中南大学概率论总复习 《历年期末考试试题》裘亚峥

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三、有关二维连续型随机变量及二维离散型随机 变量计算方面的题型考题1 2009级

四、 ( 本题12分)袋中有10个大小相同的小球，其中 6个红球，个白球。现随机地不放回地抽取两次，每 4 次抽取1个，定义两个随机变量X , Y 如下： 1, 第1次抽取红球 1, 第2次抽取红球 X ,Y 0, 第1次抽取白球 0, 第2次抽取白球 求( X , Y )的联合分布律，边缘分布律，并判断X , Y 是否独立？

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解：联合分布律为

4 3 2 P { X 0, Y 0} P { X 0} P { Y 0 | X 0} 10 9 15 4 6 4 P { X 0, Y 1} P { X 0} P { Y 1 | X 0} 10 9 15 6 4 4 P { X 1, Y 0} P { X 1} P { Y 0 | X 1} 10 9 15 6 5 5 P { X 1, Y 1} P { X 1} P { Y 1 | X 1} 10 9 15 2 3 2 边缘分布律为：P { X 0} ,P { X 1} ,P { Y 0} , 5 5 5 3 P { Y 1} ,X , Y不独立。 5

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考题2 2010级

八、(本题14分)设二维随机变量( X , Y )在区域0 x 1, y 2 x内服从均匀分布，求： (1) ( X , Y )联合概率密度； (2)X 与Y 的边缘概率密度，并问X 与Y 是否相互独立？ 1 1 (3)P { X , Y }。 2 2 1 4 2 解 (1) 区域0 x 1, y x的面积A 2 xdx . 0 3 3 2 , 0 x 1, y x , f ( x, y) 4 其他。 0,

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(2)f X ( x )

3 x 3 x , 0 x 1, x dy f ( x , y )dy 4 2 0, 其他.

fY ( y )

3 1 3 2 y 2 dx (1 y ), 1 y 1, f ( x , y )dx 4 4 0, 其他.

Q f X ( x ) fY ( y ) f ( x, y ). X 与Y 不相互独立。

1 1 (3)P { X , Y }= 2 2

1 2

1 2

dy

1 2 y2

3 5 2 dx . 4 32 8

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考题2 2009级

五、(本题15分)设随机变量( X , Y )的联合概率密度 2 xy , 0 x 1, 0 y 2 x 函数为 f ( x , y ) 3 其它 0, 1 (1)计算P { X }; (2)计算P {Y X }; 2 1 1 (3)计算P {Y | X };(4)X 与Y 是否相互独立？ 2 2

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1 1 解 (1) P { X }=P { X 1, 0 Y 2} 2 2 1 2 1 xy 2 5 2 2 = 1 ( x )dydx 1 ( 2 x x )dx 0 3 3 6 2 2 3 1 x 1 xy x 7 2 3 ( 2) P {Y X }== ( x )dydx ( x )dx 0 0 0 3 1 6 24 1 P {Y , X } 1 1 2 2 ( 3) P {Y | X } 1 2 2 P{ X } 1 1 2 xy 2 2 ( x2 ( 4)不是相互独立的， )dydx 0 0 5 3 Q f ( x , y ) f X ( x ) fY ( y ) 1 32 6

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考题3 2010级

五、(本题11分)设随机变量X , Y 相互独立，其概率 密度分别为 e y , y 0 1, 0 x 1 f X ( x) , fY ( y ) , 其他 y 0 0, 0, 求随机变量Z X Y 的概率密度函数。解 f Z ( z) u z x

f X ( x ) fY (

z x )dx

0 fY ( z x )dx

1

z 1 fY ( u)du

z

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0, z 0 z u f Z ( z ) e du, 0 z 1 0 z e udu, 1 z z 10, z 0 f Z ( z) 1 e z , 0 z 1 e1 z e z , 1 z

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考题3 2009级

六、(本题15分)设随机变量( X , Y )的联合概率密度 x y, 0 x 1, 0 y 1 函数为 f ( x , y ) 其它 0, 试求(1) max{ X , Y }的分布函数与概率密度函数; (2) min{ X , Y }的分布函数与概率密度函数.解(1)设Z max{ X , Y } 当z 0时，FZ ( z ) P { Z z } P {max{ X , Y } z } P { X z, Y z} 0

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当z 1时，FZ ( z ) P {max{ X , Y } z} P { X 1, Y 1} 1

当0 z 1时，FZ ( z ) P { Z z } P {max{ X , Y } z }

因此，

P { X z, Y z}

z

0

0

z

( x y )dxdy z 3

0, z 0 2 3 z 0 z 1 3 FZ ( z ) z , 0 z 1 , f Z ( z ) 0, 其他 1, z 1 (2)设Z min{ X , Y },的分布函数与概率密度函数;当z 0时，FZ ( z ) P { Z z } P {min{ X , Y } z } 1 P {min{ X , Y } z } 1 P { X z , Y z } 0

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当z 1时，FZ ( z ) P { Z z } P {min{ X , Y } z} 1 P {min{ X , Y } z} 1 P { X z, Y z} 1当0 z 1时，FZ ( z ) P { Z z } P {min{ X , Y } z } 1 P {min{ X , Y } z} 1 P { X z, Y z }1 1

1 ( x y )dxdy 1 (1 z z 2 z 3 ) z z 2 z 3 z z …… 此处隐藏：2476字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……