学生毕业论文 设计基础

第1章 宽带激光传输的相关理论和数值算法

本章首先给出宽带激光的基本传输方程，接着介绍宽带激光线性和非线性传输的基本理论，并将某些理论进行适当推广，然后阐述求解宽带光束线性和非线性传输的相关数值算法。

1.1 二维傅里叶变换与逆变换

变换

逆变换

F

f

x

,fy

i2 f f x,y exp

x

x fyy dxdy

(1.1)

f

x,y

F

f

x

,fy exp i2

f

x

x fyy dfxdfy

(1.2)

其中(x, y)为空间坐标，(fx, fy)为空间频率坐标。

1.2 基本传输方程

考虑光的波动性，光的传输满足Maxwell’s 方程组

B

E , t

D

H J ,

t

D f, B 0.

(1.3)

其中ρf 和J分别表示介质中的自由电荷密度和传导电流密度，E、D、B、H分别表示电场强度、电位移矢量、磁感应强度和磁场强度，它们由物质方程联系

D 0E P, B 0H M (1.4) 式中P和M分别表示极化强度和磁化强度， 0和 0分别表示真空中的介电常数和磁导率。对于无源介质ρf =0, J= 0, M = 0，用算符 作用于方程(1.3)，并结合方程(1.4)得到

E

1 Ec

2

2

t

2

0

P t

2

2

(1.5)

式中 0 0=1/ c2，c为真空中的光速。利用关系 E E 2E 2E，

得一般的波动方程

E

2

1 Ec

2

2

t

2

0

P t

2

2

(1.6)

式中P=PL+PNL，其中 PL和PNL分别为表示介质特性的线性极化强度和非线性极化强度。波动方程是光波传输所满足的最基本的方程。

1.3 宽带激光线性传输的相关理论

在线性介质中，P为常量，方程(1.6)表示的波动方程可化为标量的Helmholtz方程

其中k为波数，定义为

k n

E x,y,z kE x,y,z 0

2

2

(1.7)

c

2

这里，n是介质的折射率。在真空(n=1)或均匀介质(n>1)中传播的任何单色光的扰动的电场复振幅必须满足上述关系。

1.3.1 宽带激光脉冲的线性传输方程

对于宽带激光束，各种波长成分的光投射到入射面上的相幅矢量的振幅变化是一致的，尽管空间任意两点可有不同的固定相对相位，但它们的绝对相位随时间的变化方式是相同的，在出射平面上各个脉冲响应的变化也是一致的，因此可按复振幅相加 [109] 。这样，我们可以借鉴单色光束的传输规律，研究宽带激光束的传输特性。 1.3.1.1 傍轴近似传输方程

首先考虑波长为 的单色光的自由空间传输规律。在菲涅耳傍轴近似下，标量亥姆霍兹方程(1.7)的解可近似为Huygens-Fresnel衍射积分公式，其表达形式有两种形式 [109]，第一种形式是卷积形式，表示为

E2 x2,y2;

exp ikz i z

22 ik

E1 x1,y1; exp x2 x1 y2 y1 dx1dy1 2z

(1.8)

式中E1和E2分别是输入平面x1y1和输出平面x2y2上的光场，z为光的传输距离。利用卷积的性质，得到

1

E2 x2,y2; .H fx,fy; . .E1 x1,y1; 其中 和 1分别表示二维傅里叶变换和逆变换，H fx,fy 为传递函数

(1.9)

H

f

x

,fy; exp ikz exp i z fx fy

2

2

(1.10)

它描写菲涅耳衍射区内的传播的效果，这个式子的第一个指数因子代表一个总体的相位延迟，第二个指数因子代表相位弯曲。方程(1.9)表示，输出光场为输入光场的傅里叶变换与传递函数的乘积的傅里叶逆变换。

Huygens-Fresnel积分公式的另一种表达形式为

E2 x2,y2;

exp ikz i z

i 22

exp x2 y2 . z

i i2 22

Ex,y; expx yexp 1 111 z1 z

(1.11)

x2x1

y2y1 dx1dy1

式中右边的积分表示输入场E1(x1，y1)与一个二次相位因子exp[iπ/λz(x12+y12)]的乘积在空间频率坐标(x2/λz，y2/λz)的二维傅里叶变换。

