卢淑华著,北京大学出版社出版,第四版

第十讲

列联表

第一节 概念

1、研究内容 1)研究两定类变量的关系 2)为研究y的分类是否与x之分类有关，将 数据先按x分类，再分别统计x分类情况下y 的分类。 3)按两个定类变量进行交叉分类的频次分 配表，即二维列联表。

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4、列联表的一般形式 y y1 x

x1N11 N12

x2N21 N22

..

..

..

xcNc1 Nc2

y2. . .

.

.

.

. . .N1r

. . .N2r . . .

. . .Ncr

yr

Nij:x=xi y=yj时所具有的频次

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2、列联表中变量的分布

1)联合分布 对于二变量来说，为了知道分布，集合中的变量值，必须同时具有x和y 两个变量的取值。 ( x1 y1 N11) ( x2 y2 N12) 此称联合分布 ( x1 yr N1r) ( xi yj Nij) ( xc yr Ncr) 表示频次时 联合频次分布表 Nij Pij 表示概率时 联合概率分布表Nij 后者可以通过前者求出 pij N

N

N p 1c r

c

r

ij

i 1 j 1

i 1 j 1

ij

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2)边缘分布： 对联合分布进行简比，只研究其中某一 变量的分布，而不管另一变量的取值， 这样就得到边缘分布。 按行加总y的边缘分布：P y yr P1r P2 r Pcr P r

按列加总x的边缘分布：P x xc Pc1 P2c Pcr Pc

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3)条件分布： 将其中一个变量控制起来取固定值，再看另 一变量的分布，即条件分布。 控制x时，条件分布中的每一项都以边缘分布 的 N1* N 2* N c* 为分母 控制y时，条件分布中的每一项都以边缘分布 的 N *1 N *2 N *r 为分母

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3、列联表中的相互独立性：

1)列联表研究定类变量之间的关系，实际上 是通过条件分布的比较进行的。 如果两个变量之间没有关系，则称变量之间 是相互独立的。 2)如果两个变量之间是相互独立的，则必然 存在变量的条件分布与其边缘分布相同 。

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条件分布=边缘分布是列联表检验的基础： (控制x时)

N11 N 21 N*1 N N1* N 2* Nij

Ni*

N* j N

Nij N N* j N N i* NPij Pi*P* j

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第二节 列联表的检验

一、原假设： 将总体中变量间无关系或相互独立作为检验 的原假设。

H :p p p0 ij

i*

*j

总体 pi* 和 p* j 未知时，用样本 p i 和 P 代 j 替。 n j ni P i P j n n

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2

2

2

c

r2

ij

ni* n* j E ij nij

E np*j

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统计量的讨论

1、对于2×2列联表，由于格数过少，为 减少作为离散观测值与作为连续型变量x 值之间的偏差，可作连续性修正：2 2 2 2

2、二项总体2

E2 1

ij2

E p0 为总体成

数1

E2

2

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3、对多项总体：

统计量：

x

2

ni Ei 2

r

i 1

E

~

x r 1 2

i

E2

i

n

p

i0

4、使用统计量 x 对列联表迚行检验，每一格值的 Eij

要保持在一定数目乊上。如果有的格值 Eij 过小， 2 那么在计算 值时 nij Eij 值的波劢就会较大。 E

x

2

ij

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每格要求：

E ij 520 30 18 29 3 4 1 2

处理方法：将期望值偏小的格值合并。 右例，做检验。Eij nij

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注意： 列联表就其检验内容来看是双边检验，但从 形式上看，却又很像单边检验。其判断的内 容仅是变量间是否存在关系。至于方向，由 于列联表属定类变量，因此是不存在的。

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列联表检验步骤 1、 H 0 H1

2、统计量：2 r

ni Ei ~ x r 1 x 2

2

3、

i 1

E

i

4、比较