人教版 九年级下 数学 相似 练习

27.2.2相似三角形应用举例

一、课前预习 (5分钟训练)

1.在同一时刻同一个地点物体的高度与自身的影长的关系是( )

A.成反比例 B.成正比例 C.相等 D.不成比例 2.如图

27-2-2-1,DE⊥EB,AB⊥EB,∠DCE=∠ACB,DE=12 m,EC=15 m,BC=30 m,则

AB

=____m.

图27-2-2-1 图27-2-2-2 图27-2-2-3

3.已知A,B两地相距300 km,在地图上量得两地相距15 cm,则图上距离与实际距离之比为___________.

4.某一时刻,测得旗杆的影长为8 m,李明测得小芳的影长为1 m,已知小芳的身高为1.5 m,则旗杆的高度是_______________m. 二、课中强化(10分钟训练)

1.如图27-2-2-2所示,ABCD是正方形,E是CD的中点,P是BC边上的一点,下列条件: (1)∠APB=∠EPC;(2)∠APE=90°;(3)P是BC的中点;(4)BP∶BC=2∶3. 其中能推出△ABP ∽△ECP的有( )

A.4个 B.3个 C.2个 D.1个

2.如图27-2-2-3,在△ABC中,DE∥BC,DE分别与AB,AC相交于点D,E,若AD=4,DB=2,则DE∶BC的值为( ) A.

2133

B. C. D. 3245

3.图27-2-2-4所示是用杠杆撬石头的示意图,C是支点,当用力压杠杆的A端时,杠杆绕C点转动,另一端B向上翘起,石头就会被撬动.现有一块石头,要使其滚动,杠杆的B端必须向上翘起10 cm,已知杠杆的动力臂AC与阻力臂BC之比为5∶1,则要使这块石头滚动,至少要将杠杆的A端下压( )

A.100 cm B.60 cm C.50 cm D.10 cm

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图27-2-2-4 图27-2-2-5 图27-2-2-6

4.如图27-2-2-5所示,要测量河两岸相对的两点A,B的距离,先从B处出发与AB成90°角方向,向前走80米到C处立一标杆,然后方向不变向前走50米至D处,在D处转90°,沿DE方向走30米,到E处,使A(目标物),C(标杆)与E在同一条直线上,那么可测得A,B间的距离是_______.

5.如图27-2-2-6,为了测量一棵树CD的高度,测量者在B点立一高为2米的标杆,观测者从E处可以看到杆顶A,树顶C在同一条直线上.若测得BD=23.6米,FB=3.2米,EF=1.6米,求树高.

6.如图27-2-2-7,一圆柱形油桶,高1.5米,用一根长2米的木棒从桶盖小口A处斜插桶内另一端的B处,抽出木棒后,量得上面没浸油的部分为1.2米,求桶内油面的高度

.

图27-2-2-7

三、课后巩固(30分钟训练)

1.如图27-2-2-8,电灯P在横杆AB的正上方,AB在灯光下的影子为CD,AB∥CD,AB=2 m,CD=5 m,点P到CD的距离是3 m,则P到AB的距离是(

)

图27-2-2-8

A.

56610

m B. m C. m D. m 6753

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2.如图27-2-2-9,BE⊥AC于B,CD⊥AC于C,AE∥BD,若BE=1.7米,AB=3米,BC=12米,求CD的长

.

图27-2-2-9

3.如图27-2-2-10,射击瞄准时,要求枪的标尺缺口上沿中央A,准星尖B和瞄准点C在一条直线上,这样才能命中目标.已知某种冲锋枪基线AB长38.5 cm,如果射击距离AC=100 m,当准星尖在缺口内偏差BB′为1 mm时,弹着偏差CC′是多少?(BB′∥CC′)

图27-2-2-10

4.如图27-2-2-11,AB是斜靠在墙壁上的长梯,梯脚B距墙80 cm,梯上点D距墙70 cm,BD长55 cm,求梯子的长

.

图27-2-2-11

5.一条河的两岸有一段是平行的,在河的这岸每隔5米有一棵树,在河的对岸每隔50米有一根电线杆,在这一岸离开岸边25米处看到对岸相邻的两根电线杆恰好被这岸的两棵树遮住,并且在这两棵树之间还有三棵树,求河宽

.

