龙岩市2018年高中毕业班教学质量检查

数学（理科）试题

第Ⅰ卷（选择题 共60分）

一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知集合{|1}A x y x ==-，{|2,}x B y y x A ==∈，则A B =I （ ） A ．(,1)-∞ B ．[0,1] C ．(0,1] D ．[0,2)

2.已知函数32()2

b f x x x =+，则0b <是()f x 在0x =处取得极小值的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件

C ．充要条件

D ．既不充分也不必要条件

3.已知1z 与2z 是共轭虚数，有4个命题①12z z =；②1212z z z z =；③12z z R +∈；④2212z z <，一定正确的是（ ）

A ．①②

B ．②③

C ．②③

D ． ①②③

4.sin ()((,0)(0,))x f x x x

ππ=∈-U 大致的图象是（ ）

A ．

B ． C. D ．

5.执行如图所示的算法流程图，则输出的结果S 的值为（ ）

A ．2

B ．1

C ．0

D ．1-

6.《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”.已知某“堑堵”的三视图如图所示，俯视图中虚线平分矩形的面积，则该“堑堵”的表面积为（ ）

A ．14

B ．642+．862+ D ．842+7.若实数x ，y 满足422log 4log x y +=+8log ()x y =+，则11x y

+的值为（ ） A ．128 B ．256 C ．512 D ．4

8.设x ，y 满足约束条件360200,0x y x y x y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥≥⎩

，若目标函数(0)z ax y a =+>的最大值为18，则a 的值为（ ）

A ．3

B ．5

C ．7

D ．9

9.已知抛物线2

4y x =上的点M 到其准线的距离为5，直线l 交抛物线于A ，B 两点，且AB 的中点为(2,1)N ，则M 到直线l 的距离为（ ）

A 55595 C 535 D 535 10.已知函数()sin 3f x a x x =的一条对称轴为6x π=-

，且12()()4f x f x ⋅=-，则12x x +的最小值为（ ）

A ．3π

B ．23π

C ．2

π D ．34π 11.在四面体ABCD 中，BCD ∆与ACD ∆均是边长为4的等边三角形，二面角A CD B --的大小为60o ，则四面体ABCD 外接球的表面积为（ ）

A ．2089π

B ．529π

C ．643π

D ．523

π 12.记函数()2x f x e

x a -=--，若曲线3([1,1])y x x x =+∈-上存在点00(,)x y 使得00()f y y =，则a 的取值范围是（ ）

A ．22(,6][6,)e

e --∞-++∞U B ．22[6,6]e e --+ C ．22(6,6)e e --+ D ．22(,6)(6,)e e --∞-++∞U

第Ⅱ卷（非选择题 共90分）

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分.

13.已知向量(1,0)a =r ，(,2)b λ=r ，2a b a b +=-r r r r ，则λ= ．

14.3对双胞胎站成一排，要求每对双胞胎都相邻，则不同的站法种数是 ．（用数字作答） 15.已知双曲线22

221(0,0)x y a b a b

-=>>的渐近线被圆22650x y x +-+=截得的弦长为2，则该双曲线的离心率为 ．

16.已知ABC ∆的内角A 的平分线交BC 于点D ，ABD ∆与ADC ∆的面积之比为2:1，2BC =，则ABC ∆面积的最大值为 ．

三、解答题：本大题共6小题，满分70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17. 已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且242n n n S a a =+.

（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；

（Ⅱ）若{}n b 是等比数列，且14b =，358b b b =，令2

n n n a b c =，求数列{}n c 的前n 项和n T . 18.已知梯形BFEC 如图（1）所示，其中5EC =，4BF =，四边形ABCD 是边长为2的正方形，现沿AD 进行折叠，使得平面EDAF ⊥平面ABCD ，得到如图（2）所示的几何体.

（Ⅰ）求证：平面AEC ⊥平面BDE ；

（Ⅱ）已知点H 在线段BD 上，且//AH 平面BEF ，求FH 与平面BFE 所成角的正弦值.