Huygens-Fresnel积分公式的这两种表达形式在数值计算中有着不同的用途，例如，在Fresnel数F(=w2/λz，其中w为光腰)>1时，使用第一种表达形式效果较好，在Fresnel数F<1时，使用第二种表达形式效果较好。 1.3.1.2 角谱传输理论

由傅里叶变换的基本概念可知，对一随时间变化的信号作傅里叶变换，可求得该信号的频谱分布，同样，若对任意平面上的复光场分布作二维傅里叶变换，则可求得光信号的“空间频谱”分布。各个空间频率的空间傅里叶分量，可以看作是沿不同方向传播的平面波。因此，把“空间频谱”称为平面波的角谱。

考虑波长为λ的光波沿着z方向投射到平面x1y1上，z=0处光场为E1(x, y;λ) 的频谱函数为A0(fx, fy;λ)，则函数E1(x, y;λ)在x1y1平面上的二维傅里叶变换为[109]

A0 fx,fy;

E1 x,y; exp i2 xfx yfy dxdy

(1.12)

其傅里叶逆变换为

E1 x,y;

A0 fx,fy; exp i2 xfx yfy dfxdfy

(1.13)

上式是把频域函数A0傅里叶变换为空域函数E1，也可理解成空域函数E1可以展开成以空间频率为变量的系列基元函数exp[i2π(xfx+yfy)]之和。又因为以方向余弦(α, β, γ)传播的单位振幅的平面波的方程为

2

P x,y,z; exp i x y z

容易看出该方向余弦与空间频率的关系

fx, fy, (1.14)

基于这个原因，函数

A0 ,;

E1 x,y; exp i2 x y dxdy

称为光场E1(x, y;λ)的角谱。

同样地，在输出平面x2y2上令A (fx, fy;λ)为输出函数E2(x, y;λ)的角谱，根据标量的亥姆霍兹方程(1.7)，角谱的传输满足方程[109]

A fx,fy; A0

fx,fy;

circ

(1.15)

.exp i2

式中circ为圆域函数。可以看到，波传播现象的传递函数为

H

f

x

,fy

1 expi2

0 其他

(1.16)

这样，输出光场E2(x, y; λ)与输入光场E1(x, y; λ)仍由方程(1.9)关联，可以作为光束的非傍轴传输。

1.3.1.3 单色光线性传输方程对宽带激光传输的推广

对于宽带激光，输出电场还是波长λ或角频率ω的函数，将上述单色光传输理用于宽带激光的传输，最后的输出场为所有输出单色光复电场振幅的叠加，设光束的带宽为Δλ，中心波长为λ0，若仅考虑光场的空间分布，则有

E2 x2,y2

1

0 /2

0 /2

E2 x2,y2; d

(1.17)

若还要考虑光场随时t的变化，则有

E2 x2,y2;t

E2 x2,y2; exp i t d

(1.18)

其中E2(x, y;ω)＝E2(x, y;λ)。

1.3.2 宽带激光脉冲通过单透镜的传输方程

众所周知，透镜对两焦平面上的单色光具有Fourier变换性质。对宽带激光，Kempe等人得到了光从透镜前侧传输到透镜后距离为z的近似结果[110]，这里重新考虑一般的情况，并得出精确解。设光的波长为λ时透镜的焦距为f，光通过透镜的传输如图2-1所示。假定光束在距离d0上的传输满足菲涅耳近似，由方程(1.8)得

Ul x,y

exp ikd0 i d0

k22 dxdy Ux,yexpix x y y iiii iii 2d0

(1.19)

式中k=k(λ)是真空中的波数。而在傍轴近似时透镜后侧的场Ul 可表示为[111]

k

Ul x,y Ul x,y P x,y exp iknd exp i

2f

x y

2

2

(1.20)

n=n(λ)表示与波长有关的透镜折射率，式中焦距f的计算公式为[111]