图27-2-2-12

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6.一位同学想利用树影测量树高AB,他在某一时刻测得小树高为1米,树影长0.9米,但当他马上测量树影时,因树靠近建筑物,影子不全落在地上,有一部分落在墙上,如图27-2-2-13,他先测得地面部分的影子长2.7米,又测得墙上的影高CD为1.2米,试问树有多高

?

图27-2-2-13

7.如图27-2-2-14所示,大江的一侧有甲,乙两个工厂,它们有垂直于江边的小路,长度分别为m千米及n千米,设两条小路相距l千米.现在要在江边建立一个抽水站,把水送到甲,乙两厂去,欲使供水管路最短,抽水站应建在哪里

?

图27-2-2-14

8.图27-2-2-15,一人拿着一个刻有厘米分度的小尺,站在距离电线杆约30米的地方,把手臂向前伸直,小尺竖直,看到尺上的12个分度恰好遮住电线杆,已知手臂长约60厘米,求电线杆的高

.

图27-2-2-15

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9.晨晓想用镜子测量一棵古松树的高,但因树旁有一条小河,不能测量镜子与树之间的距离,于是他两次利用镜子,如图27-2-2-16,第一次他把镜子放在C点,人在F点正好看到树尖A;第二次他把镜子放在C′处,人在F′处正好看到树尖A,已知晨晓眼睛距地面1.70 m,量得CC′为12 m,CF长1.8 m,C′F′为3.84 m,求这棵古松树的高

.

图27-2-2-16

10.如图27-2-217,河边有一条笔直的公路l,公路两侧是平坦的草地,在数学活动课上,老师要求测量对岸B点到公路的距离,请你设计一个测量方案.要求: ①列出你测量所使用的工具;

②画出测量的示意图,写出测量的步骤;

③用字母表示的测量的数据,求点B与公路之间的距离

.

图27-2-2-17

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参考答案

一、课前预习 (5分钟训练)

1.在同一时刻同一个地点物体的高度与自身的影长的关系是( )

A.成反比例 B.成正比例 C.相等 D.不成比例 解析：因太阳光线是平行的,所以同时同地光线,物高,影长组成的三角形都相似. 答案：B 2.如图

27-2-2-1,DE⊥EB,AB⊥EB,∠DCE=∠ACB,DE=12 m,EC=15 m,BC=30 m,则

AB

=____m.

图27-2-2-1

解析：∵△ABC∽△DEC,∴AB=24. 答案：24

3.已知A,B两地相距300 km,在地图上量得两地相距15 cm,则图上距离与实际距离之比为___________.

解析：AB=300 km=30 000 000 cm,所以图上距离∶实际距离=1∶2 000 000. 答案：1∶2 000 000

4.某一时刻,测得旗杆的影长为8 m,李明测得小芳的影长为1 m,已知小芳的身高为1.5 m,则旗杆的高度是_______________m. 解：如图所示

,

△ABC∽△DEF, ∴

ACBC

. DFEF

∴DF=12 m. 答案：12

二、课中强化(10分钟训练)

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1.如图27-2-2-2所示,ABCD是正方形,E是CD的中点,P是BC边上的一点,下列条件: (1)∠APB=∠EPC;(2)∠APE=90°;(3)P是BC的中点;(4)BP∶BC=2∶3. 其中能推出△ABP ∽△ECP的有( )

A.4个 B.3个 C.2个 D.1个

图27-2-2-2

解析：①中因为∠B=∠C,∠APB=∠EPC, 所以△ABP∽△ECP; ④中因为BP∶BC=2∶3,

21

BC,PC=BC. 33ABBP

所以=2,且∠B=∠C=90°. ECPC

所以BP=

所以△ABP∽△ECP.故选C. 注意三角形的对应顺序. 答案：C

2.如图27-2-2-3,在△ABC中,DE∥BC,DE分别与AB,AC相交于点D,E,若AD=4,DB=2,则DE∶BC的值为(

)

图27-2-2-3

2133 B. C. D. 3245

DEAD

解析：因△ADE∽△ABC,故. BCAD BD

A.答案：A

3.图27-2-2-4所示是用杠杆撬石头的示意图,C是支点,当用力压杠杆的A端时,杠杆绕C点转动,另一端B向上翘起,石头就会被撬动.现有一块石头,要使其滚动,杠杆的B端必须向上翘起10 cm,已知杠杆的动力臂AC与阻力臂BC之比为5∶1,则要使这块石头滚动,至少要将

