1.用薄钢板制造一体积5m3，长度不小于4m，无上盖的货箱，要求钢板耗量最小。确定货箱的长x1、宽x2和高x3。试列出问题的数学模型。

解：min z x1x2 2x1x3 2x2x3 s.t x1x2x3 5 x1 4 x1,x2,x3 0

2.将下面的线性规划问题表示为标准型并用单纯形法求解

max f=x1+2x2+x3

s．t．2x1+x2-x3≤2 -2x1+x2-5x3≥-6 4x1+x2+x3≤6 xi≥0 i=1，2，3 解：先化标准形：

Min z x1 x2 x3

2x1 x2 x3 x4 2 2x1 x2 5x3 x5 6

4x1 x2 x3 x6 6

列成表格：

224 1

1 11 2

151 1

1000

0100

0010

2660

可见此表已具备1°，2°，3°三个特点，可采用单纯形法。首先从底行中选元素-1，由2/2,6/2,6/4最小者决定选第一行第一列的元素2，标以记号，迭代一次得

100 1

12

2 1 2

1263 1

12 1 20

0100

0010

1420

再从底行中选元素-2/3，和第二列正元素1/2，迭代一次得

100

12 23 2

12632

12 112

010

000

141

再从底行中选元素-3，和第二列正元素2，迭代一次得

2423

1000

142 3

11 12

0100

0010

2844

再迭代一次得

3016

1000

0010

1233

0100

12 2132

40210

12

选取最优解：

x1 0 x2 4 x3 2

3. 试用DFP变尺度法求解下列无约束优化问题。

min f（X）=4（x1-5）2+（x2-6）2

取初始点X=（8，9）T，梯度精度ε=0.01。 解：取H

I

,初始点

2

X 8,9

2

T

f(x) 4(x1 5) (x2 6) 8x1

f(x)

2x2

40

12

(0)

(0)

f(x

T

24)

6

dx

(0)

f(x x

(0)

) ( 24, 6)

(0)

(1)

0d

T

(8 24 0,9 6 0)

(0)

2

2

minf(x

df(x

(0)

0d

(0)

(0)

) min[4 (8 24 0 5) (9 6 0 6)]

0dd

)

8(8 5 24 0) ( 24) 2(3 6 0) ( 6) 0

0

17130

0.13077

4.86153

8.21538

x

(1)

8 24 0.13077 9 6

(1)

f(x

1.10784)

4.43077

进行第二次迭代：

1 x

(1)

x

(0)

3.13848 0.78463

1 f(x

(1)

) f(x

(0)

25.10783 )

1.56924

T

H1 H0

1 1

T

T

1

H0 1 1H

1H0

T

1

1 1 80.03172

T

T

39.40022

2.46249

1H0 1 1 632.86614

9.85005 2.46249

1 1

T

2.46249

0.61561

H0 1 1H

T

630.40363T

1 1

39.40022

所以：

0.12695H1

0.03149

(1)

(1)

0.03149

1.0038

0.03149 1.10784

1.0038 4.43076

d H1 f(x

0.12695)

0.03149 0.28018

4.48248

(1)

令 x

df(x

(1)

(2)

x 1d

(1)

d

(1)

)

利用

x

(2)

d

0

，求得 1 0.49423，所以

(1)

x

(1)

0.49423d

4.86152

8.21538 0.13848

2.21538

因

f(x

(2)

5 6

) 0

，于是停，x即为最优解。

(2)

4. 某厂生产甲乙两种口味的饮料，条件如下：

因条件所限，甲饮料产量不能超过8百箱。

问如何安排生产计划，即两种饮料各生产多少使获利最大。 （要求：1.建立数学模型，并求解。2.用mat lab编写程序） 解：模型假设：

设生产甲饮料错误！未找到引用源。百箱,生产乙饮料x百箱,

2

获利最大为z. 符号说明：

错误！未找到引用源。错误！未找到引用源。为生产甲饮料的百箱数

x2

错误！未找到引用源。为生产乙饮料的百箱数

z为生产甲饮料x百箱和生产乙饮料y百箱数获利最大值.

建立模型：

目标函数：max

z 10x1 9x2错误！未找到引用源。

原料供应：错误！未找到引用源。 工人加工：错误！未找到引用源。 产量限制：错误！未找到引用源。

非负约束：错误！未找到引用源。x1,x2 0

得出模型为：错误！未找到引用源。max

6x1 5x2 60

10x1 20x2 150s,t

x1 8 x1,x2 0

z 10x1 9x2

先化标准形：

min Z 10x1 9x2

6x1 5x2 x3 60

10x1 20x2 x4 150

x1 x5 8

列成表格

6101 10

5200 9

1000

0100

0010

6015080

可见此表已具备1°，2°，3°三个特点，可采用单纯形法。首先从底行中选元素-9，由最小者150/20决定选第二行第二列的元素20，标以记号，迭代一次得

711 10

020 9

2000

12

200

0010

451580

71112

020

200

122

000

45151352

920

再从底行中选元素-11/2，和第1列正元素7，迭代一次得

选取最优解：

编写M文件，代码如下：1027 114045701 129728030700 21111 1191352

20

2

1027 114045701 129728030700 211110

1187207

35

7

x451

7

x2

307

>> f=[-10,-9]'; a=[6,5;10,20;1,0;-1,0;0,-1];

b=[60,150,8,0,0]'; x=linprog(f,a,b)

运行结果： Optimization terminated.

x = 6.4286 4.2857 >> ans=f'*x

ans = -102.8571

结果分析：

甲饮料生产642箱，乙饮料生产428箱时，获利最大为102.8万元。

5. 某家具厂要安排一周的生产计划，产品是桌子和椅子。制作一张桌子需4m2木板及时性20小时的工时，制作一只椅子需6m2木板及18小时的工时，每周能拥有的木板是600m2，可利用的工时是400小时；每张桌子的利润是50元，每只椅子的利润是60元。按合同每周至少要交付8张桌子和5只椅子，并假定所有的产品都能够销售出去。 问：该厂每周生产桌子和椅子的数量分别是多少时，能获得最大利润？

（要求：1.建立数学模型，并求解。2.用mat lab编写程序） 解：设x1为每周生产桌子数，x2为每周生产椅子数，则:

Smax=50 x1+60 x2

约束条件：4 x1 +6 x2≤600（材料）

20 x1+18 x2≤400（工时）

x1≥8，x2≥5

先化标准形:

min z 50x1 60x2

4x1 6x2 x3 600

20x1 18x2 x4 400

x1 x5 8

x2 x6 5

列成表格：

420 10 50

6180 1 60

10000

01000

00100

00010

600400 8 50

可见此表已具备1°，2°，3°三个特点，可采用单纯形法。首先从底行中选元素-50，由最小者400/20决定选第二行第一列的元素20，标以记号，迭代一次得：

010000

12918 1 15

50000

1

12102.5

000200

00010

2600200240 51000

再从底行中选元素-15，和第2列元素18，迭代一次得：

得：

选取最优解：

编写M文件，代码如下：0015 5 400732020000 200160018012002400

20503

3

1200

001 1

3 8

304881000 10801011004018930001101250

20503

3

1200

X1 8

X

2

403

X3 488

X

4

253

>> f=[-50,-60]'; a=[4,6;20,18;-1,0;0,-1]; b=[600,400,-8,-5]';

x=linprog(f,a,b)

运行结果：

Optimization terminated.

x = 8.0000 13.3333 >> ans=f'*x

ans = -1.2000e+003

结果分析：

当生产8张桌子,13张椅子时,可获最大利润为1200元.