第5章 含有运算放大器的电阻电路

本章重点

1、理想运算放大器的两个特性；

2、节点法分析含理想运算放大器的电阻电路。

本章难点

分析电路时理解虚断、虚短的含义。

教学方法

本章是通过一些典型电路讲述了含运算放大器的电阻电路的分析方法。采用讲授为主，自学为辅的教学方法。共用2课时。通过讲例题加以分析，深入浅出，举一反三，理论联系实际，使学生能学会学懂。

授课内容

运算放大器是一种电压放大倍数很高的放大器，不仅可用来实现交流信号放大，而且可以实现直流信号放大，还能与其他元件组合来完成微分、积分等数学运算，因而称为运算放大器。目前它的应用已远远超出了这些范围，是获得最广泛应用的多端元件之一。

5.1运算放大器的电路模型

一、电路符号 a a

+ o u0 b

_

a端—－反相输入端：在o端输出时相位相反。 b端—－同相输入端：在o端输出时相位相同。 o端—－输出端

A—－放大倍数，也称作―增益‖（开环放大倍数：输入端不受o端影响）。

'uo Aua

''

uo Aub

'''

uo uo uo A(ub ua)差动输入方式

二、端口方程：uo A(ub ua) 三、电路模型：

ia

R

+

Ri 输入电阻Ro 输出电阻

高输入，低输出电阻，Ri

Ro

ua_

Riub

u0

_

ia 0

理想状态下，Ri , "虚断"电流可以为0，但不能把支路从电路里断开。

ib 0

Ro 0

ub ua 0,ub ua"虚短"，但不能在电路中将a、b两点短接。

A

i 0

Ri ua ub _

四、常用接法

R

+

a

u0

_

o uo

_

a

o

理想化：ua≈0。

―虚地‖：可把a点电位用0代入，但不能直接作接地处理。 5.2含理想运放的电路分析

分析方法：节点电压法。采用概念：―虚短‖，―虚断‖，―虚地‖。 避免问题：对含有运放输出端的节点不予列方程。

。例1：求传输电压比，Kv

.

.

U2U1

.

.

。

Ia 0,Ib 0,

解：由“虚断”

由“虚地”Ua 0,则I1 I2

.

.

.

.

.

2

即

U1 UaUa U2UU

1

2

Z1Z2Z1Z2

.....

则Kv

U2U1

.

.

Z2

Z1

取Z1 R1,Z2 R2,则Kv

U2U1

.

.

.

R2R1

比例器

.1

U2 U1

j RC.

U11

取Z1 R,Z2 ,则Kv .2

j Cj RCU1写成时域表达式

u2

1t

u1( )d 0RC

.

积分电路

取Z1 R1 , Z2 R2

R U11,则 .2 2 j CRj RC 11 U1

PI调节器

U

例5：求 电压传输比o 。

Us

Us

解：

由"虚短"U4 U3 U1节点4,分压器原理,U4 节点3,(

R5

Uo

R4 R5

1111

)U3 U2 Uo 0"虚断"R2R3R2R3

RR R2R4U2 35Uo

R3(R4 R5)节点1,(

U111

)U1 U2 s"虚断"RsR1R1Rs

UoRR(R R5) 134

UsR1R3R5 R2R4RS

第6章 一阶电路

本章重点

1、暂态及其存在原因的理解； 2、初值求解；

3、利用经典法求解暂态过程的响应； 4、利用三要素法求响应； 5、理解阶跃响应、冲激响应。

本章难点

1、存在两个以上动态元件时，初值的求解； 2、三种响应过程的理解；

3、含有受控源电路的暂态过程求解； 4、冲激响应求解。

教学方法

本章主要是RC电路和RL电路的分析，本章采用讲授为主，自学为辅的教学方法，共用6课时。课堂上要讲解清楚零输入响应、零状态响应、全响应、稳态分量、暂态分量、阶跃响应、冲激响应等重要概念，还列举大量例题加以分析和求解。使学生理解动态电路响应的物理意义并牢固掌握响应的求解方法。

