立体几何

一、试题

07 ·3．下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是（ ）

①正方体 ②圆锥 ③三棱台

A．①② B．①③ C．①④ D．②④ 08·6．右图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是（ ） A．9π C．11π

B．10π D．12π

④正四棱锥

俯视图 正(主)视图 侧(左)视图

09·4. 一空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( ).

A.2 2

B. 4

C. 2

10·4在空间，下列命题正确的是 （A）平行直线的平行投影重合

（B）平行于同一直线的两个平面平行 （C）垂直于同一平面的两个平面平行 （D）垂直于同一平面的两条直线平行

D. 正(主)视图

侧(左)视图

俯视图

1

11·11.下图是长和宽分别相等的两个矩形．给定下列三个命题：①存在三棱柱，其正(主)视图、俯视图如下图；②存在四棱柱，其正(主)视图、俯视图如下图；③存在圆柱，其正(主)视图、俯视图如下图．其中真命题的个数是 (A)3 (B)2 (C)1 (D)0

正(主)视图

俯视图

07·20．（本小题满分12分）

如图，在直四棱柱ABCD A1B1C1D1中，

已知DC DD1 2AD 2AB，AD⊥DC，AB//DC． （1）求证：D1C⊥AC1；

（2）设E是DC上一点，试确定E的位置，使D1E//平面

A1BD，并说明理由．

08·19．（本小题满分12分）

如图，在四棱锥P ABCD中，平面PAD 平面ABCD，AB∥DC，△PAD是等边三角形，已知BD 2AD 8，AB 2DC

（Ⅰ）设M是PC上的一点，证明：平面MBD 平面PAD； （Ⅱ）求四棱锥P ABCD的体积．

09·18.（本小题满分12分）

B

如图，在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD为等腰梯形，AB//CD，AB=4,

1 BC=CD=2, AA1=2, E、E1分别是棱AD、AA1的中点.

AB1

E

2

（1） 设F是棱AB的中点,证明：直线EE1//平面FCC1；

E1

B

A F

（2） 证明:平面D1AC⊥平面BB1C1C.

10·20（本小题满分12分） 在如图所示的几何体中，四边形ABCD是正方形，

MA 平面ABCD，PD//MA，E、G、F分别

为MB、PB、PC的中点，且AD PD 2MA.

（I）求证：平面EFG 平面PDC； （II）求三棱锥P MAB与四棱锥P ABCD的体积 之比.

11·19.（本小题满分12分）

如图，在四棱台ABCD A1B1C1D1中，D1D 平面ABCD，底面ABCD是平行四边形，

AB=2AD，AD=A1B1， BAD=60°

（Ⅰ）证明：AA1 BD；

A1D

1 B1

（Ⅱ）证明：CC1∥平面A1BD.

A

二、详细解析

07 ·3．下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是（ ）

B．①②

①正方体

B．①③

②圆锥

C．①④

③三棱台 D．②④

C

B

④正四棱锥

【答案】D【解析】： 正方体的三视图都相同，而三棱台的三视图各不相同，正确答案为D。 08·6．右图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该

几何体的表面积是（ ） A．9π

C．11π D．12π

【答案】D【解析】从三视图可以看出该几何体是由一个球和一个圆柱组合而成的，其表面及为

俯视图

正(主)视图 侧(左)视图

3

B．10π

S 4 1 1 2 2 1 3 12 .

22

09·4. 一空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( ).

A.2 2

B. 4

C. 2

【答案】C

【解析】:该空间几何体为一圆柱和一四棱锥组成的, 圆柱的底面半径为1,高为2,体积为2 ,四棱锥的底面边长为2，高为3，所以体积为

31

D. 2

所以该几何体的体积为2

3

.

正(主)视图

侧(左)视图

【命题立意】:本题考查了立体几何中的空间想象能力, 由三视图能够想象得到空间的立体图,并能准确地 计算出.几何体的体积.

