北京林业大学2010-2011第一学期概率论与数理统计参考答案

北京林业大学 2010---2011学年第一学期考试试卷

（参考答案）

试卷名称： 数理统计B（A卷） 课程所在院系： 理学院

一、填空（每空3分，共15分）

1． 9/16 。 2． 0.6 3． 0.905 (181/200) 。4． 6 ; 5． 5.5 。

二、选择题（单项选择，每题3分，共15分）

1. D; 2.B; 3 C; 4 B; 5.C

三、（7分）随机变量X的分布律如右表所示,

求（1）X的数学期望和方差; （2）X的分布律.

解：（1）EX 1 0.3 0 0.2 1

0.5 0.2 EX2 ( 1)2 0.3 02 0.2 12 0.5 0.8

2

DX EX2 (EX)2 0.76

（2）

四、（6分）设随机变量X的密度函数为fX(x) 的密度函数fY(y)。

解：

2x,0 x 1,X

，求随机变量Y e

其它. 0,

y (1,e)时，FY(y) PY( y )PeX( y P)X (y lFn)y X

------ 3分

1

两边对y求导，得 fY(y) fX(lny).

y

----------------5分

2lny

, y (1,e)

所以，fY(y) y------ 6分

0, 其他

1

x ,当0 x 1

五、（9分）已知随机变量X的密度函数为f(x) 。(1)求X的2

0,其它

2

分布函数；(2)计算概率P{0.2 X 0.5}；(3)计算EX。

解： （1） y 0时，F(y) 0，

111

0 y 1时，F(y) (t )dt x2 x ------2分

0222

x

y 1时，F(y) 1

0,x 0

11

F(y) x2 x,0 x 1----- 3分

2 2

1,x 1

(2) P{0.2 X 0.5} F(0.5) F(0.2) 0.255----- 6分

12

x(x )dx 5/12----- 9分 0

2

六、（12分）设G为第一象限内由两坐标轴以及直线y 2x 1所围成的三角形区域。

（3）EX

2

1

二维连续型随机变量 X，Y 的密度函数为f(x,y)

A, 当(x,y) G 0, 其它

， 其中A为

常数。（1）求A的值；（2）求X,Y各自的边缘密度函数,并且判断X和Y是否独立；（3）计算概率P{Y X}。 解:(1)由密度函数的性质，得

1

f x，y dxdy

G

5 0.5),所以，A 4分 A dxdy A (G的面积) A (0.

(2) fX x

f x，y dy

5分

1 2x

4dy,0 x 0.5 4 8x,0 x 0.5，

0

其它 0, 其它 0,

fY y

f x，y dx

y 1

2 4dx,0 y 1 2 2y,0 y 1， 0 分

0,其它 其它 0,

因为 f x，y fX x fY y

分 所以，随机变量X与Y不独立．

1/3

1 y

2

(3)P Y X 4 dx

dx 1/3 12分

y

七、（6分）某系统由100个相互独立起作用的部件组成，每个部件的损坏率为0.1。系统要正常工作，损坏的部件不能超过15个。用中心极限定理计算该系统正常工作的概率。( 1.667 0.952)

解：记损坏的部件数为 X则 X B(100,0.1)

n 100,p 0.1,EX np 10,DX npq 92分

由拉普拉斯中心极限定理知：

近似

X N(10,9), N(0,1)， 3分

整个系统能正常工作当且仅当X 15.

近似

5

P{X 15} P 0.9526分

3 4分分

1,0 x 1

，其中 0，求参数 八、（10分）总体X

的密度函数为f(x) 0, 其它

的矩估计量和极大似然估计量。

解：由于EX

xf(x)dx x0

1

1

)dx

， 2分

EX

， 3分 1 EX

X 所以的矩法估计量为 ； 5分

1 X

样本似然函数为

2

2

L( ) f(xi;

) lnL

n

nn

1

n

i

1

i 1n

i 1

i 1

n

1

7分

1

n

n

ln 1) lnxi. 8分

2i 1

dlnLn令

d 2 lnx

i 1

n

i

0分

2

n

10分 求得 的极大似然估计 n

lnx i i 1

九、（10分）某批齿轮的重量服从正态分布N( , )。从中抽取其中9件，测量得它们的重量的平均值为90.5,方差为15。在95%的置信度下，求：（1）这批齿轮的平均重量 的置信区间；（2）这批齿轮的重量的方差 的置信区间。 （t0.025(8) 2.3, 0.025(8) 12.53, 0.975(8) 2.18） 解：

2

2

2

2

1 0.95， 0.05，f

查表得 t /2

12 1 11,

t0.025(8) 2.3，X 90.5

t /2(n ， 的置信度为95%的置信区间为

2.3 [ t /2(n t /2(n [87.53,93.47] 5分 2分

（2） 置信度为95%的估计： 0.025(8) 12.53, 0.975(8) 2.18

(n 1)s28 15

9.577 2

(n 1)12.53

2

222

(n 1)s28 15

55.046 2

(n 1)2.18

1

2

所以，方差

2

的区间估计为[9.577,55.046]. 5分

2

十、（10分）XA和XB分别表示A、B两种小麦品种从播种到抽穗所需的天数，

XA~N( A, A)，XB~N( B, B)。现在分别对这两品种的小麦进行抽样，调查

从播种到抽穗所需的天数，样本容量都是10,相关数据如下：

A品种：101 100 99 99 98 100 98 99 99 99 B品种：100 98 100 99 98 99 98 98 99 100

在 0.05的显著水平下，（1）比较 A 和 B是否有显著差异, (2)比较 A 和 B是否有显著差异。(t0.025(18) 2.1,F0.025(9,9) 4.03,F0.975(9,9) 0.2481)

22解：1 99.2，2 98.9， s1 0.8444，s2 0.7667 2分

2

2

2

22（1）检验H0: 1 ， H1: 1 23分 2

22

s120.8444

1.1013，5分 n1 10，n2 10， F 2

s20.7667

，所以，接受H0，即认为 A 和 BF0.975(9,9) 0.2481 F F0.025(9,9) 4.03，相等(无显著差异)。 6分

（2）检验问题：H0: 1 2 H1: 1 2分 ，， …… 此处隐藏：834字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……