专题二

函数与导数

第4讲 第5讲 第6讲

函数、基本初等函数Ⅰ的图像与性质 函数与方程、函数模型及其应用 导数及其应用

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第4讲 函数、基本初等函数 Ⅰ的图像与性质

第4讲核 心 知 识 聚 焦

函数、基本初等函数Ⅰ的图像与性质

——主干知识 —— —— 体验高考 —— 1.[2013· 江西卷改编] 函数 y 函数的概 ① = x ln(1 - x) 的 定义域 是 念 ________. 关键词：对应 [答案] [0,1) [解析] x≥0 且 1-x>0,得 x∈[0,1). 关系、定义域、值 2 . [2012· 陕西卷 ] 设函数 f(x) = 域、分段函数，如 x , x ≥ 0 , ② 则 f(f( - 4)) = ①②. 1 x 2 ,x<0, ________.[答案] 4 [解析] f(-4)=16,所以 f(f(-4))

= 16=4.返回目录

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函数、基本初等函数Ⅰ的图像与性质

—— 体验高考 ——3. [2012· 天津卷改编] 函数 f(x) = ex - e - x 的 奇偶性是③ ________ , 单调性是__________________.

——主干知识 —— 函数性质 关键词：单调 性、奇偶性、周期 性，如③.

[答案] 奇函数 在 R 上单调递增

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函数、基本初等函数Ⅰ的图像与性质

—— 体验高考 —— 4 . [2013· 福建卷改编 ] 画出函 数 y = ln(x2 + 1) 的 图像④ 大 致 是 ____________.[答案] f(x)定义域为 R 且是 偶函数， 图像关于 x 轴对称， 又过 点(0, 0), 在[0, +∞)上单调递增.

——主干知识 —— 函数图像 关键词：函数 图像、函数性质、 特殊点，如④.

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函数、基本初等函数Ⅰ的图像与性质

—— 体验高考 —— 5.[2013· 安徽卷] 定义在 R 上 的函数 f(x)满足 f(x+1)=2f(x), 若当 0≤x≤1 时， f(x) = x(1 - x) ,则当 -1≤x≤0⑤ 时，f(x)=________.1 [答案] - x(x+1) 2

——主干知识 —— 函数解析 式 关键词：函数 解析式、性质、分 段定义域，如⑤.

[解析] 当-1≤x≤0 时， 0≤x+1≤1, 1 由 f(x+1)=2f(x)可得 f(x)= f(x+1)= 2 1 -2x(x+1).返回目录

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函数、基本初等函数Ⅰ的图像与性质

——主干知识 —— —— 体验高考 —— 6 . [2013· 新课标全国卷Ⅱ改编 ] 基本初等 设 a=log36,b=log510,c=log714, 函数Ⅰ 则 a,b,c的大小关系⑥ 是________. 关键词：指数[答案] a>b>c[解析] a=log36=1+log32,b= log510=1+log52, c=log714=1+log72. 方法一：根据对数函数的图像可知 log32>log52>log72, 所以 a>b>c.方法二： 1 1 a - b = log32 - log52 = log 3 - log 5 = 2 2 log25-log23 log25·log23 a>b>c. >0 , 同 理 b - c>0 ,

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函数、对数函数、 幂函数、图像、性 质，如⑥.

第4讲

函数、基本初等函数Ⅰ的图像与性质

—— 基础知识必备 ——

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第4讲

函数、基本初等函数Ⅰ的图像与性质

考向一

函数的概念与表示

考向：函数的定义域、值域、最值，分段函数等. 考例：2009 年 T12、2010 年 T11、2012 年 T14,近五年 新课标全国卷共考查了 3 次. x2 例 1 (1)函数 y= +lg(2x+1)的定义域是( ) 2-x 1 1 A. -2,+∞ B. -2,2 1 1 1 C. -2,2 D. -∞,-2 2x3,x<0, (2)[2013· 福建卷] 已知函数 f(x)= π 则 -tan x,0≤x< , 2 π f f 4 =________. 返回目录

命 题 考 向 探 究

第4讲

函数、基本初等函数Ⅰ的图像与性质

[答案] (1)B (2)-2命 题 考 向 探 究[解析] (1)x 同时满足不等式 2-x>0,2x+1>0,解 1 1 得-2<x<2,故所求函数的定义域是-2,2. π (2)f ( 4 )=-tan π 4 =-1,f(-1)=-2.