10·4在空间，下列命题正确的是

（A）平行直线的平行投影重合 （B）平行于同一直线的两个平面平行 （C）垂直于同一平面的两个平面平行 （D）垂直于同一平面的两条直线平行

俯视图

【答案】D 【解析】由空间直线与平面的位置关系及线面垂直与平行的判定与性质定理可以很容易得出答案。

【命题意图】本题考查空间直线与平面的位置关系及线面垂直与平行的判定与性质，属基础题。

11·11.下图是长和宽分别相等的两个矩形．给定下列三个命题：①存在三棱柱，其正(主)视图、俯视图如下图；②存在四棱柱，其正(主)视图、俯视图如下图；③存在圆柱，其正(主)视图、俯视图如下图．其中真命题的个数是 (A)3 (B)2 (C)1 (D)0

4

正(主)视图

俯视图

【答案】A

【解析】对于①,可以是放倒的三棱柱；容易判断②③可以.考查三视图的概念和性质，中档题。

07·20．（本小题满分12分）

如图，在直四棱柱ABCD A1B1C1D1中，

已知DC DD1 2AD 2AB，AD⊥DC，AB//DC． （1）求证：D1C⊥AC1；

（2）设E是DC上一点，试确定E的位置，使D1E//平面

A1BD，并说明理由．

【解析】（1）证明：在直四棱柱ABCD A1B1C1D1中，

连结C1D，

DC DD1，

四边形DCC1D1是正方形． DC1⊥D1C．

又AD⊥DC，AD⊥DD1，DC⊥DD1 D，

AD⊥平面DCC1D1，

D1C 平面DCC1D1，

AD⊥D1C．

5

AD，DC1 平面ADC1，

且AD⊥DC1 D，

D1C⊥平面ADC1，

又AC1 平面ADC1，

D1C⊥AC1．

A1D1

B1

C1

（2）连结AD1，连结AE，

设AD1 A1D M， BD AE N，连结MN，

平面AD1E 平面A1BD MN，

A

B

C

要使D1E∥平面A1BD， 须使MN∥D1E， 又M是AD1的中点．

N是AE的中点．

又易知△ABN≌△EDN， AB DE． 即E是DC的中点．

综上所述，当E是DC的中点时，可使D1E∥平面A1BD．

08·19．（本小题满分12分）

如图，在四棱锥P ABCD中，平面PAD 平面ABCD，AB∥DC，△PAD是等边三角形，已知BD 2AD

8，AB 2DC

（Ⅰ）设M是PC上的一点，证明：平面MBD 平面PAD； （Ⅱ）求四棱锥P ABCD的体积． 【解析】（Ⅰ）证明：在△ABD中，

由于AD 4，BD

8，AB 所以AD2 BD2 AB2．

故AD BD．

又平面PAD 平面ABCD，平面PAD 平面ABCD AD，

BD 平面ABCD，

B

B

6

所以BD 平面PAD， 又BD 平面MBD，

故平面MBD 平面PAD．

（Ⅱ）解：过P作PO AD交AD于O， 由于平面PAD 平面ABCD， 所以PO 平面ABCD．

因此PO为四棱锥P ABCD的高， 又△PAD是边长为4的等边三角形．

因此PO

2

4

在底面四边形ABCD中，AB∥DC，AB 2DC，

所以四边形ABCD是梯形，在Rt△ADB中，斜边AB

此即为梯形ABCD的高， 所以四边形ABCD

的面积为S 故VP ABCD

13

5

，

2

5

24．

24

09·18.（本小题满分12分）

如图，在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD为等腰梯形，AB//CD，AB=4,

1 BC=CD=2, AA1=2, E、E1分别是棱AD、AA1的中点.

AB1

E

1

B1

B

（3） 设F是棱AB的中点,证明：直线EE1//平面FCC1；

E1

（4） 证明:平面D1AC⊥平面BB1C1C.

A

【解析】证明:（1）在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，取A1B1的中点F1， 连接A1D，C1F1，CF1，因为AB=4, CD=2,且AB//CD， //

所以CD=A1F1，A1F1CD为平行四边形，所以CF1//A1D， 又因为E、E1分别是棱AD、AA1的中点，所以EE1//A1D，

AF1

E1

E

A

B

D

所以CF1//EE1，又因为EE1 平面FCC1，CF1 平面FCC1， 所以直线EE1//平面FCC1.

