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3．2 简单的三角恒等变换

1．正确应用和差角公式、倍角公式进行化简、求值和证明．

2．理解并掌握二倍角公式的变形式及其应用．

基础梳理

一、利用二倍角公式推导半角公式

(1)因为α是α2

的二倍角，所以在二倍角公式cos 2α＝1－2sin 2α中，以α代替2α，以α2代替α，即cos α＝1－2sin 2α2，所以sin 2α2＝1－cos α2

． (2)在二倍角公式cos 2α＝2cos 2α－1中，以α代替2α，以

α2代替α，即cos α＝2cos 2α2－1，所以cos 2α2＝1＋cos α2

． (3)由(1)(2)中所得两式相除得tan

2α2＝1－cos α1＋cos α.

综上，sin α2＝±_cos α2

＝±_tan α2＝±_ 上面的三个式子称为半角公式．同样有tan

α2＝1－cos αsin α＝sin α1＋cos α．

思考应用

1．下列各式中恒成立的是(B)

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A ．tan α2＝1－cos αsin α

B ．cos 2α2＝1＋cos α2

C ．tan α2＝± 1－cos α1＋cos α

D ．tan 2α＝2tan α1－tan 2α

解析：A.tan α2＝1－cos αsin α

不恒成立．恒成立的条件是sin α≠0， C ．tan α2＝±1－cos α1＋cos α不恒成立．恒成立的条件是cos α≠－1， D ．tan 2α＝2tan α1－tan 2α

不恒成立． 恒成立的条件是tan α≠±1，

B 恒成立，故选B.

二、和差化积与积化和差公式的推导

由sin ()α＋β

＝sin αcos β＋cos αsin β， sin ()α－β＝sin αcos β－cos αsin β得 sin αcos β＝12[]sin ()α＋β＋sin ()α－β，① cos αsin β＝12[]sin ()α＋β－sin ()α－β．② 由cos ()α＋β

＝cos αcos β－sin αsin β， cos ()α－β＝cos αcos β＋sin αsin β得 cos αcos β＝12[]cos ()α＋β＋cos ()α－β，③ sin αsin β＝－12[]cos ()α＋β－cos ()α－β

．④ 上面的公式①②③④统称为积化和差公式．

上面四个式子中，设α＋β＝θ，α－β＝φ，则有α＝θ＋φ2，β＝θ－φ2，把α，β代入上面的式子得到：

sin θ＋sin φ＝2sin θ＋φ2cos θ－φ2，⑤ sin θ－sin φ＝2cos θ＋φ2sin θ－φ2，⑥ cos θ＋cos φ＝2cos θ＋φ2cos θ－φ2，⑦ cos θ－cos φ＝－2sin θ＋φ2sin θ－φ2

．⑧ 上面的公式⑤⑥⑦⑧统称为和差化积公式．

思考应用

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2．形如y ＝a sin x ＋b cos x 的函数如何进行变换？ 解析：y ＝a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2⎝

⎛⎭⎪⎫a a 2＋b 2sin x ＋b a 2＋b 2cos x ， ∵－1≤a a 2＋b 2

≤1，－1≤b a 2＋b 2≤1， 且⎝ ⎛⎭⎪⎫a a 2＋b 22＋⎝ ⎛⎭

⎪⎫b a 2＋b 22＝1， ∴不妨设cos θ＝a

a 2＋

b 2，sin θ＝b a 2＋b 2，

则有y ＝a sin x ＋b cos x

＝a 2＋b 2()cos θsin x ＋sin θcos x

＝a 2＋b 2

sin(θ＋x )． 自测自评

1．已知sin α＝55，则sin 4α－cos 4α的值为(B) A ．－15 B ．－35 C.15 D.35

解析：原式＝sin 2α－cos 2α＝2sin 2α－1＝－35

.故选B.

2．函数f (x )＝2cos 2x ＋sin 2x 的最小值是 解析：f (x )＝cos 2x ＋sin 2x ＋1

＝2sin ⎝

⎛⎭⎫2x ＋π4＋1， ∴所求最小值为1－ 2.

3．若cos 2αsin ⎝

⎛⎭⎫α－π4＝－22，则cos α＋sin α的值为(C) A ．－72 B ．－12 C.12 D.72

解析：原式＝cos 2α－sin 2α

22()sin α－cos α＝－2(cos α＋sin α)＝－22

，∴cos α＋sin α＝12

.故选C. 4．若α∈(π，2π)，则 1－cos （π＋α）2等于(D)

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A ．sin α2

B ．cos α2

C ．－sin α2

D ．－cos α2

解析：∵α∈(π，2π)，∴

α2∈⎝⎛⎭⎫π2，π，∴1－cos （π＋α）2＝1＋cos α2

＝cos 2 α2＝－cos α2.故选D.

