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1.2《充分条件与必要条件》

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教学目标 使学生正确理解充分条件、必要条件和充要条 件三个概念，并能在判断、论证中正确运 用.在师生、学生间的交流中增强逻辑思维活 动，为用等价转化思想解决数学问题打下良好 的逻辑基础. 教学重点：充分不必要条件、必要不充分条件 教学重点： 的概念； 教学难点：判断命题的充分不必要条件、必要 教学难点： 不充分条件； 课 型：新授课 教学手段：多媒体 教学手段：

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例5、 用反证法证明：圆的两条 、 用反证法证明： 不是直径的相交弦不能互相平分. 不是直径的相交弦不能互相平分已知：如图， 已知：如图，在⊙O中，弦 中 AB、CD交于 ，且AB、CD 交于P, 、 交于 、 不是直径. 不是直径 求证： 不被P平分 求证：弦AB、CD不被 平分 、 不被 平分. 分析：假设弦 、 被 平分 平分， 分析：假设弦AB、CD被P平分，连 都与OP 接OP后，可以推出 、CD都与 后 可以推出AB、 都与 垂直，则出现矛盾. 垂直，则出现矛盾

AC

OP

D B

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证明: 证明

假设弦AB、CD被P平分，由于P 假设弦 、 被 平分，由于 平分 点一定不是圆心O,连接OP, 点一定不是圆心 ，连接 ，根据垂径定理 的推论， 的推论，有 OP⊥AB,OP⊥CD, ⊥ , ⊥ , 即过点P有两条直线与 都 即过点 有两条直线与OP都 有两条直线与 垂直，这与垂线性质矛盾. 垂直，这与垂线性质矛盾 所以， 不被P平分 所以，弦AB、CD不被 平分 、 不被 平分.

AC

OP

D B

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思考： 思考：用反证法证明：若函数f(x) 在区间[ a,b] f(x)在区间 1. 用反证法证明 ： 若函数 f(x) 在区间 [ a,b ] 上 是增函数， 那么方程f(x)= 在区间[ a,b] f(x)=0 是增函数 ， 那么方程 f(x)=0 在区间 [ a,b ] 上至 多只有一个实根. 多只有一个实根.2.设U = R,集合A = x x 2 + 4ax 4a + 3 = 0, x ∈ R ,

{ C = {x x

{

B = x x 2 (a 1) x + a 2 = 0, x ∈ R ,2

+ 2ax 2a = 0, x ∈ R .答案： 3 a ≤ 或a ≥ 1. 2

}

}

}

若A,B,C中至少有一个不是空集， 求实数a的取值范围.

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一般以下几种情况适宜使用反证法(1)结论本身是以否定形式出现的一类 ) 命题； 命题； 至少” (2)有关结论是以“至多”,或“至少” )有关结论是以“至多” 的形式出现的一类命题； 的形式出现的一类命题； (3)关于唯一性、存在性的命题； )关于唯一性、存在性的命题； (4)结论的反面比原结论更具体、更容 )结论的反面比原结论更具体、 易研究的命题(正难则反) 易研究的命题(正难则反).

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复 习

1、命题：可以判断真假的陈述句， 、命题：可以判断真假的陈述句， 可写成： 可写成：若p则q. 则 2、四种命题及

相互关系： 、四种命题及相互关系：原命题 若 p则 q 互 否 否命题 若¬p则¬q 互 逆 互 否 为 逆 逆 为 否 互 互 逆 逆命题 若q则p 互 否 逆否命题 ¬ 若 q则¬p

3、若命题“若p则q”为真,记作p q(或q p). 4、如果命题“若p则q”为假，则记作p q.

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判断下列命题是真命题还是假命题： 判断下列命题是真命题还是假命题： (1)若 x ≥ 1 ,则 x 2 ≥ 1 ; ) x 2 x ≥y1 则2 x = y ; = 2, x ≥1 (2)若 ) (3)对角线互相垂直的四边形是菱形； )对角线互相垂直的四边形是菱形； 真 假 假

2 (4)若方程ax + bx + c = 0(a ≠ 0) 有两个不等的实数解， 有两个不等的实数解， )

则b 2 4ac > 0 .