授课内容

6.1 动态电路的方程及其初始条件

一、暂态及其存在原因

暂态：从一种稳态到达另一种稳态的中间过程（动态过程、过渡过程）。

di

L:u L dt

存在原因：1）含有动态元件

C:u Cdi dt

2）存在换路：电路结构或参数发生变化

描述方程：微分方程

一阶电路：能够用一阶微分方程描述电路； 二阶电路：能够用二阶微分方程描述电路； n阶电路：能够用n阶微分方程描述电路。

解决方法：经典法、三要素法。 二、换路：电路中开关的突然接通或断开，元件参数的变化，激励形式的改变等。

换路时刻t0（通常取t0＝0），换路前一瞬间：t0_，换路后一瞬间：t0 。 换路定则 uc(t0t0 ) ) uc(

iL(t0 ) iL(t0 )

iC(t0 ) iC(t0 )， uL(t0t0，) iR(t0t0，) uR(t0t0 ) ) uL( ) iR( ) uR(

三、初始值的计算： 1. 求uC(t0 ),iL(t0 )： ①给定uC(t0 ),iL(t0 )；

②t t0时，原电路为直流稳态 ： C—断路 L—短路

③t t0 时，电路未进入稳态 ： uC(t0 iL(t0(t) t0| ，(t) t0| ) uCt ) iLt2. 画t0 时的等效电路： uC(t0t)iL(t0 ) iL(t0 ) ) u( 0，

C—电压源 L—电流源

3. 利用直流电阻电路的计算方法求初始值。

例1

已知：t 0时，原电路t 0时，打开开

关S。

求：t 0 时，各物理量

的初始值。

解： 1. 求uC(0 ),iL(0 )：

t 0 时，

uC(0 ) 7.5V,iL(0 ) 0.25A 2. 画t 0 时的等效电路：

+

7.5V _

3. t 0 时：uR1(0 ) 0.25 10

7.5

0.5A iR2(0 ) 15

uL(0 ) uR1(0 ) 10 uC(0 ) 0

iC(0 ) iL(0 )

iR2(0 ) 0.25A _

C(t)

例2：已知：t 0时，原电路已稳定，

t 0时，打开开关S。

求：t 0 时，i1(0 ),i(0 )。

解：1. 求uC(0 )：

t 0 时：

C (0-)

uC(0 ) 14i(0 ) 10i1(0 ) 4i1(0 ) i(0) i(0) 4 1

i1(0 ) i(0 ) 2A uC(0 ) 28V

2. 作t 0 时的等效电路：

_ 10i(0) +

1+

+ _

t 0 时：

i1(0 ) i(0 ) 4

14i1(0 ) 7i(0 ) 28

84

i1(0 ) A,i(0 ) A

33

6.2 一阶电路的零输入响应

KVL:uR(t) uC(t) uS(t 0 )

dudu

VAR:iC CC,uR RiC RCC

dtdtU

duC RC uC uS(t 0 ) dt uC(0) ?

+

uC _

零输入响应：指输入为零，初始状态不为零所引起的电路响应。

一、RC放电过程

已知：t 0 时，电容已充电至U

0 求t 0 后的uC(t),uR(t),iC(t)。

1. 定性分析：

UC US U0

RU0) t 0 时，uC(0 ) uC(0 ) U0 uR(0 ) U0iC(0

R

t 0 时，uC(0 ) U0，uR(0 ) US U0，iC(0 )

t

,uC，uR,iC； t ,uC 0,uR 0,iC 0

2. 定量分析：

du

RCC uC 0(t 0 ) t 0 时， dt uC(0) U0

+ u(t)

_ +

C _

uC(t) K

令t 0 ，uC(0 ) K 1 U0

t

RC

uC(t) U0e

tRC

(t 0 )

t RC

uR(t) uC(t) U0e(t 0 )

(t 0 )

t

U0 RCuR(t)

iC(t) e

RR

f(t) f(0 )e

t

RC

(t 0 )

RC

3. 时间常数：

R

伏特库仑 安培 秒

秒

＝ 安培 ＝ 安培伏特

uC(t0+τ)=36.8% t

RCt0RC

的物理意义:uC(t0)