基础提升

1．已知180°＜α＜360°，则cos

α2＝(C) A. 1＋cos α2

B. 1－cos α2 C ．－ 1＋cos α2 D ．－ 1－cos α2

解析：∵90°＜α2＜180°，∴cos α2

＝－ 1＋cos α2. 2．将函数y ＝sin 2x 的图象向左平移

π4

个单位， 再向上平移1个单位，所得图象的函数解析式是(A) A ．y ＝2cos 2x B ．y ＝2sin 2

x

C ．y ＝1＋sin ⎝

⎛⎭⎫2x ＋π4 D ．y ＝cos 2x 解析：将函数y ＝sin 2x 的图象向左平移π4个单位，得到函数y ＝sin 2⎝⎛⎭⎫x ＋π4，即y ＝sin ⎝

⎛⎭⎫2x ＋π2＝cos 2x 的图象，再向上平移1个单位，所得图象的函数解析式为y ＝1＋cos 2x ＝2cos 2x ，故选A. 3．函数y ＝si n ⎝⎛⎭⎫x ＋π3sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π2的最小正周期T ＝____________．

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解析：y ＝⎝ ⎛⎭

⎪⎫12sin x ＋32cos x cos x ＝12sin x cos x ＋32cos 2 x ＝14sin 2x ＋34cos 2x ＋34＝12sin ⎝

⎛⎭⎫2x ＋π3＋34.∴T ＝π. 答案：π

4．如果tan(α＋β)＝25，tan ⎝

⎛⎭⎫β－π4＝14，那么1＋tan α1－tan α的值为(B) A.1316 B.322

C.1322

D.316

5．若sin ⎝⎛⎭⎫π6－α＝13，则cos ⎝⎛⎭

⎫2π3＋2α＝(A) A ．－79 B ．－13

C.13

D.79

解析：cos ⎝⎛

⎭⎫2π3＋2α＝－cos ⎣⎡⎦⎤π－⎝⎛⎭⎫2π3＋2α ＝－cos ⎝⎛⎭⎫π3－2α＝－cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫π6

－α ＝－⎣⎡⎦

⎤1－2sin 2⎝⎛⎭⎫π6－α ＝－1＋2³19＝－79

.故选A. 巩固提高

6．函数y ＝－3sin x ＋cos x 在⎣⎡⎦

⎤－π6，π6上的值域是______________________________________________________________________________________．

答案：[0，3]

7.函数f (x )＝sin x －3cos x (x ∈[－π，0])的单调递增区间是(D)

A.⎣

⎡⎦⎤－π，－5π6 B.⎣⎡⎦⎤－5π6，－π6 C.⎣⎡⎦⎤－π3，0 D.⎣⎡⎦

⎤－π6，0 解析：f (x )＝2sin(x －π3

)． x ∈[－π，0]，∴x －π3∈⎣⎡⎦⎤－43π，－π3，

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由x －π3∈⎣⎡⎦⎤－π2，－π3得，x ∈⎣⎡⎦

⎤－π6，0， ∴f (x )的单调增区间是⎣⎡⎦

⎤－π6，0，故选D. 8．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ，且有2sin B cos A ＝sin A cos C ＋cos A sin C .

(1)求角A 的大小；

(2)若b ＝2，c ＝1，D 为BC 的中点，求AD 的长．

解析：(1)A ＋C ＝π－B ，A ，B ∈(0，π)⇒sin(A ＋C )＝sin B ＞0

2sin B cos A ＝sin A cos C ＋cos A sin C ＝sin(A ＋C )＝

sin B ⇔cos A ＝12⇔A ＝π3

. (2)设BC →＝a ，AC →＝b ，AB →＝c ，则|a |2＝a²a ＝(b －c )²(b －c )＝b ²b ＋c ²c －2b ²c ＝b 2＋c 2－2bc cos A ⇒a ＝3⇒b 2＝a 2＋c 2⇒B ＝π2

.

在Rt △ABD 中， AD ＝AB 2＋BD 2＝12

＋⎝ ⎛⎭⎪⎫322＝72. 9．已知函数f (x )＝2sin x 4cos x 4－23sin 2x

4

＋3： (1)将函数f (x )化为A sin(ωx ＋φ)＋b 的形式；

(2)求f (x )的最小正周期及最值． 解析：(1)f (x )＝sin x 2＋3⎝⎛⎭⎫1－2sin 2x 4＝s in x 2＋3cos x 2＝2sin ⎝⎛⎭

⎫x 2＋π3. (2)由(1)知f (x )的最小正周期为T ＝4π.

当sin ⎝⎛⎭

⎫x 2＋π3＝－1时，f (x )min ＝－2； 当sin ⎝⎛⎭

⎫x 2＋π3＝1时，f (x )max ＝2.

1．简单的三角恒等变换是高考必考内容．从近几年高考考查的方向看，主要考查求三角函数的值，其次是通过三角函数式的变换研究三角函数的性质．以小题为主，一般以选择题、

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填空题形式出现．

2．能利用两角差的余弦公式导出两角和与差的正弦公式和正切公式，进而导出倍角公式等，并了解它们的内在联系．也就是既要掌握公式的来历，又要熟悉各公式之间的相互转化，从而做到灵活运用公式解决相关问题．