河南省郑州市2013年高中毕业年级第二次质量预测

文科数学试题卷

本试卷分第I卷(选择题）和第II卷（非选择题）两部分.考试时间120分钟，满分150 分.考生应首先阅读答题卡上的文字信息，然后在答题卡上作答，在试题卷上作答无效.

第I卷

一、选择题:本大題共12小題，每小題5分，在每小題给出的四个选项中，只有一个符合 题目要求.

A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

B. 7x-24y=0 D.24x-7y=0

A. 7x+24y=0 C. 24x+7y=0

3. 在正项等比数列{an}中，ai=1，前n项和为Sn,且-a3，a2，a4成等差数列，则S7的值为.

A. 125

B. 126

C. 127

D. 128

4. 设a,β分别为两个不同的平面，直线la，则“l丄β”是“a丄β成立的 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

A.充分不必要条件 C.充要条件

2

x

5. 函数f(x)=x— 2在x∈R上的零点的个数是 A. 0

B. 1 C. 2 D. 3

A. c>b>a B. b>c>a C. a>b>c D. b>a>c

7. 函数f(x)的定义域为开区间（a,b)，其导函数f (x)在(a,b)内的图象如图所示，则函数f(x)在开区间(a,b)内极大值点有

A. 1个 C. 3个

B. 2个

D. 4个

―个锥体的主视图和左视图如图所示,下面选项中，不可能是该锥体的俯视图的是 8.

已知A(l，2),B(3,4)，C(－2，2),D(－3，5)，则向量AB在向量CD上的投影为

9.

焦点，以坐标原点O为圆心，|OF1|为半径的圆与该双曲线左支 的两个交点分别为A，B,且ΔF2

AB是等边三角形，则双曲线的 离心率为

m

2

11. 函数f(x)=ax(1-x)在区间[0，1]上的图象 如图所示，则m的值可能是

A. 1 C. 3

B.2 D.4

12. 设f(x)是定义在R上的增函数,且对于任意的工都有f(2—x)+f(x)=0恒成立.如果实数m、n满足不等式组

f(m2 6m 23) f(n2 8n) 0

’则m2+n2的取值范围是

m 3

A. (3,7)

B. (9,25)

C. (13,49) 第II卷

本卷包括必考题和选考题两部分.第13题 第21题为必考题,第22題 24题为选考 题

.考生根据要求作答.

二、填空题:本大题共4小题,每小题5分.

13. 等差数列{an}的前7项和等于前2项和，若a1=1,ak+a4=0，则k=______

D. (9,49)

x 2y 0,

14.设z=x+y，其中x，y满足 x y 0,当Z的最大值为6时，K的值为______.

0 y k,

15.函数y=loga(x+3)-l(a>0且a≠l)的图象恒过定点A，若点A在mx+ny+2 = 0 上，其中

x，则方程f(x) 三、解答题:解答应写出说明文字,证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分12分）

如图所示，一辆汽车从O点出发沿一条直线公路以50公里/小

时的速度匀速行驶（图中的箭头方向为汽车行驶方 向），汽车开动的同时，在距汽车出发点O点的距离为5公 里，距离公路线的垂直距离为3公里的M点的地方有一个 人骑摩托车出发想把一件东西送给汽车司机.问骑摩托车 的人至少以多大的速度匀速行驶才能实现他的愿望，此时 他驾驶摩托车行驶了多少公里？

18. (本小题满分12分）

每年的三月十二日，是中国的植树节.林管部门在植树前，为保证树苗的质量，都会在植树前对树苗进行检测.现从甲、乙两批树苗中各抽测了 10株树苗的髙度，规定髙于128厘米的为“良种树苗”，测得髙度如下(单位:厘米）

甲：137,121，131，120,129,119，132，123,125，133 乙：110,130，147，127，

146，114，126，110,144，146

(I)根据抽测结果，完成答题卷中的茎叶图，并根据你填写的茎叶图，对甲、乙两批树苗的高度作比较，写出对两种树苗高度的统计结论；

图进行运算，（如图）问输出的S大小为多少？并说明S的统计学意义.

19. (本小题满分12分）

如图，正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都为2，D为(I)求证:AB1丄面A1BD;

CC1中点.

