飞行器结构力学电子教案系列

飞行器结构力学基础——电子教学教案 电子教学教案

西北工业大学航空学院 航空结构工程系

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第六章薄壁工程梁理论Engineering Beam Theory for Thin-walled Structure 第四讲 6.6 单闭室剖面弯心的计算

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6.6 单闭室剖面弯心的计算单闭室剖面薄壁结构可以承受任意形式的载荷，但它的剖面上 单闭室剖面薄壁结构可以承受任意形式的载荷， 也存在这样的一个点，当外加的剪力通过该点时， 也存在这样的一个点，当外加的剪力通过该点时，结构只发生弯 单闭室剖面的弯心。 曲变形，而不发生扭转变形，这个点就称为单闭室剖面的弯心 曲变形，而不发生扭转变形，这个点就称为单闭室剖面的弯心。 同样，将各剖面的弯心以直线相连，沿纵向也得到一条弯轴， 同样，将各剖面的弯心以直线相连，沿纵向也得到一条弯轴，当 外力通过弯轴时，结构只发生弯曲变形，而无扭转变形。 外力通过弯轴时，结构只发生弯曲变形，而无扭转变形。 根据单闭室剖面的弯心定义， 根据单闭室剖面的弯心定义，既然单闭室剖面在通过其弯心的 剪力作用下，剖面只发生弯曲变形，而无扭转变形， 剪力作用下，剖面只发生弯曲变形，而无扭转变形，即剖面的扭 转角φ (或剖面的相对扭转角θ ),那么， ),那么 转角 =0(或剖面的相对扭转角 =0),那么，我们就可以利用 这一条件，来求得单闭室剖面的弯心位置。 这一条件，来求得单闭室剖面的弯心位置。

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1、单闭室剖面薄壁结构的位移计算 、 仍将应用虚功原理，计算单闭室剖面薄壁结构在外力作用下的位移。 仍将应用虚功原理，计算单闭室剖面薄壁结构在外力作用下的位移。 考虑图示一单闭室薄壁结构。 考虑图示一单闭室薄壁结构。

在外力作用下，结构的真实内力包括正应力 及剪应力 称为< 及剪应力τ 状态) 在外力作用下，结构的真实内力包括正应力σ及剪应力 (称为 P >状态)。 状态 相对于远离固定端某一剖面( 的位移 为了求剖面上某一点 m 相对于远离固定端某一剖面(Z i = L i)的位移 mp,在 m点处施加一对应的单位载荷，该单位载荷在结构中引起的正应力及剪应力记 点处施加一对应的单位载荷， 点处施加一对应的单位载荷 称为< 状态)。 为 σ 1 及 τ 1(称为 1 >状态)。 状态

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1、单闭室剖面薄壁结构的位移计算 、

由虚功原理， 由虚功原理，可以得到 mp 的计算式为

mp或

L1 σ σt τ 1τt σ 1σ τ 1τ 1 =∫ + + dV = ∫s ∫0 dzds V G G E E

mp =

∫∫

L1

s 0

σ 1σ t q1q + dzds Gt E

式中， 是壁厚度， 沿剖面周线积分， 式中，t 是壁厚度， ∫s 沿剖面周线积分，

∫

L1

0

沿结构纵向积分。 沿结构纵向

积分。

E、G 分别表示结构材料的弹性模量与剪切模量。 、 分别表示结构材料的弹性模量与剪切模量。

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1、单闭室剖面薄壁结构的位移计算 、

欲求单闭室剖面的扭转角φ 必须在该剖面上施加一单位扭矩， 欲求单闭室剖面的扭转角 ，必须在该剖面上施加一单位扭矩， 该单位扭矩在结构中产生的内力为

1 q1 = 及 σ1 = 0 注意的是，这里要求以顺时针方向施加单位扭矩， 注意的是，这里要求以顺时针方向施加单位扭矩，由此而产 以顺时针方向施加单位扭矩 q 也是沿剖面中闭合周边顺时针方向 沿剖面中闭合周边顺时针方向。 生的1 也是沿剖面中闭合周边顺时针方向。 单闭室剖面的扭转角φ为 单闭室剖面的扭转角 为

1 =

∫ ∫0

L1

S

qds dz Gt

只存在于剖面中的闭合周边上， 因为 q1 只存在于剖面中的闭合周边上，故积分 进行。 进行。

∫

s

只沿闭合周边

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剖面的相对扭转角 θ 为

d 1 θ = = dz MT q=

qds ∫s Gt

作用时， 若悬臂薄壁梁在自由端受纯扭矩 MT 作用时，此时

剖面的相对扭转角为

记

M T ds θ= 2 ∫ s Gt MT 2 C= = ds θ ∫s Gt

为剖面的扭转刚度 扭转刚度。 的计算式可以看出， 称 C 为剖面的扭转刚度。由 C 的计算式可以看出，单闭室剖面的扭转刚度与 剖面闭室面积的两倍的平方成正比。因此， 剖面闭室面积的两倍的平方成正比。因此，要提高单闭室薄壁结构的扭转刚 在剖面闭室周边长度一定的条件下， 度，在剖面闭室周边长度一定的条件下，应尽量增大闭室面积是最有效的方 法之一。 法之一。