19.世界那么大，我想去看看，处在具有时尚文化代表的大学生们旅游动机强烈，旅游可支配收入日益增多，可见大学生旅游是一个巨大的市场.为了解大学生每年旅游消费支出（单位：百元）的情况，相关部门随机抽取了某大学的1000名学生进行问卷调查，并把所得数据列成如下所示的频数分布表：

组别

[0,20) [20,40) [40,60) [60,80) [80,100) 频数 2 250 450 290

8 （Ⅱ）根据样本数据，可近似地认为学生的旅游费用支出X 服从正态分布2(51,15)N ，若该所大学共有学

生65000人，试估计有多少位同学旅游费用支出在8100元以上；

（Ⅲ）已知样本数据中旅游费用支出在[80,100]范围内的8名学生中有5名女生，3名男生，现想选其中3名学生回访，记选出的男生人数为Y ，求Y 的分布列与数学期望.

附：若2

(,)X N ϕσ:，则()0.6826P X μσμσ-<<+=， (22)0.9544P X μσμσ-<<+=，(33)0.9973P X μσμσ-<<+=.

20.平面直角坐标系xOy 中，圆222150x y x ++-=的圆心为M .已知点(1,0)N ，且T 为圆M 上的动点，线段TN 的中垂线交TM 于点P .

（Ⅰ）求点P 的轨迹方程；

（Ⅱ）设点P 的轨迹为曲线1C ，抛物线2C ：22y px =的焦点为N .1l ，2l 是过点N 互相垂直的两条直线，直线1l 与曲线1C 交于A ，C 两点，直线2l 与曲线2C 交于B ，D 两点，求四边形ABCD 面积的取值范围.

21.已知函数2()2ln f x x x a x =--，()g x ax =.

（Ⅰ）求函数()()()F x f x g x =+的极值； （Ⅱ）若不等式sin ()2cos

x g x ≤+对0x ≥恒成立，求a 的取值范围. 请考生在22、23两题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做的第一个题目计分.作答时，请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.

22.选修4-4：坐标系与参数方程

以直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l 的极坐标方程为

2sin()306πρθ+-=，曲线C 的参数方程是2cos 2sin x y ϕϕ

=⎧⎨=⎩（ϕ为参数）. （Ⅰ）求直线l 和曲线C 的普通方程；

（Ⅱ）直线l 与x 轴交于点P ，与曲线C 交于A ，B 两点，求PA PB +.

23.选修4-5：不等式选讲 已知函数()2f x x a x =-++.

（Ⅰ）当1a =时，解不等式()4f x ≥； （Ⅱ）若不等式()3f x x ≤+的解集包含[0,1]，求实数a 的取值范围.

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数学（理科）参考答案

一、选择题

1-5: CDDDC 6-10: CBABB 11、12：AB

二、填空题

13. 12- 14. 4843

三、解答题

17.解：（Ⅰ）由242n n n S a a =+得211142(2)n n n S a a n ---=+≥，

两式相减得2211422n n n n n a a a a a --=-+-，

∴11()()n n n n a a a a --+-12()0n n a a --+=，

∵0n a >，∴12n n a a --=，

又由21111442S a a a ==+得10a >得12a =，

{}n a 是首项为2，公差为2的等差数列，

从而2n a n =.

（Ⅱ）设{}n b 公比为q ，则由358b b b =可得247164q q q =，

∴4q =，

∴4n n b =，

∴数列{}n c 满足4n n c n =⋅，

它的前n 项之和23142434n T =⋅+⋅+⋅4n n +⋅⋅⋅+⋅①，

2241424n T =⋅+⋅+⋅⋅⋅1(1)44n n n n ++-⋅+⋅②，

①-②得2134444n n n T n +-=++⋅⋅⋅+-⋅

14(14)414

n n n +-=-⋅- 14(41)43

n n n +=--⋅， ∴14444399n n n n T +⋅=-⋅+1314499

n n +-=⋅+. 18. 解：（Ⅰ）证明：由平面EDAF ⊥平面ABCD ，DE AD ⊥，

平面EDAF I 平面ABCD AD =，DE ⊂平面EDAF ，

得DE ⊥平面ABCD ，又AC ⊂平面ABCD ，

∴AC DE ⊥，

由ABCD 为正方形得AC BD ⊥，

又BD DE D =I ，BD ，DE ⊂平面BDE ，

∴AC ⊥平面BDE ，

又∵AC ⊂平面AEC ，

∴平面AEC ⊥平面BDE .