7

（2）连接AC,在直棱柱中，CC1⊥平面ABCD,AC 平面ABCD, 所以CC1⊥AC,因为底面ABCD为等腰梯形，AB=4, BC=2, F是棱AB的中点,所以CF=CB=BF，△BCF为正三角形，

BCF 60 ,△ACF为等腰三角形，且 ACF 30

A1

B1

E1

C

B

所以AC⊥BC, 又因为BC与CC1都在平面BB1C1C内且交于点C, A 所以AC⊥平面BB1C1C,而AC 平面D1AC, 所以平面D1AC⊥平面BB1C1C.

【命题立意】: 本题主要考查直棱柱的概念、线面平行和线面垂直位置关系的判定.熟练掌握平行和垂直的判定定理.完成线线、线面位置关系的转化. 10·20（本小题满分12分） 在如图所示的几何体中，四边形ABCD是正方形， MA 平面ABCD，PD//MA，E、G、F分别为MB、PB、PC的中点，且AD PD 2MA. （I）求证：平面EFG 平面PDC；

（II）求三棱锥P MAB与四棱锥P ABCD的体积 之比. 【解析】（I）证明：由已知MA 平面ABCD，PD ∥MA， 所以 PD∈平面ABCD

又 BC ∈ 平面ABCD，

因为 四边形ABCD为正方形，

所以 PD⊥ BC

又 PD∩DC=D， 因此 BC⊥平面PDC 在△PBC中，因为G平分为PC的中点，

所以 GF∥BC

因此 GF⊥平面PDC 又 GF ∈平面EFG， 所以 平面EFG⊥平面PDC.

（Ⅱ ）解：因为PD⊥平面ABCD,四边形ABCD为正方形，不妨设MA=1， 则 PD=AD=2，ABCD

所以 Vp-ABCD=1/3S正方形ABCD，PD=8/3 由于 DA⊥面MAB的距离

所以 DA即为点P到平面MAB的距离，

三棱锥 Vp-MAB=1/3×1/2×1×2×2=2/3，所以 Vp-MAB：Ｖp-ABCD=1:4。

【命题意图】本小题主要考查空间中的线面关系，考查线面垂直、面面垂直的判定及几何体体积的计算，考查试图能力和逻辑思维能力。

8

11·19.（本小题满分12分）

如图，在四棱台ABCD A1B1C1D1中，D1D 平面ABCD，底面ABCD是平行四边形，

AB=2AD，AD=A1B1， BAD=60°

（Ⅰ）证明：AA1 BD；

A1D1

1 B1

（Ⅱ）证明：CC1∥平面A1BD.

【解析】考查空间线面的垂直、平行关系，容易题。

A

C

B

（Ⅰ）证明：因为AB=2AD，所以设AD=a,则AB=2a,又因为 BAD=60°,所以在 ABD中,由余弦定理得：BD2 (2a)2 a2 2a 2a cos60 3a2,所以

BD=AD BD

2

2

,所以

AB,故BD⊥AD,又因为

2

D1D 平面ABCD，所以D1D BD,又因为AD D1D D, 所以BD 平面ADD1A1,

故AA1 BD.

(2)连结AC,设AC BD=0, 连结A1O,由底面ABCD是平行四边形得:O是AC的中点,由四

BCD棱台ABCD A知:平面ABCD∥平面A1B1C1D1,因为这两个平面同时都和平面1111ACA1C1相交,交线分别为AC、A1C1，故AC A1C1，又因为AB=2a, BC=a, ABC=120，

所以可由余弦定理计算得

，又因为A1B1=2a, B1C1

=

2

a, A1B1C1=120，所以

可由余弦定理计算得A1C1

2

a，所以A1C1∥OC且A1C1=OC，故四边形OCC1A1是平行四边形，

所以CC1∥A1O，又CC1 平面A1BD，A1O 平面A1BD，所以CC1∥平面A1BD.

9