研究生数值分析练习题答案
发布时间：2024-11-12
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则用最小二乘法求近似公式y a0 a1x的法方程为（ C ）
A a0 a1 15 5a0 15a1 55
31a0 55a1 105.5 B 15a
允许使用计算器
31a1 105.5一、 填空题 （本大题共10小题，每小题 2分，共 20分）
C 5a0 15a1 31
5a0 31a1 15
15a D
0 55a1 105.5
31a0 55a1 105.5
1. 若x e 2.71828 ，取近似值x* 2.7180，则x*具有 4 位有效数字。 2． 以下矩阵是严格对角占优矩阵的是（ B ）
2.
为了提高数值计算精度，应将8
格式进行计算。
3
210 410 2 100
A 1 3.已知n=3时牛顿—柯特斯系数C(3)1 3,C(3)31
1141 13 10
B
136 1 0 8,C(3)182 8
，那么C(3)3=8 。
0012 01 13
52 10
4211
4.设f(x) x3 x 1，则函数的四阶差商f[0,1,2,3,4]。
C
1 13 1
10 D 1441
5. 用牛顿迭代法解方程x-e-x=0在x=0.5附近的近似实根的牛顿迭代格式为
2141
2 1 0012
1315
x f(xn)xn e xn
3.已知两种递推公式
n 1
xnf (x xn (n 0,1 )
n)1 e xn
(1)In 3 5nIn 1(n 1,2, ,20)6. 对给定的剖分 :a x0 x1 xn b，当s(x)满足条件s(x)(2)
In 1
31
5n 5n
In(n 20, ,1)且在每个子区间上是个3次多项式 时是三次样条函数。
则在数值计算过程中（ C ）。
7．用最小二乘法拟合三点A 0,1 ,B 1,3 ,C 2,2 的直线是y
13
2x 2
。 A算法（1）和（2）都稳定 B算法（1）稳定
C 算法（2）稳定 D算法（1）和（2）都不稳定
T
8.向量序列 x(k)
11 T4. 若f(x)在[a,b]上存在n 1阶导数，则对任意给定x [a,b]的拉格朗日插值多项式的余项
e kcosk,ksink,3 k2 的极限向量为 0,1,3
是（ C ）
9.求积公式 1
0f(x)dx 311
4f(3 4
f(1)的代数精度为 2 。
（A） Rf(n 1)( )
n(x)
(n 1)!
， (a,b)且依赖于x 10.若绝对误差限为1
2
10 3，那么近似数0.03600有
二、单项选择题（本大题共5小题，每小题 2 分，共 10分）
（B） Rf(n 1)( )n
n(x) n! (x xj), (a,b)且依赖于x j 01. 已知实验数据
（C） Rf(n 1)( )n
n(x) (x(n 1)! (x xj), (a,b)且依赖于x j 0
k,yk)(k 1,2,3,4,5),其中 5
5
5
5
x2k 15, yk 31, 1
xk
55,k 1
xkyk 105.5,
k 1
kk 1
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（D） R(x) f(n)( ) （n 1）! n
n(x xj), (a,b)且依赖于x
1123 xj 0
0212 1 3
x2 1
1 122 x 。 3 22
59 x 3
7 4
1123 5．用简单迭代法求方程的近似根，下列迭代格式不收敛的是（ A ）
解：设
02
12 1
u11uu13u14 12u22u23u 242 l
2112 l31l32
1 u33
u LU 34 （A）x3 2x 5 0, 在区间 [2, 3]上连续, 令x
1 1k 1 x3k xk 5 22
59
l41l42
l43
1
u 44
（B
）x3 2x 5 0, 在区间 [2, 3]上连续, 令xk 1 计算得:
u14 3
（C）x3 x2 1 0, 在区间 [1.4, 1.6]上连续, 令x1
u11 1u12 1u13 2k 1 1
x2
l21
0l31 1l41 2
k
u22 2u23 1u24 2 （D
）x3 x2 1 0, 在区间 [1.4, 1.6]上连续, 令x l32 1l42 0
k 1
u33
1u34 1
三、计算题（本大题共 7 小题，每小题 8分，共 56分）
l43 1 u44 21.已知列表函数y f(x)
1 1123 L
01
1 11 U
212
11 试求满足上述插值条件的3次Newton插值多项式N 2011
2
3(x)。
解方程组Ly b，得
y1 3,y2 1,y3 1,y4 0. 解
再解方程组Ux y，得
x4 0,
x3 1,
x2 0,
x1 1.
3.用Gauss列主元消去法解下列方程组
则所求
N3(x) f(x0) f[x0,x1](x x0) f[x0,x1,x2](x x0)(x x1)
f[x 0,x1,x2,x3](x x0)(x x1)(x x2)
326 x1 4 0 5(x 1) 2(x 1)(x 2) 1 (x 1)(x 2)(x 3)
10 70 x 7 2 x3 4x2 3
5 15 x3 6
2. 用LU分解法求解方程组
解 (1) 选列主元消元过程
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第1步 在(5.5)将第一个方程与第二个方程交换，得
解：用复化梯形公式得
10 70 x1 T18 2 8
[1 0.8414709 2 (0.9973978 0.9896158
326 x 7 2 4 5 15 x 0.9767267 0.9588510 0.9361556
3 6
0.9088516 0.8771925)] 0.9456909.