1

11

n 1 fRR 12

(1.21)

P x,y 为与透镜孔径有限大小有关的光瞳函数，定义为

1 　透镜孔径内 P x,y

　0　 其他地方　　　

(1.22)

利用Huygens-Fresnel衍射积分求透镜后距离为z的平面上场振幅分布Uo(xo,yo)，有：

Uo(xo,yo)

exp ikz i z

k22

exp ixo yo 2z

k22 Ux,yexpix y l 2z

(1.23)

2

exp i xxo yyo dxdy

z

若光束截面线度小于透镜孔径，忽略方程(1.20)中的因子P x,y 后代入(1.23)得

Uo xo,yo

exp k ik nd z

exp i xo2 yo2

i z 2z k1 22 1Ux,yexpix y l

2zf

(1.24)

2

exp i xxo yyo dxdy

z

可见，上述被积函数内的二次相乘因子在z f时不能相消。将(1.19)代入(1.24)并整理得

Uo xo,yo

exp k ik nd d0 z 22

exp ixo yo i d0 2z

Ui xi,yi dxidyi

k

x x 2 y y 2 exp iii i z 2d0 1

(1.25)

k1 2 22 1

.exp i x y exp i xxo yyo dxdy

f z z 2

对x、y积分化简后得到

Uo xo,yo

exp iknd i zl

d0 22

exp i1 x y o o

zzl

k 1 22

Ux,yexpi1 x y i i iii

2dl 0

(1.26)

2

.exp i xixo yiyo dxidyi

zl

其中

11 l 1 d0

f z

(1.27)

(1.26)式忽略了exp[ik(d0+z)]相位因子，表示原场乘以一个二次相位因子后在空间频率坐标(xo/λzl，yo/λzl)上的傅里叶变换，虽然这种变换不是准确的，但具有非常广泛的意义，可用于非像传递空间滤波器、计算色差、研究透镜后任一平面上的场幅或光强分布等。

另一方面，考虑宽带激光束，设投射到透镜上的光束是带宽为Δλ中心波长为λ0的对称型宽带激光束，将方程(1.26)中的Uo(xo, yo)改写为Uo(xo, yo; λ)，进行叠加后并取平均值得到

Uo xo,yo

1

0 /2

0 /2

exp iknd i zl

d0 22

exp i1 x y o o

zl z

k 1 2 2

Ui xi,yi; exp i1 x y d i i

2dl 0

(1.28)

上式描述了凸透镜对宽带激光束的变换特性。

1.3.3 宽带激光通过空间滤波器的传输

波长为 0的光束对应的像传递空间滤波器如图2-2所示，它的光束输入、输出平面分别在两透镜的焦平面上。

理想的单色光束可以满足像传递，但对于宽带脉冲，由于透镜的色散，焦距随频率或波长的变化而变化，宽带脉冲中最多只有一种频率的光能进行像传递，因此现有的透镜变换公式不适合宽带脉冲传输的空间渗滤器，必须考虑更普遍的情形。考虑色散效应的空间滤波器我们称之为色散空间滤波器。

对中心波长为λ0宽带脉冲，设透镜L1和L2的焦距分别为f10和f20，滤波小孔安装在L1与L2的共焦平面上，入射场与出射场分别为与中心波长相对应的L1的前焦面和L2的后焦面。在方程(1.26)、(1.27)中取d0=z=f10或f20，f=f1或f2，用方程(1.27)描述透镜L1和L2的特性，将l分别写成l1和l2，有

l1 2

f10f1

, l2 2

f20f2

(1.29)

f1或f2分别是透镜L1和L2随波长而变化的焦距。可见，l1和l2分别表示了透镜L1和L2的色散关系。将方程(1.26)应用于透镜L1和L2后再进行线性叠加，并取平均值得到

图1-2 单级空间滤波器 (SSF)

