等差数列第一课时：定义，通项公式

1 选择题 、 (1)下面数列是有穷数列的 ( 是 1 1 1 A.1,0,1,0, B.1, , , ; 2 3 4 C.2,22,222 D.0,0,0,0, , (2)以下四个数中， 是数列{n(n 1)}中的一项是( A.380 B.39 C.32 D.23C A B

)

).

n2 (3)已知数列 an }的通项公式an 2 , 那么0.98( { n 1 A.是这个数列的项 且n 6; , B.是这个数列的项 且n 7; , C.是这个数列的项 且n 7; , D.不是这个数列的项 .

)

2、 填空题 n 1 ( 4) 已知数列 an }的通项公式an { , n 6 则它的第 项a5 _______; 5 5 1 3 7 15 ( 5 )数列 , , , , 的一个通项公式 2 4 8 16 2n 1 为__________, n N an ( 1) n n ____;2

1 ( 6 )数列 , lg 2 ,lg 3 ,lg 2 , 的一个通项公 0 2 式为__________ N . _____ an lg n , n

[例] 根据下列条件，写出数列的前四项， 并归纳猜想它的通项公式. n (1) a1=1,an 1=n+1an (2)a1=1,an+1=an+ (3)a1 = 2 , a2 = 3 , an + 2 = 3an + 1 - 2an (n∈N*)+

(1)我们班学生的学号由小到大组成的数列： 1,2,3,4,5, ,55. 从第2项起，每一项与前一项的差都等于 1 (2)正偶数数列：2,4,6,8,10, 从第2项起，每一项与前一项的差都等于 2 (3) 数列：-3,-3,-3,-3,-3, 从第2项起，每一项与前一项差的都等于 0 (4) 数列：0,-3,-6,-9,-12, 从第2项起，每一项与前一项差的都等于-3

这些数列具有这样的共同特点： 从第2项起，每一项与它前一项的差都等于同一常数。

一、等差数列的定义： 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与 它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列 就叫做等差数列。 这个常数叫等差数列的公差，通常用字母 d表示。 等差数列的首项用字母 a1 表示。

例 1: 观察下列数列是否是等差数列： (1) 1 , 2 , 4 , 6 , 8 ,10(2) (3) (4) - 3 , - 2 , 1 , 3 , 1 , 3 , 2 , 3 , 4 , 3 , 5 , 11 ,

, ,

12 7 ,

, …

…

3 , 3 7 ,

3 , … 16 ,

…

等差数列的定义是判断一个数列是否 为等差数列的依据 1、等差数列要求从第2项起，每一项与它的前一项作差。 不能颠倒。 2、作差的结果要求是同一个常数。可以是正数，也可以是 0和负数。 3、数列{an }是等差数列 an - an 1 = d (n≥2,且n ∈ N*)

等差数列的通项公式(推导一)如果一个数列

a1 , a2 , a3 , …,an , …

是等差数列，它的公差是d,那么

a2 a1 d a2 a1 d a3 a2 d a3 a2 d d a1 d d 1 2 3 a4 a3 d a4 a1 dd 3

a (n 1)d a归纳得:n

1

通项公式：an a1 (n 1)d .

等差数列的通项公式(推导二)a3 a2 d…

a2 a1 d

a4 a3 d

an 1 an 2 d

an an 1

d叠加得

an a1 (n 1)d

通项公式：an a1 (n 1)d .

等差数列通项公式a n =a1+(n-1)d

a n由a1和d决定，因而知道两个独立的条件 就可以求通项公式。

三、通项公式的应用： 例 2:(1) 已知等差数列的首项 a1是3,公差 d 是2,求它 的通项公式。

(2) 求等差数列 10 ,8 , 6 ,4 ,‥‥的第20项。(3) -401是不是等差数列 –5 , -9 ,-13 ,‥‥ 的项 ？如果是，是第几项？ 1、等差数列的通项公式 an = a1+(n-1)d 中 ，an , a1 , n ,d 这四个变量 ， 知道其中三个量就可以 求余下的一个 量 ,即“知三求一” 。 2、利用等差数列的通项公式判断一个数是否为 该数列的项：若由已知求出的n ∈ N*,则是该 数列的项

例3: 在等差数列{an}中 ， 已知a5=10 ,a12=31,求首项a1 , 公差 d 及通项an 。 分析： 此题已知a5=10 ,n=5 ;a12=31 , n=12分别代入通项

公式an = a1+(n-1)d 中 ，可得两个方程，都含a1与d两个未知数组成方程组，可解出a1与d 。

1、等差数列可由其两项确定。由两个已知条 件列出关于a1和d方程组，求出a1与d。 2、此题解法是利用数学的函数与方程思想，函 数与方程思想是数学几个重要思想方法之一，也是 高考必考的思想方法，应熟悉并掌握。

四、课堂练习： 1 , 求等差数列 3 ,7 , 11 ,‥‥的第4项和第 10项。 2 , 100是不是等差数列 2 ,9 ,16 ,‥‥的

项？如果是，是第几项？如果不是，说明理由。3 , -20是不是等差数列 0 ,-3.5 ,-7 ,‥‥的

项？如果是， 是第几项？如果不是，说明理由。26

4、在等差数列{an}中，

(1)已知 a4=10 ,(2)已知 a3=9 ,

a7=19 ,求 a1与 d 。a9=3 ,求 a12 。

a与 已知等差数列{ an }中，公差为d,则 n am (n , m ∈ N*) 有何关系？解：由等差数列的通项公式知

an a1 (n 1)d , ① am a1 (m 1)d , ② ①-② an am (n m)d ,

an am (n m)d .(这是等差数列通项公式的推广形式 )

㈠推广后的通项公式

an am (n-m)d an am d n m

5,在等差数列{an}中 (1) 若a59=70,a80=112,求a101; d=2, a101=154 (2) 若ap=q,aq=p (p≠q),求ap+q; d= -1, a =0 p+q (3) 若a12=23,a42=143, an=263,求n. d= 4, n=72