衰减到36.8％uC(t0)所需时间

uC(t) U0e

(t 0 )

uC(t0) u0 uC(t0 ) u0e

t0 RC

U0e

t0

RCRC

e

uC(t0) 0.368

τ的几何意义：由[t0,uC(t0)] 点作uC(t)的切线所得的次切距。

t 4 时，电路进入新的稳态,

uC(t0 4 ) uC(t0)e 4 1.82%uC(t0) 0 u1(t) 4eV(t 0 ) 1 2su2(t) 4eV(t 0 ) 2 4s

可见，时间常数反映了物理量的变化快慢， 越小，物理量变化越快。 _

(t) (t)

+

uL(t) _

二、RL放磁过程

已知t 0 时，iL(0 ) I0，求t 0 时的iL(t),uL(t). 利用对偶关系：L

CiL

t 4 t2

uCuLiCG

R

duC RC uC 0

RC串联： dt

uC(0 ) U0 diL

iL 0 GL

(t 0 ) RL并联： dt

iL(0 ) I0

(t 0 )

iL(t) I0e

t

GL

(t 0 ) GL

L R

t

t

I0 GL

uL(t) e

G

(t 0 ) f(t) f( 0e

t(

0)

t

综上所述，一阶电路的零输入响应变化模式相同，即f(t) f(0 )e

(t 0 )

故求一阶电路的零输入响应时，确定出f(0 )和τ以后，就可以唯一地确定响应表达式。

6.3 一阶电路的零状态响应

零状态响应：指初始状态为零，而输入不为零所产生的电路响应。 1、RC充电过程

已知uC(0) 0，求t 0时的uC,uR,iC。

+

+ C(t) U

_ _

_

+

U_

1. 定性分析：

t 0 时，uC(0 ) 0 uR(0 ) US iC(0 )

US

R

t

,uC，uR,iC； t 0,u0,iC US,uR C

duC

uC US RC

2. 定量分析： dt

uC(0) 0 uC(t) u )Cp(t

t)uCh(

(t 0 )

US

uCp(t)为非齐次微分方程任一特解， uCh(t)为对应齐次微分方程的通解， ucp—强制响应，与输入具有相同形式， ucp(t) A A U，S ucp(t) US

uch(t) Ke t/RC—固有响应，与电路结构有关。

uC(t) US Ke

t

RC

令t＝0 uC(0 US K 0 K U )S uC(t) US US t

RC

U

tRC

S

( 1

t

RC

)t ( 0)

t

uRUS RC

(t 0 uR(t) US uCt( iC(t) )US (t 0 ) )RR

uC(t) uCp(t) uCh(t) US Ke

t

RC

uC( )(1 e )(t 0 )

tRC

t

其中：US为稳态响应（uC( )），Ke

为暂态响应（必将衰减为0）

RC为时间常数

uC(t0

t0)

uC(t0) US(1 e ) uC(t0 ) US(1 e

t0

t0

t0

)

1

t

0

US(1 e) (1 e) US US(1 e)

uC(t0) 63.2US uCt % 0( )

即充电过程中时间常数的物理意义为由初始值上升了稳态值与初始值差值

的63.2%处所需的时间。t 4 时，电路进入新的稳态。

3. 充电效率

WC( )

100%

WR( ) WC( )

12C2

( ) US WC( ) CuC 22

WR( ) Ridt

2

C

t

US RCCR(e)2dt US 2

R2

50%

例：已知：t 0时，原电路已稳定，t 0时合上S，

求t 0 时的uC(t),u0(t)。

Ω

解：已知uC(0) 0

1. uC( )： t 时，

2

uC( ) V

3

)

2

2. 求 Req

32

s

32

uC(t) (1 e 1.5t)V(t 0 )

3

12

V(t 0 ) u0(t) 1 uC(t) e 1.t5

33

二、RL充磁过程

已知：iL(0) 0。求：t 0 时的iL(t) 利用对偶关系

IS=US/L(t)

diL

iL IS(t 0 ) GL

RL充磁过程 dt

iL(0) 0

i0(t

5Ω(t)

iL(t) IS(1 e

tGL

) iL( )(1 e)

t

(t 0)