小结：函数概念的核心是定义域和对应关系，求由 解析式给出的函数的定义域就是求使解析式有意义的 自变量的取值集合；分段函数求值时注意由内层到外 逐次计算，在计算时要随时注意自变量的取值在函数 的哪个段上.返回目录

第4讲

函数、基本初等函数Ⅰ的图像与性质

考向二

函数的基本性质

考向：函数的单调性、奇偶性、周期性、最值以及性 质的综合运用.命 题 考 向 探 究

考例：2009 年 T12、2011 年 T2,近五年新课标全国卷 共考查了 2 次.虽然专门考查函数性质的考题不多，但函 数性质在解决函数类试题中具有重要作用.

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函数、基本初等函数Ⅰ的图像与性质

命 题 考 向 探 究

例 2 (1)定义域为 R 的奇函数 f(x),当 x∈(-∞,0)时 f(x)+xf′(x)<0 恒成立，若 a=3f(3),b=f(1),c=-2f(-2), 则( ) A.a>c>b B.c>b>a C.c>a>b D.a>b>c (2)[2013· 湖北卷] x 为实数，[x]表示不超过 x 的最大整 数，则函数 f(x)=x-[x]在 R 上为( ) A.奇函数 B.偶函数 C.增函数 D.周期函数

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函数、基本初等函数Ⅰ的图像与性质

[答案] (1)A

(2)D

命 题 考 向 探 究

[解析] (1)设 g(x)=xf(x), 依题意得 g(x)是偶函数， 当 x∈(-∞,0)时 f(x)+xf′(x)<0,即 g′(x)<0 恒成立，故 g(x) 在 x∈(-∞,0)上单调递减，则 g(x)在(0,+∞)上单调 递增，a=3f(3)=g(3),b=f(1)=g(1),c=-2f(-2)= g(-2)=g(2),故 a>c>b.

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第4讲

函数、基本初等函数Ⅰ的图像与性质

(2)作出函数 f(x)=x-[x]的大致图像如图 2-4-2. 观察图像，易知函数 f(x)=x-[x]是周期

函数.命 题 考 向 探 究

图 2-4-2

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函数、基本初等函数Ⅰ的图像与性质

方法指导 称性的关系

6.函数的周期性、奇偶性和函数图像对

函数的奇偶性、函数图像的对称性、函数的周期性命 题 考 向 探 究

有密切的关系.如偶函数 y = f(x) 的图像关于直线 x = a(a≠0)对称时，根据函数图像的对称性可得函数解析式 满足 f(a+x)=f(a-x),以 x+a 代 x,得 f(2a+x)=f(-x) =f(x),这样就得到函数 y=f(x)的一个周期是 2a;奇函 数 y=f(x)的图像关于点(a,0)(a≠0)对称时，可得 f(a+ x)=-f(a-x), 以 x+a 代 x, 得 f(2a+x)=-f(-x)=f(x), 也推出 2a 是函数 y=f(x)的一个周期.返回目录

第4讲

函数、基本初等函数Ⅰ的图像与性质

小结：单调性、奇偶性和周期性是函数最重要、最 基本的性质.注意单调性是函数在定义域内局部区间上 的性质(即函数可以在定义域的一部分上单调),而奇偶性命 题 考 向 探 究

和周期性是函数在定义域上的整体性质(即对定义域内任 意自变量都成立的性质).

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