三年高考(2019)高考数学试题分项版解析 专题09 三角恒等变换与求值 理(含解析)

专题09三角恒等变换与求值

考纲解读明方向

★★★

分析解读：

1.掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式及二倍角的正弦、余弦、正切公式,了解它们的内在联系.

2.备考时,应做到灵活掌握各公式的正用、逆用、变形用等.

3.三角恒等变换是三角变换的工具,主要考查利用两角和与差的三角公式、二倍角公式进行三角函数的化简与求值,可单独考查,也可与三角函数的知识综合考查,分值为5分或12分,为中低档题.

分析解读

1.了解任意角、弧度制的概念,能正确进行弧度与角度的互化.

2.会判断三角函数值的符号;理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义.

3.能利用单位圆中的三角函数线推导出±α,π±α的正弦、余弦、正切的诱导公式,会用三角函数线解决相关问题.

4.理解同角三角函数的基本关系式:sin2x+cos2x=1,=tan x,全面系统地掌握知识的来龙去脉,熟悉各知识点之间的联系.

5.本节内容在高考中一般融入三角函数求值、化简中,不能单独考查.

1

三年高考(2019)高考数学试题分项版解析 专题09 三角恒等变换与求值 理(含解析)

2018年高考全景展示

1．【2018年理数全国卷II 】已知，，则__________．

【答案】

点睛：三角函数求值的三种类型

(1)给角求值：关键是正确选用公式，以便把非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数.

(2)给值求值：关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异.

①一般可以适当变换已知式，求得另外函数式的值，以备应用；

②变换待求式，便于将已知式求得的函数值代入，从而达到解题的目的.

(3)给值求角：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，确定角.

2．

【2018年浙江卷】已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点P（）．（Ⅰ）求sin（α+π）的值；

（Ⅱ）若角β满足sin（α+β）=，求cosβ的值．

【答案】（Ⅰ） , （Ⅱ）或

【解析】分析：（Ⅰ）先根据三角函数定义得，再根据诱导公式得结果，（Ⅱ）先根据三角函数定义得，再根据同角三角函数关系得，最后根据，利用两角差的余弦公式求结果.

详解：（Ⅰ）由角的终边过点得，所以.

（Ⅱ）由角的终边过点得，由

得.

由得，所以或.

点睛：三角函数求值的两种类型：

(1)给角求值：关键是正确选用公式，以便把非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数.

(2)给值求值：关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异.

①一般可以适当变换已知式，求得另外函数式的值，以备应用；

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3 ②变换待求式，便于将已知式求得的函数值代入，从而达到解题的目的.

3．【2018年江苏卷】已知为锐角，，．

（1）求

的值； （2）求的值． 【答案】（1）（2）

（2）因为为锐角，所以．又因为，所以，因此．因为，所以

，因此，

．

点睛：应用三角公式解决问题的三个变换角度

(1)变角：目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角，其手法通常是“配凑”.

(2)变名：通过变换函数名称达到减少函数种类的目的，其手法通常有“切化弦”、“升幂与降幂”等.

(3)变式：根据式子的结构特征进行变形，使其更贴近某个公式或某个期待的目标，其手法通常有：“常值代换”、“逆用变用公式”、“通分约分”、“分解与组合”、“配方与平方”等. 2017年高考全景展示

1.【2017课标II ，理14】函数(

)23sin 4f x x x =-（0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦

）的最大值是 。 【答案】1

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【考点】 三角变换，复合型二次函数的最值。

【名师点睛】本题经三角函数式的化简将三角函数的问题转化为二次函数的问题，二次函数、二次方程与二次不等式统称“三个二次”，它们常结合在一起，有关二次函数的问题，数形结合，密切联系图象是探求解题思路的有效方法。一般从：①开口方向；②对称轴位置；③判别式；④端点函数值符号四个方面分析。

2.【2017北京，理12】在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于y 轴对

称. 若1sin 3

α=

，cos()αβ-=___________. 【答案】79- 【解析】

试题分析：因为α和β关于y 轴对称，所以2k αβππ+=+，那么1s i n

s i n 3βα==

，cos cos 3

αβ=-=， 这样()2227cos cos cos sin sin cos sin 2sin 19

αβαβαβααα-=+=-+=-=-

. 【考点】1.同角三角函数；2.诱导公式；3.两角差的余弦公式. 【名师点睛】本题考查了角的对称的关系，以及诱导公式，常用的一些对称关系包含，α与β关于y 轴对称，则2k αβππ+=+ ，若α与β关于x 轴对称，则02k αβπ+=+ ，若α与β关于原点对称，则2k αβππ-=+ k Z ∈.