例：已知：t 0时，原电路已稳定，t 0时合上S

求t 0 时的iL(t),io(t)

解：已知iL(0) 0

5ΩL(∞)

1. 求iL(

) t 时 i

L( ) 3A

2. 求

L10 2s R5

t2

5ΩReq=5Ω

iL(t) 3(1 e

)A(t 0 )

L

io(t)

4iL 10

6

diL

t

2 0.5e2A

(t 0 )

6.4 一阶电路的完全响应

完全响应：指输入与初始状态均不为零时所产生的电路响应。 已知uC(0) U0，t 0时合上S，

求t 0时的uC(t)

duC

uC US(t 0 ) RC dt

uC(0) U0

+

U_

C(t) uC(t) uCp(t) uCh(t) A Ke

tRC

US Ke

tRC

令t 0 ，uC(0 ) US K 1 U0 K U0 US uC(t) US U(0 U

S

)

t

RC

t (

稳态响应 暂态响应

完全响应＝稳态响应＋暂态响应 uC(t) U0e

tRC

U

S

( 1e )

t

RC

零输入响应 零状态响应 完全响应＝零输入响应＋零状态响应

uC(t) uC( ) uC(0 ) uC( ) e

一阶电路的三要素法： 前提：① 一阶电路

② 直流激励

t

RC

(t t

C f(t) fp(t) fh(t) A Ke

令t ：f( ) A 0 A f( )

f(t) f( ) Ke

t

令t 0 ：f(0 ) f( ) K 1 K f(0 ) ) f(

t

f(t) f( ) f(0 ) f( ) e

(t 0 ) 一阶电路三要素公式

f(0 )－初始值 uC(0 ),iL(0 )—— 由t 0 的等效电路中求，

iC(0 ),uL(0 ),iR(0 ),uR(0 ) 必须由t 0 的等效电路求。 t 0 时：C－电压源 零状态下：C－短路

L－电流源 L－断路

f( )－稳态值 t 时，C－断路，L－短路

－时间常数 ， RC,

电阻。

L

， R－由动态元件两端看进去的戴维南等效R

例1：已知t 0时已稳定，求t 0 时，iL,io

解：1. 求iL(0 ),io(0 )

iL(0-)

9 A 82 3

9

io(0 ) A

8

923

iL(0 ) A

834

3133

t 0 时，io(0 ) ( ) A

4248

t 0 时，i

2. 求iL( ),io( )。

3

39A,io( ) A 48

L1

3. 求 。 s

R2

33

iL(t) e 2tA (t 0 )42

93

io(t) e 2tA (t 0 )84 iL( )

例2：已知：t 0时原电路已稳定，t 0时合上开关S。求t 0 时，uC(t),i(t)

C(0_) + 10V _

C(t)

解：1. 求uC(0 ),i(0 )。

t 0 时，uC(0 ) 20

1 10

10V uC(0 ) 10V

t 0 时，i(0 )

20

1mA

20

C(∞) _ + 10V _

_ + 10V _

2. 求uC( ),i( )。 t 时， i( )

1

uC( ) 20 10 5V

4

3. 求 。

101

1m A

30 104

Req=10KΩ

10 103 10 10 6 0.1s

uC(t) 5 (10 5)e 10t 5 15e 10tV(t 0 )

1113

(1 )e 10t e 10tmA(t 0 ) 4444

u 1013 10t

emA(t 0 ) 又：i(t) C

2044i(t)

直接用此式求i(t)可免去作t 0 的等效电路。

例3：已知：t 0时，原电路稳定，t 0时，合上S，

求t 0 时的iL(t)。

+

_ Ω

Ω

L(t)

5H

+ _

L(t)

5H

解：1. 求iL(0 )。t 0 时：

i6 (0 iL(0 )

8i(0 )16

i(0 ) 2A,iL(0 ) 12A,iL(0 ) 12A 2. 求iL( 9.6A

Ω

+ _

L(∞)

3. 求

。Req

u1 i1 2i2i2i5 1 1 i1i1i1 8i4

Ω

12

9.6