中南大学概率论总复习《历年期末考试试题》裘亚峥

发布时间：2024-11-17

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三、有关二维连续型随机变量及二维离散型随机变量计算方面的题型考题1 2009级

四、 ( 本题12分)袋中有10个大小相同的小球，其中 6个红球，个白球。现随机地不放回地抽取两次，每 4 次抽取1个，定义两个随机变量X , Y 如下： 1, 第1次抽取红球 1, 第2次抽取红球 X ,Y 0, 第1次抽取白球 0, 第2次抽取白球求( X , Y )的联合分布律，边缘分布律，并判断X , Y 是否独立？

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解：联合分布律为

4 3 2 P { X 0, Y 0} P { X 0} P { Y 0 | X 0} 10 9 15 4 6 4 P { X 0, Y 1} P { X 0} P { Y 1 | X 0} 10 9 15 6 4 4 P { X 1, Y 0} P { X 1} P { Y 0 | X 1} 10 9 15 6 5 5 P { X 1, Y 1} P { X 1} P { Y 1 | X 1} 10 9 15 2 3 2 边缘分布律为：P { X 0} ,P { X 1} ,P { Y 0} , 5 5 5 3 P { Y 1} ,X , Y不独立。 5

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考题2 2010级

八、(本题14分)设二维随机变量( X , Y )在区域0 x 1, y 2 x内服从均匀分布，求： (1) ( X , Y )联合概率密度； (2)X 与Y 的边缘概率密度，并问X 与Y 是否相互独立？ 1 1 (3)P { X , Y }。 2 2 1 4 2 解 (1) 区域0 x 1, y x的面积A 2 xdx . 0 3 3 2 , 0 x 1, y x , f ( x, y) 4 其他。 0,

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(2)f X ( x )

3 x 3 x , 0 x 1, x dy f ( x , y )dy 4 2 0, 其他.

fY ( y )

3 1 3 2 y 2 dx (1 y ), 1 y 1, f ( x , y )dx 4 4 0, 其他.

Q f X ( x ) fY ( y ) f ( x, y ). X 与Y 不相互独立。

1 1 (3)P { X , Y }= 2 2

1 2

1 2 y2

3 5 2 dx . 4 32 8

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考题2 2009级

五、(本题15分)设随机变量( X , Y )的联合概率密度 2 xy , 0 x 1, 0 y 2 x 函数为 f ( x , y ) 3 其它 0, 1 (1)计算P { X }; (2)计算P {Y X }; 2 1 1 (3)计算P {Y | X };(4)X 与Y 是否相互独立？ 2 2

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1 1 解 (1) P { X }=P { X 1, 0 Y 2} 2 2 1 2 1 xy 2 5 2 2 = 1 ( x )dydx 1 ( 2 x x )dx 0 3 3 6 2 2 3 1 x 1 xy x 7 2 3 ( 2) P {Y X }== ( x )dydx ( x )dx 0 0 0 3 1 6 24 1 P {Y , X } 1 1 2 2 ( 3) P {Y | X } 1 2 2 P{ X } 1 1 2 xy 2 2 ( x2 ( 4)不是相互独立的， )dydx 0 0 5 3 Q f ( x , y ) f X ( x ) fY ( y ) 1 32 6

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考题3 2010级

五、(本题11分)设随机变量X , Y 相互独立，其概率密度分别为 e y , y 0 1, 0 x 1 f X ( x) , fY ( y ) , 其他 y 0 0, 0, 求随机变量Z X Y 的概率密度函数。解 f Z ( z) u z x

f X ( x ) fY (

z x )dx

0 fY ( z x )dx

z 1 fY ( u)du

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0, z 0 z u f Z ( z ) e du, 0 z 1 0 z e udu, 1 z z 10, z 0 f Z ( z) 1 e z , 0 z 1 e1 z e z , 1 z

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考题3 2009级

六、(本题15分)设随机变量( X , Y )的联合概率密度 x y, 0 x 1, 0 y 1 函数为 f ( x , y ) 其它 0, 试求(1) max{ X , Y }的分布函数与概率密度函数; (2) min{ X , Y }的分布函数与概率密度函数.解(1)设Z max{ X , Y } 当z 0时，FZ ( z ) P { Z z } P {max{ X , Y } z } P { X z, Y z} 0

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当z 1时，FZ ( z ) P {max{ X , Y } z} P { X 1, Y 1} 1

当0 z 1时，FZ ( z ) P { Z z } P {max{ X , Y } z }

因此，

P { X z, Y z}

( x y )dxdy z 3

0, z 0 2 3 z 0 z 1 3 FZ ( z ) z , 0 z 1 , f Z ( z ) 0, 其他 1, z 1 (2)设Z min{ X , Y },的分布函数与概率密度函数;当z 0时，FZ ( z ) P { Z z } P {min{ X , Y } z } 1 P {min{ X , Y } z } 1 P { X z , Y z } 0

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当z 1时，FZ ( z ) P { Z z } P {min{ X , Y } z} 1 P {min{ X , Y } z} 1 P { X z, Y z} 1当0 z 1时，FZ ( z ) P { Z z } P {min{ X , Y } z } 1 P {min{ X , Y } z} 1 P { X z, Y z }1 1

1 ( x y )dxdy 1 (1 z z 2 z 3 ) z z 2 z 3 z z 因此，

0, z 0 2 1 2 z 3 z FZ ( z ) z z 2 z 3 , 0 z 1 , f Z ( z ) 0, 1, z 1

0 z 1 其他

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考题4 2009级作业题七、(本题10分)在长为l的线段上任意选取两点，求两点间距离的数学期望及标准差。

解把线段放在数轴上，使其与区间[0, l ]重合。设随机变量X 及Y 分别表示在该线段上任意选取的两点的坐标，则X 与Y 相互独立，并且在区间 [0, l ]上服从均匀分布。设随机变量Z 表示这两点间的距离，则有Z X Y .

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1 1 , 0 x l , 0 y l f X ( x) l , fY ( y ) l 其他其他 0, 0,

因为X 与Y 相互独立，所以 1 2 , 0 x l, 0 y l f ( x, y) l 其他 0,FZ ( z ) P { Z z } P { X Y z },

当z 0时, FZ ( z ) 0,当z l时, FZ ( z ) 1;

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1 1 当0 z l时, FZ ( z ) 2 dxdy 2 ( 2lz z 2 ), 因此 l l D 0, z 0 2 1 2 ( l z ), 0 z l 2 FZ ( z ) 2 ( 2lz z ), 0 z l , f Z ( z ) l l 0, 其他 1, z 1 2 l l 2 l 2 l 于是,E ( z ) z 2 ( l z )dz , E ( z 2 ) z 2 2 ( l

z )dz 0 l 0 3 6 l 2 2 2 l l l l l 2 2 2 D( z ) E ( z ) [ E ( z )] ( ) , 标准差为 6 3 18 18 3 2

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考题5 2009级

八、(本题6分)设随机变量X , Y , Z 相互独立且服从相同的二项分布B(1, p).试证明：随机变量X Y 和 Z 相互独立。 X 证 p0 1 p 1 p Y 0 1 p p 1 p

1 p

T X Y p

0 (1 p) 2

1 2 p(1 p)

2 p2

p 1 p

可证明，P { X Y i , Z j } P { X Y i } P { Z j }, i 0, 1, 2, j 0, 1, 即随机变量X Y 和Z 相互独立。

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