（Ⅱ）由ED ⊥平面ABCD 得AD ED ⊥，CD ED ⊥，

又AD DC ⊥故以D 为原点，DA ，DC ，DE 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立图示空间直角坐标系，则(2,0,0)A ，(2,2,0)B ，(0,0,3)E ，(2,0,2)F ，

设DH DB λ=u u u u r u u u r ，则(2,2,0)H λλ，

设平面BEF 的一个法向量为(,,)n x y z =r ，

由(2,2,3)BE =--u u u r ，(2,0,1)EF =-u u u r ，

00n BE n EF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩r u u u r r u u u r 得223020

x y z x z --+=⎧⎨-=⎩取1x =得(1,2,2)n =r ， ∵//AH 平面BEF ，(22,2,0)AH λλ=-u u u r ，

∴2240λλ-+=，13

λ=， 22(,,0)33H ，42(,,2)33

FH =--u u u r ， 设FH 与平面BEF 所成的角为θ，则

sin cos ,n FH θ=

r u u u r 214

n FH n FH ⋅==r u u u r r u u u r 147=， ∴FH 与平面BEF 所成角的正弦值为147.

19. 解：（Ⅰ）设样本的中位数为x ，则2250450(40)0.510001000100020x -++⋅=， 解得51x ≈，所得样本中位数为5100.

（Ⅱ）51μ=，15σ=，281μσ+=，

旅游费用支出在8100元以上的概率为(2)P x μσ≥+ 1(22)2P x μσμσ--<<+=10.95440.02282-==， 0.0228650001482⨯=，

估计有1482位同学旅游费用支出在8100元以上.

（Ⅲ）Y 的可能取值为0，1，2，3，

35385(0)28C P Y C ===，12353815(1)28

C C P Y C ===， 21353815(2)56C C P Y C ===，33381(3)28

C P Y C ===， ∴Y 的分布列为 Y 0

1 2 3 P

528 1528 1528 156 012828EY =⨯+⨯2356568

+⨯+⨯=. 20.解：（Ⅰ）∵P 为线段TM 中垂线上一点，

∴PM PN PM PT +=+4TM ==，

∵(1,0)M -，(1,0)N ，∵42MN >=，

∴P 的轨迹是以(1,0)M -，(1,0)N 为焦点，长轴长为4的椭圆， 它的方程为22

143

x y +=. （Ⅱ）∵2

2y px =的焦点为(1,0)， 2C 的方程为24y x =，

当直线1l 斜率不存在时，2l 与2C 只有一个交点，不合题意. 当直线1l 斜率为0时，可求得4AC =，4BD =， ∴182

ABCD S AC BD =⋅⋅=. 当直线1l 斜率存在且不为0时，

方程可设为(1)(0)y k k k =-≠，代入22

143

x y +=得 222(34)8k x k x +-24120k +-=，2144(1)0k ∆=+>，

设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则2122834k x x k +=+，212241234k x x k

-=+，

12AC x =

-=2212(1)34k k +=+. 直线2l 的方程为1(1)y x k

=--与24y x =可联立得22(24)10x k x -++=， 设33(,)B x y ，44(,)D x y ，则212244BD x x k =++=+，

∴四边形ABCD 的面积

12

S AC BD =222112(1)(44)234k k k +=+⋅+22224(1)34k k +=+. 令234k t +=，则23(3)4

t k t -=>， 2324(1)4()t S t t

-+=31(2)2t t =++， ∴()S t 在(3,)+∞是增函数，()S(3)8S t >=，

综上，四边形ABCD 面积的取值范围是[8,)+∞.