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杠杆的A端下压(

)

图27-2-2-4

A.100 cm B.60 cm C.50 cm D.10 cm 解析：杠杆运动过程中构成的三角形相似. 答案：C

4.如图27-2-2-5所示,要测量河两岸相对的两点A,B的距离,先从B处出发与AB成90°角方向,向前走80米到C处立一标杆,然后方向不变向前走50米至D处,在D处转90°,沿DE方向走30米,到E处,使A(目标物),C(标杆)与E在同一条直线上,那么可测得A,B间的距离是

_______.

图27-2-2-5

解析：因为△ABC∽△EDC,所以答案：48米

5.如图27-2-2-6,为了测量一棵树CD的高度,测量者在B点立一高为2米的标杆,观测者从E处可以看到杆顶A,树顶C在同一条直线上.若测得BD=23.6米,FB=3.2米,EF=1.6米,求树高

.

ABBC

. DEDC

图27-2-2-6

解：由题意得△AEM∽△CEN, ∴

CNEN

.而AM=0.4,EM=3.2, AMEM

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EN=26.8, ∴CN=3.35. ∴CD=4.95(米). 答:树高4.95米.

6.如图27-2-2-7,一圆柱形油桶,高1.5米,用一根长2米的木棒从桶盖小口A处斜插桶内另一端的B处,抽出木棒后,量得上面没浸油的部分为1.2米,求桶内油面的高度

.

图27-2-2-7

解：根据题意建立数学模型,如右图,AD=1.2米,AB=2米,AC=1.5米,DE∥

BC.

∵DE∥BC,∴∠ADE=∠B, ∠AED=∠C. ∴△ADE∽△ABC. ∴

ADAE1.2AE

.∴ ABAC21.5

∴AE=0.9(米).

∴EC=AC-AE=1.5-0.9=0.6(米). 三、课后巩固(30分钟训练)

1.如图27-2-2-8,电灯P在横杆AB的正上方,AB在灯光下的影子为CD,AB∥CD,AB=2 m,CD=5 m,点P到CD的距离是3 m,则P到AB的距离是( )

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图27-2-2-8

56610 m B. m C. m D. m 6753

xAB

解析：设P到AB的距离为x米,则有 .x=1.2(m).

3CD

A.答案：C

2.如图27-2-2-9,BE⊥AC于B,CD⊥AC于C,AE∥BD,若BE=1.7米,AB=3米,BC=12米,求CD的长

.

图27-2-2-9

解：∵BE⊥AC于B,CD⊥AC于C,

∴∠ABE=∠BCD=90°.∵AE∥BD,∴∠A=∠CBD. ∴△ABE∽△BCD.∴即

ABBE

, BCCD

31.7 .∴CD=6.8(米). 12CD

∴CD的长为6.8米.

3.如图27-2-2-10,射击瞄准时,要求枪的标尺缺口上沿中央A,准星尖B和瞄准点C在一条直线上,这样才能命中目标.已知某种冲锋枪基线AB长38.5 cm,如果射击距离AC=100 m,当准星尖在缺口内偏差BB′为1 mm时,弹着偏差CC′是多少?(BB′∥CC′)

图27-2-2-10

解：∵BB′∥CC′,∴△ABB′∽△ACC′.

BB AB20

.∴CC′=(m). CC AC77

20

即弹着偏差 m.

77

∴

4.如图27-2-2-11,AB是斜靠在墙壁上的长梯,梯脚B距墙80 cm,梯上点D距墙70 cm,BD长55 cm,求梯子的长.

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图27-2-2-11

解：∵△ADE∽△ABF, ∴

ADDE

. ABBF

x 5570

, x80

设梯子长为x cm,则有解得x=440.

经检验x=440为所列方程的根,所以梯长为440 cm.

5.一条河的两岸有一段是平行的,在河的这岸每隔5米有一棵树,在河的对岸每隔50米有一根电线杆,在这一岸离开岸边25米处看到对岸相邻的两根电线杆恰好被这岸的两棵树遮住,并且在这两棵树之间还有三棵树,求河宽

.

图27-2-2-12

解：根据题意,画出图形,其中AB=50米,CD=5×4=20米,GE⊥CD,GF⊥AB,点G,E,F共线,GE=25米

.

