应变状态分析 图2.2为单元体的应变状态。

图2.2

单元体的一点的应变状态的张量描述：

xx

ij yx

zx xy xz 11 12 13

yy yz 212223 与应力状态相似。由剪应变互等定律 ij ji

zy zz 31 32 33

九个应变分量中只有六个是完全独立的。

描述一点的应变分量与点的位移分量之间的关系的几何方程。

有限元理论

v u u x xyyx

x y x

v w v y yz zy

y y z w u w z zx xz

z z x

如果用张量表示：

定义： xx x, yy y, zz z, xy yx

111

xy, yz zy yz, zx xz zx 222

xx 11

u1

u1,1 x1

yy 22 u2,2 zz 33 u3,3 xy 12

11 u2 u1 1 (ui,j uj,i) ij (u u)2,11,22 2 x1 x2 2

yz 23 (u3,2 u2,3) zx 31

1

21

(u1,3 u3,1)2

2.2 应力－应变关系分析－－用于定义材料的性质、设定边界条件。 2.3.1 弹性材料

弹性理论研究的对象是理想的弹性体。 符合下述四个基本假设：

(1) 物体是连续的,由连续介质组成,没有空隙，物体中的应力、应变以及位移等量是连续的，

可以用坐标的连续函数表示。

(2) 物体是均匀的，各部分具有相同的性质， 弹性常数不随位置坐标而改变。 (3)物体各向同性、弹性常数不随方向而改变。 (4)物体是完全弹性的。

线弹性问题是以理想弹性体的微小位移和应变为前提条件。(略去高次项成线性方程)。 反之为非线性弹性理论。

处于(弹)塑性状态的应力－应变关系理论为(弹)塑性理论。

线弹性理论的广义虎克定律

描述弹性体内任一点的应力－应变分量之间的关系。

有限元理论

xx yy zz xy yz zx

1

[ xx ( yy zz)]E1

[ yy ( zz xx)]E1

[ zz ( xx yy)]

1 E

ij ij

ij

1EE xy

2G1 yz

2G1 zx

2G

式中：

ii 11 22 33

12

ij 单位张量 ij ij

E

2(1 )

E 杨氏模量；v 泊松比；G 为剪切模量 G

上述为物理方程，或本构方程。 用应变表示应力的形式：

xx e 2 xx yy e 2 yy

zz e 2 zz

ij ije 2 ij

xy 2 xy yz 2 yz zx 2 zx

基本方程 通解 ＋

定解条件 完整的问题

初始条件――讨论问题的特定时刻 （动态问题） 边界条件――弹性体边界上的外力和位移的情况。

弹性力学中的边界条件：

有限元理论

(1) 应力边界条件 已知作用在物体内的体力Fi 和物体表面处的面力Ti, 就已知物体边界上的应力。

(2) 位移边界条件 已知作用在物体内的体力Fi和物体表面处的位移ui,已知物体边界上的位移。

(3) 混合边界条件 已知作用在物体内的体力Fi，物体表面处的位移ui和力已知。

力系作用的物体的应力和应变的解是唯一的。

平面问题： 一般都是三维问题，求解、分析是相当复杂和困难的。在特殊情况下，如果能够把它作为平面问题，大大简化了计算和分析的过程。

WHAT?

平面问题： 薄板一类的结构。包括平面应力和平面应变问题。 平面问题的基本方程和边界条件

xx yx

Fx 0 x y

平衡方程：

xy yy

Fy 0 x y

xx

几何方程： yy

u

x v y

1 v u

)2 x y

xy yx (

边界条件：力

Tx xxn1 yxn2Ty xyn1 yyn2

位移：u=u1 v=v1

平面应力问题：等厚度、 板厚度远小于板的其它两个方向的尺寸，所受的外力平行于板面且不受厚度变化。

有限元理论

满足上述条件，应力状态是平面的，二维的；应变状态是空间的，三维的。 弹性体平面应力问题：

xx 应力状态描述： ij xy 0

yx

yy

0 xx

0 应变状态描述： ij xy

0 0

yx

yy

0 0 zz

xx yy

本构方程：

zz xy yz

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