21. 解：（Ⅰ）2()2ln F x x x a x ax =--+，

22(2)'()x a x a F x x +--=(2)(1)x a x x

+-=， ∵()F x 的定义域为(0,)+∞. ①02

a -≤即0a ≥时，()F x 在(0,1)上递减，()F x 在(1,)+∞上递增， ()1F x a =-极小，()F x 无极大值. ②012a <-<即20a -<<时，()F x 在(0,)2a -和(1,)+∞上递增，在(,1)2

a -上递减， ()()2a F x F =-极大

2ln()42a a a a =---，()(1)1F x F a ==-极小. ③12a -

=即2a =-时，()F x 在(0,)+∞上递增，()F x 没有极值. ④12a ->即2a <-时，()F x 在(0,1)和(,)2a -+∞上递增，()F x 在(1,)2

a -上递减， ∴()(1)1F x f a ==-极大，()()2

a F x F =-极小2ln()42a a a a =---. 综上可知：0a ≥时，()1F x a =-极小，()F x 无极大值；

20a -<<时，()()2

a F x F =-极大2ln()42a a a a =---，()(1)1F x F a ==-极小； 2a =-时，()F x 没有极值；

2a <-时，()(1)1F x f a ==-极大，()()2a F x F =-极小2ln()42a a a a =---. （Ⅱ）设sin ()2cos x h x ax x

=-+(0)x ≥， 212cos '()(2cos )

x h x a x +=-+， 设cos t x =，则[1,1]t ∈-，212()(2)t t t ϕ+=+，42(2)(1)'()(2)t t t t ϕ-+-=+32(1)0(2)

t t --=≥+， ∴()t ϕ在[1,1]-上递增，∴()t ϕ的值域为1

[1,]3-， ①当13

a ≥时，'()0h x ≥，()h x 为[0,]+∞上的增函数， ∴()(0)0h x h ≥=，适合条件.

②当0a ≤时，∵1()0222

h a ππ

=⋅-<，∴不适合条件. ③当103a <<时，对于02x π<<，sin ()3x h x ax <-，

令sin ()3x T x ax =-，cos '()3x T x a =-， 存在(0,)2x π

∈，使得0(0,)x x ∈时，'()0T x <，

∴()T x 在0(0,)x 上单调递减，

∴0()(0)0T x T <<，

即在0(0,)x x ∈时，()0h x <，∴不适合条件.

综上，a 的取值范围为1[,)3+∞.

22. 选修4-4：坐标系与参数方程

解：（Ⅰ）2sin()306π

ρθ+-=，

sin cos 30θρθ+-=，

即l

的普通方程为30x -=，

2cos 2sin x y ϕϕ

=⎧⎨=⎩消去ϕ，得C 的普通方程为224x y +=.

（Ⅱ）在30x +-=中令0y =得(3,0)P ，

∵3k =-，∴倾斜角56

πα=， ∴l 的参数方程可设为53cos 650sin 6x t y t ππ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩

即312

x y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 代入224x y +=

得2

50t -+=，70∆=>，∴方程有两解，

12t t +=1250t t =>，∴1t ，2t 同号，

12PA PB t t +=

+12t t =+=23. 选修4-5：不等式选讲

解：（Ⅰ）1a =时，()4f x ≥2214x x <-⎧⇔⎨--≥⎩或2134x -≤≤⎧⎨≥⎩或1214x x >⎧⎨+≥⎩

， 52x ≤-或x φ∈或32

x ≥， 解集为53(,][,)22-∞-+∞U . （Ⅱ）由已知()3f x x ≤+在[0,1]上恒成立，

∵20x +>，30x +>， ∴1x a -≤在[0,1]上恒成立， ∵y x a =-的图象在(,)a -∞上递减，在(,)a +∞上递增， ∴01110211

a a a a ⎧-≤-≤≤⎧⎪⇒⎨⎨≤≤-≤⎩⎪⎩， ∴a 的取值范围是[0,1].