真

(5)若ab ax0,则 a c = 0(a ≠ 0) 两个不等的实数解 ) 假 方程有 = 2 + bx + = 0 ; b 2 4ac > 0 (6) 若两三角形全等 ，则两三角形面积相等； 则两三角形面积相等； 两三角形全等 真

两三角形面积相等

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定义： 定义： 充分条件与必要条件：一般地， 充分条件与必要条件：一般地，如果已知 p q , 即命题“ 的充分条件， 即命题“若p则q” 为真命题，那么就说，p 是q 的充分条件， 则 为真命题，那么就说， q 是p 的必要条件. 的必要条件. x ≥ 1 x2 ≥ 1

x ≥ 1是x 2 ≥ 1的充分条件两三角形全等

x 2 ≥ 1是x ≥ 1的必要条件

两三角形面积相等

两三角形全等是两三角形面积相等的充分条件. 两三角形全等是两三角形面积相等的充分条件. 两三角形面积相等是两三角形全等的必要条件. 两三角形面积相等是两三角形全等的必要条件.

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指出下列各组命题中， 是 的什么条件 的什么条件， 是 的什么 例1 .指出下列各组命题中，p是q的什么条件，q是p的什么 条件. 条件(1) p : a ∈ Q; q : a ∈ R. (2) p : x 2 = 0; q : ( x 3)( x 2) = 0. (3) p : xy = 0; q : x = 0. (4) p : 两个角相等; q : 两个角是对顶角. (5) p : x是4的倍数; q : x是6的倍数. (6) p : 四边形的对角线平分且相等; q : 四边形是平行四边形. (7) p : 三角形的三条边相等; q : 三角形的三个角相等.

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定义： 定义： 对于命题“ 对于命题“若p则q” 则1.若p q, q p, 则p是q的充分不必要条件. q是p的必要不充分条件.2.若p q, q p,即p q, 则p是q充分必要条件， 简称充要条件. 也说p与q互为充要条件.

3.若p q, q p, 则p是q的既充分不必要条件. q是p的既必要不充分条件.

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充分不必要条件” 必要不充分条件” 例2、以“充分不必要条件”、“必要不充分条件”、“ 、 要条件” 既不充分也不必要条件“ 要条件”与”既不充分也不必要条件“中选出适当的一种 填空. 填空 1)" x > 0, y > 0"是 " xy > 0"的(充分不必要条件) 充

分不必要条件) 2) a ∈ N "是 " a ∈ Z "的 (充分不必要条件) " 充分不必要条件) 必要不充分条件) 3) x 2 1 = 0"是 " x 1 = 0"的 (必要不充分条件) " (充要条件) 4)同旁内角互补 "是 " 两直线平行 "的 充要条件) "

5)" x < 5"是 " x < 3"的

(必要不充分条件) 必要不充分条件) 充要条件) 6)" a > b "是 " a + c > b + c "的 (充要条件)

7)已知 ABC不是直角三角形， "A<B"是 "tan A < tan B "的 (既不充分也不必要条件) 既不充分也不必要条件)

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例3、已知α、β是不同的两个平面，直线a α , 直线a β , 命题p : a与b无公共点； 命题q : α // β , 则p是q的 ( C.充要条件

B )B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

A.充分不必要条件

例4、设命题甲 : 0 < x < 5, 命题乙 : x 2 < 3, 那么甲是乙的( A.充分不必要条件 C.充要条件 . A ) B.必要不充分条件 D.既不充分也必要条件

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例5、设α、β、γ为平面，m、n、l为直线，则m ⊥ β的 一个充分条件是( D ) . A.α ⊥ β,α ∩ β = l , m ⊥ l B.α ∩ β = m, α ⊥ β , β ⊥ γ C.α ⊥ γ , β ⊥ γ , m ⊥ α D.n ⊥ α , n ⊥ β , m ⊥ α

例6、已知α、β为锐角，若p : sin α < sin(α + β ), q :α + β <

π

2 A.充分不必要条件

, 则p是q的 (

B ) .B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

C.充要条件

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的充分不必要条件， 例7、若p是r的充分不必要条件，r是q的必要 、 是 的充分不必要条件 是 的必要 条件， 又是 的充要条件， 是 的必要条件 又是s的充要条件 的必要条件. 条件，r又是 的充要条件，q是s的必要条件 则： 1)s是p的什么条件？ 必要不充分条件 的什么条件？ ) 是 的什么条件 2)r是q的什么条件？ 充要条件 的什么条件？ ) 是 的什么条件