值.

20. (本小题满分12分）

圆恒与y轴相切.

(I)求曲线D的方程；

(II)设O为坐标原点，是否存在同时满足下列两个条件的ΔAPM?①点M在椭圆

C上;②点O为ΔAPM的重心.若存在，求出点P的坐标；若不存在,说明理由.（若三角形

21.(本小题满分12分）

已知函数f(x)=lnx与g(x)=kx+b(k,b∈R)的图象交于P，Q两点，曲线y=f(x)在P，Q两点处的切线交于点A.

(I)当k = e，b=-3时,求f(x) — g(x)的最大值(e为自然常数）

(II)若A(

e1,)|，求实数k，b的值. e 1e 1

，请从22、23、24三个小题中任选一题作答，选做题(本小题满分10分

并用铅笔在对应 方框中涂黑）

22.选修4—1:几何证明选讲

如图，已知0和M相交于A、B两点，AD为M的直径，直线BD交O于点C,点G为弧BD中点，连结 AG分别交0、BD于点E、F，连结CE.

(I）求证:AG·EF=CE·GD；

23. 选修4一4:坐标系与参数方程 已知直线C1:

x 1 tcosa x cos

（t为参数），曲线C2: (θ

为参数).

y tsina y sin

(II)过坐标原点0作C1的垂线,垂足为A,P为OA中点，当a变化时，求P点轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线.

24. 选修4一5:不等式选讲 已知函数f(x)=|x—a|

(I)若不等式f(x)≤3的解集为{x|-1≤x≤5}，求实数a的值；

(II)在（I)的条件下,若f(x)+f(x + 5)

m对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围.

2013年高中毕业年级第二次质量预测

数学（文科） 参考答案

一、选择题（每小题5分，共60分） ADCA DBBC BBAC

二、填空题（每小题5分，共20分） 13．6；14．3；15

．三、解答题

17．解:作MI垂直公路所在直线于点I,则MI 3,

3

；16．． 22

OM 5, OI 4 cos MOI

4

――――2分 5

4

――――6分 5

设骑摩托车的人的速度为v公里/小时,追上汽车的时间为t小时

由余弦定理: vt 5 50t 2 5 50t

2

2

2

254001 2500 25( 8)2 900 900――――8分 2ttt13015

公里――――11分 当t 时,v的最小值为30, 其行驶距离为vt

884 v2

故骑摩托车的人至少以30公里/时的速度行驶才能实现他的愿望, 他驾驶摩托车行驶了

18．解（Ⅰ）茎叶图略. ―――2分

统计结论：①甲种树苗的平均高度小于乙种树苗的平均高度;

②甲种树苗比乙种树苗长得更整齐;

③甲种树苗的中位数为127，乙种树苗的中位数为128.5; ④甲种树苗的高度基本上是对称的，而且大多数集中在均值附近，

乙种树苗的高度分布较为分散. ―――6分（每写出一个统计结论得2分）

（Ⅱ）x 127,S 135.――――9分

15

公里. ――――12分 4

S表示10株甲树苗高度的方差，是描述树苗高度离散程度的量.