3.【2017江苏，5】 若π1tan(),46

α-= 则tan α= . 【答案】75

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5 【解析】11tan()tan 7644tan tan[()]1445

1tan()tan 1446

ππαππααππα+-+=-+===---．故答案为75． 【考点】两角和正切公式

【名师点睛】三角函数求值的三种类型

(1)给角求值：关键是正确选用公式，以便把非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数.

(2)给值求值：关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异.

①一般可以适当变换已知式，求得另外函数式的值，以备应用；

②变换待求式，便于将已知式求得的函数值代入，从而达到解题的目的.

(3)给值求角：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，确定角.

4.【2017浙江，18】（本题满分14分）已知函数f （x ）=sin 2x –cos 2x

–x cos x （x ∈R ）． （Ⅰ）求)3

2(πf 的值． （Ⅱ）求)(x f 的最小正周期及单调递增区间．

【答案】（Ⅰ）2；（Ⅱ）最小正周期为π，单调递增区间为Z k k k ∈++]32,6[

ππππ． 【解析】

试题分析：（Ⅰ）由函数概念3

2cos 32sin 3232cos 32sin )32(22πππππ--=f ，分别计算可得；（Ⅱ）化简函数关系式得)sin(ϕω+=x A y ，结合ωπ2=

T 可得周期，利用正弦函数的性质求函数的单调递增区间． 试题解析：（Ⅰ）由2332sin =π，2

132cos -=π，)21(2332)21()23()32(22-⨯⨯---=πf 得2)3

2(=πf （Ⅱ）由x x x 22sin cos 2cos -=与x x x cos sin 22sin =得)62sin(22sin 32cos )(π+

-=--=x x x x f

所以)(x f 的最小正周期是π

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6 由正弦函数的性质得Z k k x k ∈+≤+≤+,22

36222πππ

ππ

解得Z k k x k ∈+≤≤+,3

26ππππ

所以)(x f 的单调递增区间是Z k k k ∈++]3

2,6[ππππ

． 【考点】三角函数求值、三角函数的性质

【名师点睛】本题主要考查了三角函数的化简，以及函数()ϕω+=x A y sin 的性质，属于基础题，强调基础的重要性，是高考中的常考知识点；对于三角函数解答题中，当涉及到周期，单调性，单调区间以及最值等都属于三角函数的性质，首先都应把它化为三角函数的基本形式即()ϕω+=x A y sin ，然后利用三角函数u A y sin =的性质求解． 2016年高考全景展示

1.【2016高考新课标2理数】若3cos()45

π

α-=，则sin2α=（ ） （A ）725 （B ）15 （C ）15- （D ）725-

【答案】D

考点：三角恒等变换.

【名师点睛】三角函数的给值求值，关键是把待求角用已知角表示：

(1)已知角为两个时，待求角一般表示为已知角的和或差．

(2)已知角为一个时，待求角一般与已知角成“倍的关系”或“互余互补”关系．

2.【2015高考新课标1，理2】o o o o sin 20cos10cos160sin10- =( )

（A

）（B

（C ）12- （D ）12

【答案】D

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7 【解析】原式=o o o o sin 20cos10cos 20sin10+ =o sin30=

12

，故选D. 【考点定位】三角函数求值. 【名师点睛】本题解题的关键在于观察到20°与160°之间的联系，会用诱导公式将不同角化为同角，再用两角和与差的三角公式化为一个角的三角函数，利用特殊角的三角函数值即可求出值，注意要准确记忆公式和灵活运用公式.

3.【2015高考重庆，理9】若tan 2tan 5πα=，则3cos()10sin()5παπα-

=-（ ） A 、1 B 、2 C 、3 D 、4

【答案】C

【解析】 由已知，3cos()10sin()5παπα-

=-33cos cos sin sin 1010sin cos cos sin 55ππααππαα+-33cos tan sin 1010tan cos sin 55

ππαππα+=-33cos 2tan sin 105102tan cos sin 555ππππππ+=- 33cos cos 2sin sin 510510sin cos 55ππππππ+=＝155(cos cos )(cos cos )21010101012sin 25πππππ++-3cos 103cos 10ππ==，选C . 【考点定位】两角和与差的正弦（余弦）公式，同角间的三角函数关系，三角函数的恒等变换.

【名师点晴】三角恒等变换的主要题目类型是求值，在求值时只要根据求解目标的需要，结合已知条件选用合适的公式计算即可．本例应用两角和与差的正弦（余弦）公式化解所求式子，利用同角关系式使得已知条件可代入后再化简，求解过程中注意公式的顺用和逆用．