Eout xo,yo;

exp iknd2

f10f20l2

exp i

f20 1 22

1 xo yo

l2

k

exp i 2f20

exp iknd1

1 2y x2

1 x yT, f f l 2 1010

1 22

1 x y

l1

1 2 2

1 xi yi

l1

l1

exp i

f10

(1.30)

k

Ein xi,yi; exp i 2f10

其中d1和d2分别表示了透镜L1和L2的厚度，T(x/λf10，y/λf10)是滤波小孔的透射函数，定义为

xy 1 孔内

T ,

f10 f10 0 孔外

(1.31)

方程(1.30)表示光通过透镜L1进行一次Fourier变换，由小孔进行滤波，最后由透镜L2再进行一次Fourier变换而得到输出光场。由于透镜的色散，宽带激光仅在λ=λ0时才能实现理想的空间滤波。同样，最后的输出场为

Eout xo,yo

1

0 /2

0 /2

Eout xo,yo; d

(1.32)

注意，上面给出的宽带激光传输理论主要考虑的是输出光束的空间特性，若考虑的是时间特性或时空耦合特性，应将输出场中的波长λ改写为频率ω，然后进行一次Fourier逆变换。

1.4 宽带激光非线性传输的相关理论

单色光束传输问题时可以略去群速度色散项，为标准的非线性Schrödinger方程为[88]

2ik0

A z

A 2k0

2

2

n2n0

A

2

A 0

(1.33)

2222

/ x / y是横向Laplace算符。注意，由于“本地时间坐标”t 式中 2

隐含于方程，因此方程(1.33)也适用于准单色光束情况。

宽带脉冲光束的非线性传输不同于普通窄带(准单色)的高功率激光传输，其差别主要有两点:第一是脉冲光谱成分中不同波长的光波衍射的强弱程度不一样，导致所谓的时空耦合形象，对光束的展宽、聚焦，以及小尺度自聚焦过程等都有影响；其二，脉冲的光谱宽度与激光增益带宽可以相比，所以必须考虑不同光谱成分的增益差别，以及脉冲光谱的窄化现象。同时，激光脉冲光束在传输过程中由于时空耦合也会导致脉冲光束的形状改变。

具体考虑到高功率激光驱动器的要求，典型脉冲时间为Tp=1-5ns，对应的变换极限带宽为Δλ＝1.632×103-0. 3264×103nm。按照目前的设计，宽带脉冲

－

－

是通过ps级超短脉冲展宽后得到ns级脉冲，所以脉冲带有巨大的频率啁啾，典型约103-104。对于这种带有大啁啾的脉冲光束，其沿时间维的相位变化是非常快的。

1.4.1 慢演化波近似非线性传输方程

光学中传输方程在描述脉冲变化时起着非常重要的作用。包含几个脉冲周期长周期飞秒脉冲己经在理论和实验上广泛研究。Brabec等人从方程(1.6)出发

通过慢演化波近似(slowly-evolving-wave approximation(SEWA))推导了一个三维的非线性传输方程[24]，理论上甚至可以描述单周期脉冲的传输，并且说明了慢变包络近似和SEWA之间的差别。

i

A A 1

22 0 0

0

i

1

2 A i2 0 A iD2

n0 i1 g

0

E

2

A

(1.34)

其中 及

m

mk

Re , m 2Imm

0

2

1 Dt2

m 2

m i m/2

m！

i t

m

(1.35)

mk m 0

(1.36)

对Kerr介质的话，g E

（2 ）n0n2A

1

2

，当脉冲很短时g不得不考虑Raman

效应（self-frequency shifting(SFS)）的影响，此时gE

g

为

2'

E

2

f t

nn

02 1 2

21

22

E t t sin 1

2

f t t E t

'

2

'

dt

(1.37)

1 2 texp

2

其中 为非线性折射率的Raman效应因子。方程(1.34)右边各项分别表示衰减、衍射、群速度和色散(Group-velocity dispersion, GVD)、以及非线性自聚焦，。 1 i/ 0 r 为自陡峭项（self-steepening(SS)）