S值越小，表示长得越整齐，S值越大，表示长得

越参差不齐．――――12分

19．解：（Ⅰ）取BC中点为M，连结AM,B1M，

在正三棱柱ABC A1B1C1中面ABC 面CB1，

ABC为正三角形，所以AM BC， 故AM 平面CB1，又BD 平面CB1，

所以AM BD．

又正方形BCC1B1中，tan BB1M tan CBD 所以BD B1M，又B1M AM M， 所以BD 平面AB1M，故AB1 BD，

又正方形BAA1B1中，AB1 A1B，A1B BD B， 所以AB1⊥面A1BD． ――――6分 （Ⅱ）取AA1的中点为N，连结ND,OD,ON．

因为N,D分别为AA1,CC1的中点，所以ND//平面ABC，

又OD//平面ABC，ND OD D，所以平面NOD//平面ABC， 所以ON//平面ABC，又ON 平面BAA1B1，平面BAA1B1 平面

1

， 2

ABC A，B

所以ON//AB，注意到AB//A1B1，所以ON//A1B1，又N为AA1的中点， 所以O为AB1的中点，即

AO

1为所求． ――――12分 OB1

20．解：（Ⅰ）设P(x,y)，由题知F(1,0)，所以以PF为直径的圆的圆心E(

则

x 1y

,)， 22

|x 1|1 |PF| 222

整理得y 4x为所求． ――――4分 （Ⅱ）不存在，理由如下： ――――5分

y12

若这样的三角形存在，由题可设P(,y1)(y1 0),M(x2,y2)，由条件①知

4

x22y22

1， 43

由条件②得OA OP OM 0，又因为点A( 2,0)，

y12

x2 2 0,y22332

x2 2 0，所以 4即故 ――――x2 x2 2 0，4416 y y 0,

12

9分

解之得x2 2或x2

10

（舍）， 3

当x2 2时，解得P(0,0)不合题意，

所以同时满足两个条件的三角形不存在． ――――12分

21．解：（Ⅰ）h(x) f(x) g(x) lnx ex 3(x 0)，

1e1

e (x )， ――――1分 xxe1

当0 x 时，h (x) 0，此时函数h(x)为增函数；

e1

当x 时，h (x) 0，此时函数h(x)为减函数．

e

11

所以函数h(x)的增区间为(0,),减区间为(, )． ――――4分

ee

则h (x)

（Ⅱ）设过点A的直线l与函数f(x) lnx切于点(x0,lnx0)，则其斜率k

1

， x0

故切线l:y lnx0

将点A(

1

(x x0)， x0

e1,)代入直线l方程得： e 1e 1

e 1111e

lnx0 1 0，――――7分 lnx0 ( x0)，即ex0e 1x0e 1

e 11e 11e 1e

lnx 1(x 0)，则v (x) 2 2(x )， exexxexe 1e

当0 x 时，v (x) 0，函数v(x)为增函数；

e 1

设v(x)

当x

e

时，v (x) 0，函数v(x)为减函数． e 1

故方程v(x) 0至多有两个实根， ――――10分 又v(1) v(e) 0，所以方程v(x) 0的两个实根为1和e， 故P(1,0),Q(e,1)，所以k

22．证明：（Ⅰ）连接AB、AC, AD为⊙M的直径， ABD 90, AC为⊙O的直径，

CEF AGD 90 ――――2分

G为弧BD的中点， DAG GAB ECF. ――――4分 CEF∽ AGD, 分

（Ⅱ）由（1）知 DAG GAB FDG, G G

DFG∽ AGD, DG AG GF ――――8分

2

11

为所求．――――12分 ,b

e 11 e

CEAG

, AG EF CE GD ―――6EFGD

GFEF2EF2GD2

由（1）知∴ ――――10分 222

CEAG AGCE

23．解：（Ⅰ）当a

联立方程组

3

时，C1的普通方程为y (x 1)，C 2的普通方程为x y 1，

22

y (x 1)

，解得C 1与C 2的交点坐标为（1，0），

22 x y 1

1(, )．――――5分 22

（Ⅱ）C

1

的普通方程为xsi n yco s si n 0，A点坐标为

(si2n , si nco s)，

12 x sin , 2故当 变化时，P点轨迹的参数方程为 （ 为参数） 1

y sin cos ,

2

11

P点轨迹的普通方程为(x )2 y2 ．

41611

故P点轨迹是圆心为(,0)，半径为的圆．――――10

44

24．解：（Ⅰ）由f(x) 3得|x a| 3，解得a 3 x x 3．

a 3 1

又已知不等式f(x) 3的解集为 x| 1 x 5 ，所以 ，解得

a 3 5

a 2.――――4分

（Ⅱ）当a 2时，f(x) |x 2|，设g(x) f(x) f(x 5)， 于是

2x 1,x 3,

g(x) |x 2| |x 3| 5, 3 x 2,

2x 1,x 2. ――――6分

所以当x 3时，g(x) 5；

当 3 x 2时，g(x) 5； 当x 2时，

g(x) 5．

综上可得，g(x)的最小值为5．――――9分

从而若f(x) f(x 5) m，即g(x) m对一切实数x恒成立， 则m的取值范围为（-∞，5]．――――10分