新课标人教版课件系列

《高中数学》选修2-1

3.2《立体几何中的向量方法》

教学 目标 向量运算在几何证明与计算中的应用，掌 握利用向量运算解几何题的方法，并能解 简单的立体几何问题。 教学重点：向量运算在几何证明与计算中 的应用。 教学难点：向量运算在几何证明与计算中 的应用；

引入

方法的分析

上一节的课 外思考题

练习巩固

自学课本例 2

课外练习

问题:如何求平面的法向量? ⑴设平面的法向量为 n ( x, y, z )⑵找出(求出)平面内的两个不共线的向量的 坐标 a (a1 , b1 , c1 ), b (a2 , b2 , c2 )

⑶根据法向量的定义建立关于 x , y , z 的方程 n a 0 组 n b 0

⑷解方程组,取其中的一个解,即得法向量.

练习: 1. 已 知 AB (2, 2,1), AC (4,5, 3), 求 平 面 ABC 的单位法向量. 解:设平面 ABC 的一个法向量为 n ( x, y, z ) 则 n AB , AC . n y 2 x ( x, y, z ) (2, 2,1) 0 2 x 2 y z 0 ∴ ① ∴ 即 z 2x ( x, y, z ) (4,5, 3) 0 4 x 5 y 3z 01 ∵ x y z 1 ②∴由①②得 x 3 1 2 2 1 2 2 ∴平面 ABC 的单位法向量为 ( , ,) ( , , ). 或 3 3 3 3 3 32 2 2

例1:如图1:一个结晶体的形状为四棱柱，其中，以

顶点A为端点的三条棱长都相等，且它们彼此的夹角都是60°,那么以这个顶点为端点的晶体的对角线的 长与棱长有什么关系？ 解:如图1,不妨设AB AA1 AD 1 , A1 BAD BAA1 DAA1 60

D1 B1 D B

C1

化为向量问题 依据向量的加法法则，

C

AC AB AD 1 AA 1 2

图1 AC1 ( AB AD AA1 ) 进行向量运算 2 2 2 AB AD AA1 2( AB AD AB AA1 AD AA1 ) 1 1 1 2(cos 60 cos 60 cos 60 ) 6 回到图形问题 所以| AC1 | 62

A

这个晶体的对角线 AC1 的长是棱长的

6 倍。

思考： (1)本题中四棱柱的对角线BD1的长与棱长有什么关系？(2)如果一个四棱柱的各条棱长都相等，并且以 某一顶点为端点的各棱间的夹角都等于 , 那么 有这个四棱柱的对角线的长可以确定棱长吗?A1 B1 D C D1 C1

(3)本题的晶体中相对的两个平面之间的距离 A B 是多少? (提示：求两个平行平面的距离，通常归结为求点到平 面的距离或两点间的距离)

思考(1)分析: BD BA BC BB 1 1 其中 ABC ABB1 120 , B1 BC 60

易知对角线 BD1 的长与棱长的关系.

思考(2)分析: 设 AC1 a , AD AA1 x , BAD BAA1 DAA1 AB 2 2 2 2 由 AC1 AB AD AA1 AC1 AB AD AA1 2( AB AD AB AA1 AD AA1 )

即 a 2 3 x 2 2(3 x 2 cos ) x

1 a 3 6cos

∴ 这个四棱柱的对角线的长可以确定棱长.

课本第105页例1的思考(3)

晶体中相对的两个平面之间的距离是多少?(设棱长为1)分析：面面距离转化为点面距离来求D1 A1 B1 H C C1

尝试：过 A1点作 A1 H 平面 AC 于点 H .则 A1 H 为所求相对两个面之间 的距离 .

D

由 A1 AB A1 AD BAD 且 AB AD AA1 A B 2 2 可证得 H 在 AC上. AC ( AB BC ) 1 1 2cos 60 3 AC 3

AA1 AC AA1 ( AB BC ) AA1 AB AA1 BC cos60 cos60 1. AA AC 1 6 几何分析 cos A1 AC 1 sin A1 AC 3 加向量运算 | AA1 | | AC | 3

6 6 ∴所求的距离是 . A1 H AA1 sin A1 AC 3 3

能否用法向量运算求解呢?

