第六节

第七章

多元微分学在几何上的应用一、空间曲线的切线与法平面 二、曲面的切平面与法线

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一、空间曲线的切线与法平面空间光滑曲线在点 M 处的切线为此点处割线的极限

位置.

M

T

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1. 曲线方程为参数方程的情况

T M

设 t t0 对应M ( x0 , y0 , z0 )

t t0 t 对应 M ( x0 x, y0 y, z0 z )

割线 MM 的方程 :

切线方程

x x0

y y0 z z0 (t0 ) (t0 ) (t0 )机动 目录 上页 下页 返回 结束

此处要求 (t0 ) , (t0 ) , (t0 )不全为0, 如个别为0, 则理解为分子为 0 .切线的方向向量:

M

T

T ( (t0 ) , (t0 ) , (t0 ))称为曲线的切向量 . 法平面：过 M点且与切线垂直的平面.

也是法平面的法向量, 因此得法平面方程

(t0 )( x x0 ) (t0 ) ( y y0 ) (t0 )( z z0 ) 0

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解题思路: 设 t t0 对应M ( x0 , y0 , z0 )

T ( (t0 ) , (t0 ) , (t0 ))切线方程 法平面方程

x x0

y y0 z z0 (t0 ) (t0 ) (t0 )

(t0 )( x x0 ) (t0 ) ( y y0 ) (t0 )( z z0 ) 0机动 目录 上页 下页 返回 结束

如果曲线 由方程组 y y ( x) , z z ( x) 给出，

只要将此方程组改写为以 x 为参数的参数方程

x x, y y ( x), z z ( x), 则根据上面的讨论可知， 上点 M 0 ( x0 , y0 , z0 ) 处的切 向量为

T (1, y ( x0 ), z ( x0 ))机动 目录 上页 下页 返回 结束

例 1 求曲线 x cos t , y sin t , z 2t 在对应于 t0 的点处的切线方程和法平面方程. 4 解: 由于2 2 对应的点为 M 0 ( , , ), 切向量为 T ( 2 , 2 , 2), 2 2 2 2 2

x 22 y 22 z 2 故切线方程 , 2 2 22 2即

x 22 y 1 12 2

2 2

z 2 . 2 22 2

法平面方程 即

(x

)

2 2

(y

2 2

) 2( z ) 0 2目录 上页 下页 返回 结束

x y 2 2 z 2 0机动

例 2.求曲线 : x 0 e u cos udu , y 2 sin t cos t ,

t

z 1 e 3 t 在 t 0处的切线和法平面方程.解：当 t 0时， x 0, y 1, z 2,

x e t cos t , y 2 cos t sin t , z 3e 3t ,

x (0) 1,切线方程 法平面方程

y (0) 2, z (0) 3,

x 0 y 1 z 2 , 1 2 3

x 2( y 1) 3( z 2) 0,

即 x 2 y 3 z 8 0.机动 目录 上页 下页 返回 结束

y 2 4 x, z 2 2 x ,在 P (1,2,1) 处的 例

3.求曲线 :切线和法平面方程.

解： x 1,

2 yy 4,

2 zz 1,

x P 1,切线方程

1 z P , 2 x 1 y 2 z 1 1 , 1 1 2

y P 1,

1 法平面方程 1 ( x 1) 1 ( y 2) ( z 1) 0, 2

即 2 x 2 y z 5 0.

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2. 曲线为一般式的情况 F ( x, y , z ) 0 光滑曲线 : G ( x, y , z ) 0 ( F , G) 当J 0 时, 可表示为 ( y, z )

, 且有

d y 1 (F , G) d z 1 (F , G) , , d x J ( z , x) d x J ( x, y ) 曲线上一点 M ( x0 , y 0 , z 0 ) 处的切向量为

T 1, ( x0 ) , ( x0 ) 1 (F , G) 1 , J ( z , x) 1 (F , G) , M J ( x , y)机动

M 目录 上页 下页 返回 结束

或

(F , G) T ( y, z )

M

(F , G) , ( z , x)

M

(F , G) , ( x , y)

M

i或

j Fy Gyx x0 (F , G) ( y, z )

k Fz GzM

T Fx Gx

则在点 M ( x0 , y0 , z0 )有切线方程

M

y y0 (F , G) ( z , x)M

z z0 (F , G) ( x , y)目录 上页 下页 返回

M结束

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法平面方程

(F , G) ( y, z )

(F , G) ( x x0 ) ( z , x) M (F , G) ( x , y )

M

( y y0 ) ( z z0 ) 0

也可表为

M

x x0 Fx ( M )

y y0 Fy ( M )

z z0 Fz ( M ) 0

Gx (M ) G y (M ) Gz (M )机动 目录 上页 下页 返回 结束

x 2 y 2 z 2 6 , x y z 0 在点 例4. 求曲线M ( 1,–2, 1) 处的切线方程与法平面方程. 解法1 令 ( F , G) ( y, z )

则

M

2 y 2z 1 1

2 ( y z)MM

6 ;

xy

z

切向量

x z 2 0 或 T 2 x 2 y 2 z ( 6,0,6) 即 y 2 0 切线方程 1 1 1 M机动 目录 上页 下页 返回 结束

T (j 6, k0 , 6 ) i

法平面方程即

6 ( x 1) 0 ( y 2) 6 ( z 1) 0 x z 0

解法2. 方程组两边对 x 求导, 得

x z 1 1 z x dz dy , 解得 y z y z dx dx 1 1 曲线在点 M(1,–2, 1) 处有: dz 切向量 T 1 , d y , dx M dx M

y x 1 1 x y y z y z 1 1

(1, 0 , 1) 机动 目录 上页 下页 返回 结束

点 M (1,–2, 1) 处的切向量

T (1, 0 , 1)切线方程即 法平面方程 1 ( x 1) 0 ( y 2) ( 1) ( z 1) 0

即

x z 0

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x 2 y 2 z 2 3x 0 例5. 求曲线 在点(1,1,1) 的切线 2 x 3 y 5 z 4 0 与法平面. 解: 切线的方向向量为i T 2x 3 2 j 2y 3 k 2z 5

(16 , 9 , 1)( 1,1,1 )

由此得切线:

x 1 y 1 z 1 16 9 1

法平面: 16( x 1) 9( y 1) ( z 1) 0

即

16 x 9 y z 24 0机动

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