学生毕业论文 设计基础

第1章 宽带激光传输的相关理论和数值算法

本章首先给出宽带激光的基本传输方程，接着介绍宽带激光线性和非线性传输的基本理论，并将某些理论进行适当推广，然后阐述求解宽带光束线性和非线性传输的相关数值算法。

1.1 二维傅里叶变换与逆变换

变换

逆变换

F

f

x

,fy

i2 f f x,y exp

x

x fyy dxdy

(1.1)

f

x,y

F

f

x

,fy exp i2

f

x

x fyy dfxdfy

(1.2)

其中(x, y)为空间坐标，(fx, fy)为空间频率坐标。

1.2 基本传输方程

考虑光的波动性，光的传输满足Maxwell’s 方程组

B

E , t

D

H J ,

t

D f, B 0.

(1.3)

其中ρf 和J分别表示介质中的自由电荷密度和传导电流密度，E、D、B、H分别表示电场强度、电位移矢量、磁感应强度和磁场强度，它们由物质方程联系

D 0E P, B 0H M (1.4) 式中P和M分别表示极化强度和磁化强度， 0和 0分别表示真空中的介电常数和磁导率。对于无源介质ρf =0, J= 0, M = 0，用算符 作用于方程(1.3)，并结合方程(1.4)得到

E

1 Ec

2

2

t

2

0

P t

2

2

(1.5)

式中 0 0=1/ c2，c为真空中的光速。利用关系 E E 2E 2E，

得一般的波动方程

E

2

1 Ec

2

2

t

2

0

P t

2

2

(1.6)

式中P=PL+PNL，其中 PL和PNL分别为表示介质特性的线性极化强度和非线性极化强度。波动方程是光波传输所满足的最基本的方程。

1.3 宽带激光线性传输的相关理论

在线性介质中，P为常量，方程(1.6)表示的波动方程可化为标量的Helmholtz方程

其中k为波数，定义为

k n

E x,y,z kE x,y,z 0

2

2

(1.7)

c

2

这里，n是介质的折射率。在真空(n=1)或均匀介质(n>1)中传播的任何单色光的扰动的电场复振幅必须满足上述关系。

1.3.1 宽带激光脉冲的线性传输方程

对于宽带激光束，各种波长成分的光投射到入射面上的相幅矢量的振幅变化是一致的，尽管空间任意两点可有不同的固定相对相位，但它们的绝对相位随时间的变化方式是相同的，在出射平面上各个脉冲响应的变化也是一致的，因此可按复振幅相加 [109] 。这样，我们可以借鉴单色光束的传输规律，研究宽带激光束的传输特性。 1.3.1.1 傍轴近似传输方程

首先考虑波长为 的单色光的自由空间传输规律。在菲涅耳傍轴近似下，标量亥姆霍兹方程(1.7)的解可近似为Huygens-Fresnel衍射积分公式，其表达形式有两种形式 [109]，第一种形式是卷积形式，表示为

E2 x2,y2;

exp ikz i z

22 ik

E1 x1,y1; exp x2 x1 y2 y1 dx1dy1 2z

(1.8)

式中E1和E2分别是输入平面x1y1和输出平面x2y2上的光场，z为光的传输距离。利用卷积的性质，得到

1

E2 x2,y2; .H fx,fy; . .E1 x1,y1; 其中 和 1分别表示二维傅里叶变换和逆变换，H fx,fy 为传递函数

(1.9)

H

f

x

,fy; exp ikz exp i z fx fy

2

2

(1.10)

它描写菲涅耳衍射区内的传播的效果，这个式子的第一个指数因子代表一个总体的相位延迟，第二个指数因子代表相位弯曲。方程(1.9)表示，输出光场为输入光场的傅里叶变换与传递函数的乘积的傅里叶逆变换。

Huygens-Fresnel积分公式的另一种表达形式为

E2 x2,y2;

exp ikz i z

i 22

exp x2 y2 . z

i i2 22

Ex,y; expx yexp 1 111 z1 z

(1.11)

x2x1

y2y1 dx1dy1

式中右边的积分表示输入场E1(x1，y1)与一个二次相位因子exp[iπ/λz(x12+y12)]的乘积在空间频率坐标(x2/λz，y2/λz)的二维傅里叶变换。

Huygens-Fresnel积分公式的这两种表达形式在数值计算中有着不同的用途，例如，在Fresnel数F(=w2/λz，其中w为光腰)>1时，使用第一种表达形式效果较好，在Fresnel数F<1时，使用第二种表达形式效果较好。 1.3.1.2 角谱传输理论

由傅里叶变换的基本概念可知，对一随时间变化的信号作傅里叶变换，可求得该信号的频谱分布，同样，若对任意平面上的复光场分布作二维傅里叶变换，则可求得光信号的“空间频谱”分布。各个空间频率的空间傅里叶分量，可以看作是沿不同方向传播的平面波。因此，把“空间频谱”称为平面波的角谱。

考虑波长为λ的光波沿着z方向投射到平面x1y1上，z=0处光场为E1(x, y;λ) 的频谱函数为A0(fx, fy;λ)，则函数E1(x, y;λ)在x1y1平面上的二维傅里叶变换为[109]

A0 fx,fy;

E1 x,y; exp i2 xfx yfy dxdy

(1.12)

其傅里叶逆变换为

E1 x,y;

A0 fx,fy; exp i2 xfx yfy dfxdfy

(1.13)

上式是把频域函数A0傅里叶变换为空域函数E1，也可理解成空域函数E1可以展开成以空间频率为变量的系列基元函数exp[i2π(xfx+yfy)]之和。又因为以方向余弦(α, β, γ)传播的单位振幅的平面波的方程为

2

P x,y,z; exp i x y z

容易看出该方向余弦与空间频率的关系…… 此处隐藏：9578字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……