1.4.2 慢演化波近似非线性传输方程的进一步简化

在近似条件|1-ω0β1/β0|<<1下，忽略高阶色散，方程(1.34)化简为:

i

A A 1

22 0 0

0

i

1

A i

2

n2 0 i

1 A n0 0

2

A

(1.38)

结合电磁场E和相位在传输坐标系中分别写为:

E r , , Aexp i 0 i c.c,

0 0 1

0

可以得到 / 0，再由 A/ 0A，得 E/ 0E，即SEWA要求包络A和相位φ(δ)在脉冲通过一个波长时的变化都不显著。再把β0=n0 k0代入其中，则方程(1.38)改写为

i2 A A A 1

222n0k0 0

0i 2

i

1

i2

A in2k0 1 A

0

2

A

(1.39)

方程(1.39)为宽带脉冲光束的傍轴传输方程。其中I=|A|2代表光强；i 2/2 2A代

表色散，色散的影响可以用色散长度L2=Tp2/|β2|表示；i/ 2n0k0 2A代表光束的 衍射影响；in2k0AA代表非线性折射率的影响；i/ 0 代表宽带脉冲的影响。其中i/ 2n0k0 1 i /0

in2k

1 i/ 0

0

1

2

2

体A现了不同波长的衍射效应的差别，

B积分参数的差

A

2

A体现了非线性折射率现象中不同波长的

异，它导致自陡峭效应，即群速度与光强成正比[26,27]。

1.4.3 非线性传输方程的归一化

宽带激光非线性传输用方程(2-32)至(2-35)描述，理论上甚至可适合述单周期脉冲的传输。在高功率系统中，脉冲的宽带一般都为大于几十个飞秒以上，方程(2-35) 可以简化为

g

A

E

2

g A

2

Tr

2

(1.40)

其中Tr=2aRτr/[1+(ωrτr)2]。将式(1.40)代入式(2-32)得

1 1

A i1 i 22 0 0 A

0

/

1

2 A A iD

2

At 211 in2 0 0c 1 iAt T r

2 t 0

A

(1.41)

一般情况下要求得电场最大振幅或峰值功率的相对变化。将上式对电场初始振幅的最大值A0归一化，即令A=A0Q(x,y,ξ,τ)，并利用(1/2)n2β0ε0cA02=(n2β0/n0) (1/2)ε0 n0cA02=(n2β0/n0)P0，得[68]

Q

1 1

Q i1 i 22 0 0

0

1

2 Q Q iD

i

0n2n0

Q 21

P0 1 i Qt T r

0

2

Q

(1.42)

其中 P0为入射宽带脉冲的峰值功率密度，国际单位W/m2，但在高功率激光系统中常用的单位是GW/cm2；Q(x, y, ξ, τ)的初始最大值为1。当然，根据不同的问题的表达方式的需要，还可以对ξ, x, y, τ进行归一化。式(1.42)中各项的物理意义是很明显的，它基本上涵盖了远场传输的线性和基本的三阶非线性效应：左边表示复振幅随传输距离的变化，右边第一项为振幅的线性损耗或增益，第二项为衍射和时空聚焦项，右边第三项为频率色散项，右边最后一项为非线性项。对于右边最后一项，如果脉冲长则时间导数项可以忽略。对于熔融石英(fused silica), 在中心波长1053 nm处的n0和n2分别为1.55（有的文献中也近似取1.53或1.5）和2.7 10-7 cm2/GW；在Tr中a = 0.15, τr = 50 fs, ωrτr= 4.2（从而