几何法较难,如何用向量知识求点到平面的距离?

如何用向量法求点到平面的距离：如图 A , 空间一点 P 到平面 的距离为 d,已知平面 的 一个法向量为 n ,且 AP 与 n 不共线,能否用 AP 与 n 表示 d ?

则 d=| PO |= | PA | cos APO. ∵ PO ⊥ , n , ∴ PO ∥ n . ∴cos∠APO=|cos PA, n |.

分析:过 P 作 PO⊥ 于 O,连结 OA.

P

n

A

O

| PA | | n | | cos PA, n | | PA n | ∴d=| PA ||cos PA, n |= = . | n| |n|

这个结论说明,平面外一点到平面的距离等于连结此点与平面 上的任一点(常选择一个特殊点)的向量在平面的法向量上的射影的 绝对值.

思考题: 如图，已知正方形 ABCD 的边长为 4,E、F 分别是 AB、 的中点， AD GC⊥平面 ABCD, GC=2, 且 求点 B 到平面 EFG 的距离. z G 分析:用几何法做 相当 困难 ,注 意到坐标 系建立后各点坐标容易 D C 得出 , 又因为 求点到平 x 面

的距离可以用法向量 F 来计 算 , 而法 向量总是 可以快速算出. A B E y 果断地用坐标法处理.

思考题: 如图，已知正方形 ABCD 的边长为 4,E、F 分别是 AB、 的中点， AD GC⊥平面 ABCD, GC=2, 且 z 求点 B 到平面 EFG 的距离. G 解：如图，建立空间直角坐标系 C-xyz. 由题设 C(0,0,0),A(4,4,0),B(0,4,0), D(4,0,0),E(2,4,0),F(4,2,0),G(0,0,2). EF (2, 2,0), EG ( 2, 4, 2), D C

x 设平面 EFG 的一个法向量为 n ( x, y, z ) 2 x 2 y 0 n EF, EG n

2 x 4 y 2 0 1 1 n ( , ,1) ,BE (2,0,0) A 3 3

F

E

B

| n BE| 2 11 d . 11 n

y

2 11 答:点 B 到平面 EFG 的距离为 . 11

练习(用向量法求距离): 1.如图, ABCD 是矩形, PD 平面 ABCD , PD DC a , AD 2a , M 、N 分别是 AD 、PB 的中点,求点 A 到平面 MNC 的距离.P N D M C B

A

2.(课本第107页练习2)如图，60°的二面角的棱上有A、B两点， 直线AC、BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直AB,已

知AB=4,AC=6,BD=8,求CD的长.

CB A

D

1.解：如图,以D为原点建立空间直角坐标系D-xyz a a a 则D(0,0,0),A(2a ,0,0),B( 2a , ,0),C(0, ,0),P(0,0, )

2 2 1 1 ∵ M 、N 分别是 AD 、PB 的中点,∴ M ( a , 0, 0) N ( a , a, a ) 2 2 2 2 1 1 2 2 z ∴ MC ( a , a , 0) , MN (0, a , a ) , MA ( a , 0, 0) P 2 2 2 2 设 n ( x, y, z ) 为平面 MNC 的一个法向量, ∴ n MN , n MC 2 N ∴ n MC ax ay 0 且 C D y 2 a a M n MN y z 0 2 2 2 A 解得 x y z , B 2 x ∴可取 m ( 2,1, 1) MA n a a 即点 A 到平面 MNC 的距离为 . ∴ MA 在 n 上的射影长 d 2 2 n

2.如图，60°的二面角的棱上有A、B两点，直线AC、BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直AB,

已知AB=4,AC=6,BD=8,求CD的长. C 解: CA 6 , AB 4 , BD 8 A 且 CA AB, BD AB , CA, BD 120 B D

∵ CD CA AB BD 2 2 2 2 ∴ CD CA AB BD 2CA AB 2 AB BD 2CA BD

∴ CD 2 17

1 6 4 8 0 0 2 6 8 = 68 2 2 2 2

答: CD 的长为 2 17 .

注：与106例2的联系

如图所示，在平

行四边形ABCD中，AB =AC=1,∠ACD=90°,将它沿对角线AC折 起，使AB与CD成60°角，求B、D间的距离.