相似三角形

基础知识点

一、比例的基本性质： 1.若

ab cd

，那么ad bc，即：比例的内向之积等于外向之积；

ab cd

反之也成立：即若ad bc，那么；

思考：由ad

2．合比性质：若3．等比性质：若

bc还可以推出那么些比例等式呢？ abab cdcd

，那么

ab c

a bbmn

c dd

a c mb d n

ab

b d

b

n 0 ，则ca b

.

例题：若a、b、c满足

a c

k，则k .(利用等比性质求) ．．．．．．．．．

二、线段的比、成比例线段、黄金分割

1.线段的比： ；

这里应该注意的问题是：⑴ ；

⑵ . 2.比例线段： . 3.黄金分割： .

三、相似三角形：

1．概念：三边对应成_________，三个角对应________的两个三角形叫做相似三角形． 2．相似三角形的性质

⑴相似三角形的对应边_________，对应角________． ⑵相似三角形的对应边的比叫做________，一般用k表示．

⑶相似三角形的对应角平分线，对应边的________线，对应边上的_______ 线的比等于_______比，

周长之比也等于________比，面积比等于_________． 3．相似三角形的判定方法

⑴基本定理： . 如图：若DE∥BC（A型和X型）则_______________________________________．

⑵两个角对应 的两个三角形__________．

⑶两边对应成_________且 相等的两个三角形相似． ⑷三边对应成比例的两个三角形___________．

⑸两个直角三角形的判定： . ※※思考：若CD为Rt△ABC斜边上的高（双直角图形） 则 ∽ AC2=____________，

∽ CD2=_____________， ∽ BC2=__ __________． 4.证明三角形相似的的方法与技巧

⑴条件中若有平行线，则有两种思路：①直接利用基本定理；②利用平行线找相等的角. ⑵条件中若有一对等角，也有两种思路：①找另外一对等角；②找此角所在边对应成比例. ⑶条件中若有两边对应成比例，则找其夹角相等．

⑷条件中若有一对直角，也有两种思路：①找另外一对等角；②找出直角边、斜边对应成比例. ⑸条件中若有等腰关系，有三种思路：①找顶角相等；②找一对底角相等；③找底和腰对应成比例； 四、相似多边形：

1.定义： . 2.相似多边形的性质：

⑴ ； ⑵ . 五、位似图形：

1.定义： . 2.位似图形的性质：

⑴ ； ⑵ . 3.位似图形的作用： .

解题指导

【例1】已知

A.

43

ab 34

，

b ab

【 】

B.

14

C.

14

D.

13

及时练习：

1.如图，乐器上的一根弦AB 80cm，两个端点A、B固定在乐器板面上，支撑点C是靠近点B 黄金分割点，支撑点D是靠近点A的黄金分割点，则AC cm，DC cm．

Ａ D

C B

姓名 班级 组别 组内评价 教师评价 修改评价

【例2】下列四个三角形中，与左图中的三角形相似的是 【 】

A． B． C． D．

【例3】（2010 衡阳）如图6，在ABCD中，AB=6，AD=9，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延

长线于点F，BG⊥AE，垂足为G，BG=42，则ΔCEF的周长为 【 】 A.8 B.9.5 C.10 D.11.5

例题4

【例4】如图，在正三角形ABC中，D，E，F分别是BC，AC，AB上的点，DE⊥AC，EF⊥AB，FD⊥BC，

则△DEF的面积与△ABC的面积之比等于 ．

【例5】花丛中有一路灯杆AB.在灯光下，小明在D点处的影长DE=3米，沿BD方向行走到达

G点，DG=5米，这时小明的影长GH＝5米.如果小明的身高为1.7米，求路灯杆AB的高(精确到0.1米)．



【例6】如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD=3，BC=7，∠B=60°，P为下底BC上一点（不与B、C 重合），过P点作PE交DC于E，使得∠APE=∠B． （1）求等腰梯形的腰长； （2）证明：△ABP∽△PCE；

（3）在底边BC上是否存在一点P，使得DE：EC=5：3？如果存在，求出BP的长；如果不存在，请说

明理由．

【例7】如图，在一个由4×4个小正方形组成的正方形网格中，阴影部分面积与正方形ABCD的面

积比是 （ ）

A.3：4 B.5：8 C.9：16 D.1：2

【例8】如图，△ABC与△A B C 是位似图形， 且位似比是1:2，若AB=2cm，则A B cm， 并在图中画出位似中心O．

AC

B

C

例题7

B

B

C ′

′ A

例题8

【例9】如图(十四)，不等长的两对角线AC、BD相交于O点， 且将四边形ABCD分成甲、乙、丙、丁四个三角形。 若OA：OC =OB：OD =1：2，则此四个三角形的关系，

下列叙述何者正确？ 【 】

(A) 甲丙相似，乙丁相似

(B) 甲丙相似，乙丁不相似 (C) 甲丙不相似，乙丁相似

(D) 甲丙不相似，乙丁不相似。

甲丁

乙D

丙

C

【例10】如图，在平面直角坐标系中，直线y

y

12

2

13

x 2交x轴于点P，交y轴于点A，抛物线

x bx c的图象过点E( 1,0)，并与直线相交于A、B两点.

⑴ 求抛物线的解析式（关系式）；

⑵ 过点A作AC AB交x轴于点C，求点C的坐标；

⑶ 除点C外，在坐标轴上是否存在点M，使得 MAB是直角三角形？若存在，请求出点M的坐

标，若不存在，请说明理由.