ωr=4.2/(50 10-15)，且Tr是一个很小的值，它只有在振幅对时间的导数非常大的时候才有明显的效应）。

1.5 数值方法

在高功率激光系统中，光束传输所经历的是一个多组件、多光阑、折射率为复数且时空动态变化的、具有强非线性和一定随机性的复杂系统。理论处理有较大的困难，技术难度也很大。此外，由于高功率激光系统自身对光束的特殊要求(主要是近场均匀性好)，所有光强分布不均匀的光束，包括基模高斯光束都不是这种激光系统所追求的目标。因此，实际传输的大多是平顶的类超高斯光束，这种光束的传输变换规律比较复杂，理论处理难度很大。对于宽带激光脉冲光束的传输用理论方法处理难度更大，所以数值模拟是新一代高功率激光器总体设计的重要手段。目前，在光束传输的模拟方面，国外已有很多工作，尤其是美国人凭借其强大的计算机硬件和软件实力，在程序编码方面一直处于世界领先位置。其最新开发的PROP92是目前世界上最先进的一套大型激光系统模拟软件。但它是受美国政府保密的，我们无法得到，必须自主开发相应的模拟程序。国内虽然也有一些单元化的分散程序，但尚不完善，它们基本上各自注重某一方面。一些重要过程尤其是光束的非线性传输、超短脉冲传输的时空耦合等问题尚不能完全模拟。而且，在宽带光束非线性传输的模拟方面，由于3+1维宽带光束非线性传输正处于实验研究阶段，实验中的标准和判据也不统一，也还没有普遍有效的模拟软件。所以对宽带激光传输的研究还需自主开发软件，本节在上述宽带激光传输的基本理论的基础上，阐述求解宽带光束线性和非线性传输的相关数值算法，为后续的工作提供数值研究基础。

1.5.1 宽带激光束线性传输相关数值算法

1.5.1.1 自由空间传输常用算法

对于宽带激光束自由空间传输(包括线性介质中的传输)，利用方程(2-7)和(2-9)并结合表示传递函数的方程(2-8)和(2-14)，在直角坐标系下对各种单色光可以直接进行数值计算，它们包括三种形式，即Huygens-Fresnel衍射积分公式的第一、二种形式和角谱传输形式。最后利用方程(2-15)或(2-16)进行相幅矢量叠加而得到宽带激光束的传输算法。

对于圆对称系统，光束的横向分布用极坐标(r, ρ)表示，径向坐标r和空间频率坐标ρ定义为

r

(1.43)

上述三种算法用Hankel变换表示，分别为：

(1) Huygens-Fresnel衍射积分公式的卷积形式

其中

H ; exp ikz exp i z

2

E

2

r2; .H ; . .E r1;

(1.44) (1.45)

(2) Huygens-Fresnel衍射积分公式的傅里叶变换形式

E2 r2;

exp ikz i z

i 2 i 2 exp r2 . .E1 r1; exp r1

z z

(1.46)

(3) 角谱传输形式

其中

1

expi2 H

0 其他

E

2

r2; .H ; . .E r1;

(1.47)

(1.48)

这些表达式中，符号 表示Hankel变换。而对一般情况采用二维傅里叶变换。 1.5.1.2 非傍轴传输算法

非傍轴传输的算法通过直接解标量Helmholtz方程来实现。对于频率为ω的单色光，将(2-5)式表示的改写为

22

z

E x,y,z; k

2

2

E x,y,z;

2

2

(1.49)

很明显，方程(1.49)在空间坐标z从0到△z的解可表示为

E x,y, z; E x,y,0; exp i z k

1/2

(1.50)

式中k与ω的关系为k=nω/c。为了分离出常数传输因子，我们将上式指数中的平方根因子作如下变换

1/2

2

k

2

2

2

k

2

1/2

k k

(1.51)

分离出E(x,y,z;ω)的快变部分，令

E x,y,z; x,y,z; exp ikz

(1.52)

代入到方程(1.50)并取负号(表示光束沿z轴正向传播)，得到

2

x,y, z; x,y,0; exp i z1/2

22 k k

(1.53)

这就是Helmholtz波动方程(1.49)在线性介质中的解，并以E(x,y,0;ω)的值为初始化条件。

方程(1.49)中含有横向Laplace算符，为了得到它的数值解，将ε(x,y,z;ω)展开为有限项二维傅里叶级数

N/2

N/2

x,y,z;

m N/2 1

n N/2 1

mn z; exp

i2 L

mx ny

(1.54)

式中L是待计算的方格子的边长(即横向周期)；m、n为空间频率域离散变量；N为抽样点的数目。将(1.54)代人(1.53)并比较系数得 这里

kx

2 mL

, ky

2 nL

22 kx ky

0; exp i z2221/2

k kx ky k

mn z; mn

(1.55)