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2、单闭室剖面弯心的计算 、 现在我们就利用θ 这一条件 来求单闭室剖面的弯心位置。 这一条件， 现在我们就利用 =0这一条件，来求单闭室剖面的弯心位置。 如图所示的单闭室剖面。 如图所示的单闭室剖面。 为简单起见， 为简单起见，这里假定 xoy 轴为剖面形心主惯轴。 轴为剖面形心主惯轴。将总 剪力Q 剪力 分解为 Q x 和 Q y 。 先 作用的情形。 考虑只有 Q y 作用的情形。 此时， 此时，剖面上的剪流等于

q = q + q0 Qy 1 S x + Qy xA = Jx Jx Qy ∫s S x ρ ds

式中 x A 为剪力 Q y 到任意选定的力矩极点的距离。 到任意选定的力矩极点的距离。

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2、单闭室剖面弯心的计算 、 剖面的相对扭转角 θ 等于

θ=

1 qds 1 q ds ds = ∫ + q0 ∫ s Gt ∫s Gt s Gt

Qy 1 S x x A ds ∫s S x ρds ds = ds + ∫ J x ∫s Gt s Gt J x ∫s Gt 通过弯心，必然有θ , 如果剪力 Q y 通过弯心，必然有 =0,此时 x A 就是弯心到力矩极 的轴向距离， 点 A 的轴向距离，记为 x ,并由上式可得

1 x = ∫s S x ρ ds Jx

Sx ∫s Gt ds 1 ∫s Gt ds

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2、单闭室剖面弯心的计算 、 同理， 同理

,可以推出弯心到力矩极点 A 的 y 轴向距离 y

Sy ∫s Gt ds 1 y= S y ρds 1 J y ∫s ∫s Gt ds 的右上方。 若 x > 0 , > 0 ,则弯心在力矩中心 A 的右上方。 y 式中， 是壁厚度， 表示在全剖面的周线积分， 式中，t 是壁厚度， ∫s 表示在全剖面的周线积分，

∫

s

表示仅在

剖面中的闭合周线上积分。 表示结构材料的剪切模量。 剖面中的闭合周线上积分。G 表示结构材料的剪切模量。 从公式可以看出，单闭室剖面弯心的位置与外载荷无关。 从公式可以看出，单闭室剖面弯心的位置与外载荷无关。

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2、单闭室剖面弯心的计算 、 计算单闭室剖面的弯心时，应注意几下几点： 计算单闭室剖面的弯心时，应注意几下几点： (1)剖面的几何特性是针对剖面的形心主惯轴来计算的。 )剖面的几何特性是针对剖面的形心主惯轴来计算的。 绕力矩极点顺时针方向为正，反之为负。 (2)积分项 ∫s S x ρds ,绕力矩极点顺时针方向为正，反之为负。 ) (3)应注意积分项 ∫s S x ds 和 ∫s S y ds 的正负号。 )应注意积分项 的正负号。1 由公式式可以看出，沿闭室某一周边， 由公式式可以看出，沿闭室某一周边，当单位载荷引起的剪流 与 q 方 1 向一致时， 取正值，反之取负值。 向一致时， S x ds 取正值，反之取负值。因为剪流 是沿闭室周边顺时针方

∫

向，所以，沿闭室某一周边上的剪流 所以， 取正值，反之取负值。 取正值，反之取负值。

q

对于闭室而言顺时针方向时， 对于闭室而言顺时针方向时， S x ds

∫

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2、单闭室剖面弯心的计算 、 例如，下图所示的例子。 例如，下图所示的例子。

同样道理， 的正负号。 同样道理，可以确定 ∫ S y ds 的正负号。s

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2、单闭室剖面弯心的计算 、 为避免死记公式和公式中一些积分项的正负号， 为避免死记公式和公式中一些积分项的正负号，在具体计算单 闭室剖面的弯心时，常常不是直接利用弯心公式。 闭室剖面的弯心时，常常不是直接利用弯心公式。另外在很多情 况下，在求剖面弯心之前，剖面上的剪流已经求出。为此，实际 况下，在求剖面弯心之前，剖面上的剪流已经求出。为此， 中常采用一些其它的求解方法。 中常采用一些其它的求解方法。

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2、单闭室剖面弯心的计算 、

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2、单闭室剖面弯心的计算 、

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2、单闭室剖面弯心的计算 、