∵AB∥CD, ∴∠DCG=∠BAG, ∠CDG=∠ABG. ∴△GCD∽△GAB. 又∵GE⊥CD,GF⊥AB, ∴

CDGE

(相似三角形对应高的比等于相似比). ABGF

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∴GF=

50 25

=62.5(米). 20

∴河宽EF=GF-GE=62.5-25 =37.5(米).

6.一位同学想利用树影测量树高AB,他在某一时刻测得小树高为1米,树影长0.9米,但当他马上测量树影时,因树靠近建筑物,影子不全落在地上,有一部分落在墙上,如图27-2-2-13,他先测得地面部分的影子长2.7米,又测得墙上的影高CD为1.2米,试问树有多高

?

图27-2-2-13

解法一：如图,延长AD,BE相交于点C,则CE就是树影长的一部分,

DE11.21

,即.∴CE=1.08 (m). EC0.9CE0.9

∴BC=BE+EC=2.7+1.08=3.78 (m). ∴

AB1AB1

,即. BC0.93.780.9

∴

AB=4.2 (m).

解法二：过E作EF∥AD,交AB于F.

BF1BF1 ,即.∴BF=3 m. BE0.92.70.9

AB=AF+BF=3+1.2=4.2 (m)

7.如图27-2-2-14所示,大江的一侧有甲,乙两个工厂,它们有垂直于江边的小路,长度分别为m千米及n千米,设两条小路相距l千米.现在要在江边建立一个抽水站,把水送到甲,乙两厂去,欲使供水管路最短,抽水站应建在哪里

?

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图27-2-2-14

解：如图所示,AD垂直于江边于D,BE垂直于江边于E,则AD=m千米,BE=n千米,DE=l千米.

延长BE至F,使EF=BE.

连结AF交DE于C,则在C点建抽水站,到甲,乙两厂的供水管路AC+CB为最短. 设CD=x千米,因为Rt△ADC∽Rt△FEC, 所以

CDADxmml

,解得x=,即(米

). CEEFl xnm n

8.图27-2-2-15,一人拿着一个刻有厘米分度的小尺,站在距离电线杆约30米的地方,把手臂向前伸直,小尺竖直,看到尺上的12个分度恰好遮住电线杆,已知手臂长约60厘米,求电线杆的高

.

图27-2-2-15

解：设电线杆高x m,因为两三角形相似,则有程的根,所以电线杆高6 m.

9.晨晓想用镜子测量一棵古松树的高,但因树旁有一条小河,不能测量镜子与树之间的距离,于是他两次利用镜子,如图27-2-2-16,第一次他把镜子放在C点,人在F点正好看到树尖A;第二次他把镜子放在C′处,人在F′处正好看到树尖A,已知晨晓眼睛距地面1.70 m,量得CC′为12 m,CF长1.8 m,C′F′为3.84 m,求这棵古松树的高

.

0.120.6

,解得x=6,经检验x=6为原分式方x30

图27-2-2-16

解：设BC=y m,AB=x m,作CM⊥BF,C′M′⊥BF′.

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由物理学中光的反射定理,得∠ACM=∠ECM,∠AC′M′=∠E′C′M′, 所以∠ACB=∠ECF,∠AC′B=∠E′C′F′.

因为 ∠ABC=∠EFC=90°,∠ABC=∠E′F′C′=90°, 所以△ABC∽△EFC,△ABC′∽△E′F′C′.所以所以

ABBCABBC

, . EFFCE F F C

xy ,① 1.701.8xy 12 .② 1.703.84

解①②组成的方程组,得

x 10,

y 10.59

所以这棵古松树的高为10米.

10.如图27-2-217,河边有一条笔直的公路l,公路两侧是平坦的草地,在数学活动课上,老师要求测量对岸B点到公路的距离,请你设计一个测量方案.要求

:

图27-2-2-17

①列出你测量所使用的工具;

②画出测量的示意图,写出测量的步骤;

③用字母表示的测量的数据,求点B与公路之间的距离. 解：(1)皮尺;

(2)具体步骤如下:①在公路上任取两个不同点A,C,在草地上取两点D,E,使BAD在一条直线上,且BCE在一条直线上,DE∥AC. ②测量AC,AD,DE的长. ③∵△BAC∽△BDE,

BAACBAAC

,即 . BDDEBA ADDEAC AD∴BA=.http://

DE AC

∴