(1.56)

一般地kx及ky的值远小于k。

用ε(j, l)表示空间域光谱ε(x, y)离散值，即

N/2

j,l j x,l y

N/2

(1.57)

mj nl

N

n与下面离散傅里叶变换的元素建立了一一对应关系 这样傅里叶系数 m

n m

j N/2 1

l N/2 1

1

j,l exp i2

(1.58)

综合方程(1.54)到(1.58)得到方程(1.49)用Fourier变换表示的数值解为 其中

22 kx ky

H kx,ky; exp i z1/2

222 k kx ky k

j,l, z; .H kx,ky; . . j,l,0;

(1.59)

(1.60)

为传递函数。对圆对称系统，用Hankel变换表示，分别为

r, z; .H ; . . r,0; 其中

2

H ; exp i z1/2

22 k k

(1.61)

(1.62)

对于宽带激光束，还应将最后得到的输出场进行相幅矢量叠。

1.5.2 宽带激光脉冲通过透镜与空间滤波器的传输算法

宽带激光脉冲通过透镜与空间滤波器在直角坐标系下的传输算法已分别由方程(2-26)和(2-30)给出。对于圆对称系统，分别表示为

Uo ro

1

0 /2

0 /2

exp iknd i zl

d0 2 exp i1 ro

zzl

k 1 2

Ui ri; exp i1 r i d

l 2d0

(1.63)

和

Eout ro;

exp iknd2

f10f20l2

exp i

f20 1 2 1 ro

l2

k

exp i 2f20

exp iknd1

1 2 r 2

1 x y T

l f 2 10

1 2

1 r

l1

1 2 21 x y ii

l 1

(1.64)

l1

exp i

f10

k

Ein xi,yi; exp i 2f10

其中滤波小孔的透射函数T(r/λf10)为

最后的输出场为 或

Eout

ro,t

1

r 1 孔内T

f10 0 孔外

0 /2

(1.65)

Eout ro

1

0 /2

Eout ro; d

(1.66)

Eout ro; exp i t d

(1.67)

1.5.3 宽带激非光线性传输的分步Fourier变换算法

求解3+1维宽带非线性方程(2-32)一般是采用数值方法。已有很多求解准单色光非线性方程的数值算法[88]，但比较常用是伪频谱方法(pseudospectral method)，著名的分步Fourier变换法(split-step Fourier method, SSFM) [88]，又叫光束传输法(BPM)，就是一种典型的伪频谱方法。这种方法的传输过程如图2-3所示，它是将传输介质分成若干小薄片，在每一片上衍射和非线性(包括增益和损耗)分别单独起作用，光束通过所有小薄片的传输后得到最后的数值结果。

和非线性算SSFM也可以用于求解宽带非线性方程(2-32)， 这里线性算符L

分别表示为 符N

i11 i1 L

2 0 0

1

2 iD

(1.68)

0 i2 0N2

2n0

i

1 gE

0

2

(1.69)

图1-3非线性传输分步傅里叶方法示意图

分别修改为 和非线性算符N对于归一化方程(1.70)，线性算符L

i11 i1 L

2 0 0

1

2 iD

和

N

(1.71)

02

i

n2 0n0

Q 21 P0 1 i Qt T r

0

2

(1.72)

此算法给出间隔为 z=h的相邻两个横截面上的光场分布之间的关系为

(x,y,z h; ) 1 exp hL (x,y,z; ) exphN 1 exp hL AA

22

(1.73)

(x,y,z; )是A(x,y,z; )Fourier变换，L 是根据傅里叶变换的性质通过将这里，A

中对 ，x和y的微分操作分别变成(i )、i 和i 而得到的。这样，对于算符Lyx

整个传输过程，重复M次(1.73)式中的操作就可以从初始场得到距离初始位置为Z处的光场的复振幅的分布。

同样，对于圆对称系统，方程(1.73)中的二维Fourier变换用Hankel变换代替。