在(5.6)中消元，得
用复化Simpson公式得
10 70 S 14 0 0.16 x1 x 7 6 4
[1 0.8414709 4 (0.9973978 0.9767267
2 02.55 x 6.1 3 2.5
0.9361556 0.8771925) 2 (0.9896158
第2步 在(5.5)将第一个方程与第二个方程交换，得
0.9588510 0.9088516)] 0.9460832
10 70 x1 7 02.55 x
2 0 0.16 2.5 x3 6.1
5. 取h 0.1，用改进的欧拉方法求初值问题 在(5.8)中消元，得
dy
y
10 70 x1 7
dx
y(0) 1
02.55 x 2 2.5 006.2 x3 6.2
的解在x 0.1处的近似值y1（计算过程保留3位小数）。
(2) 回代过程 解：预测－校正公式为
由最后一个方程解出x
yk 1 yk hf(xx,yk) yk h( yk)
3 1，代入第二个方程，解得x2 1；再将x2 1,x3 1代入第
yyhh
k 1 k 2[f(xk,yk) f(xk 1,yk 1)] yk x2
yk yk hyk 1 0,一个方程，解得x0. 故所求解为
h=0.1,x0=0，y0=1，x1=0.1，于是有
1 x2 1,
x3
1.
y1 1 0.1( 1) 0.9 4.设I 1
sinx
0x
dx， 0.1
y1 1 2( 1 1 0.1 1) 0.905 根据下表利用n 8时的复合梯形公式和n 4时的复合Simpson公式计算I的近似值（计
所求为y(0.1) y1=0.905
6. 试确定常数A,A1 A0,A12，使求积公式 1
f(x)dx A0f( 1) A1f(0) 2f(1) 具有尽可能高的代数精度,并指出其代数精度是多少?
解 令公式对 (x)=1, x, x2
都精确成立,则
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A0+A1+A2=2 A0 A2 0
解得: A x(k)1(k 1)(k 1)
1 13 x2 x3）0=A2 1/3,A1 4/3。
x(k)2
(k 1)(k2 11 x x 1)
求积公式为
1
1
3 f(x)dx 1
[f( (k)1(k 1)当 (x)= x3时, 左1=0,右=0,3
1) 4f(0) f(1)]公式也精确成立.
x3
225 x(k 1)1 x2）迭代矩阵为
当 (x)= x4时,左=2/5,右=2/3,公式不精确成立 01
1 所以,此公式的代数精度为3.
G2J 0 2
1 7.已知A 4 3
11
1 16
， 求 AA 0 , 1,A ,2,cond(A)
22
解：A 3 6 9 0.50.5
1 max 4 （1分） 其特征方程为 E GJ
1 1 ( 2 1.25) 0.
A 0.5 0.5
max 4 3 6 7 （1分）
因此有 , (GAT
1 02,3 .25i,即J) .25 1, A 4 1 4 3 36 16 17 18
1845
所以雅可比迭代法发散. 高斯-塞德尔（Gauss-Seidel）迭代法:
E ATA 17
18
218
45
( 17)( 45) 18 0
即
2
62 441 0 （3分） 解得 1 31 2， 2 31 2， (ATA) 31 2 A
(ATA) 31 2
2
x(k)1(k 1)(k 1) 1 13 x2 x3） 2小题，每小题 7分，共14分）
x(k)2(k)(k 1)
2 11 x1 x3
2xx x(k)1(k)(k)1 x2 3 13
3 225 x1 x2）
1.写出求解线性代数方程组
x1 x2 x3 11的雅可比（Jacobi）迭代法和高斯-塞德尔
迭代矩阵为
x1
x2 2x3 25
（Gauss-Seidel）迭代法的分量计算公式；对任意初值，分析这两种迭代法是否收敛？
00.5 0.5
解:雅可比（Jacobi）迭代法:
G G 0 0.5 0.5, 00 0.5
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0.50.5其特征方程为 E GG 0 0.5
0.5
( 0.5)2 0. -
0.5
因此有 1 0, 2 3 0.5,即 (GG) 0.5 1, 所以高斯-塞德尔迭代法收敛.
2. 试分析用迭代格式xk 1
16
x1
求方程f(x) x2 x 16 0在[3.2,4]上的根时的收敛性。 k 解：迭代格式xk 1
16x的迭代函数是 (x) 16
， k 1x 1
当x [3.2,4]时 (x)
16(x 1)2
0 ， (3.2) 164.2 3.8， (4) 16
5
3.2 所以 (x) [3.2,4]。
当x [3.2,4]时， (x)
16
4.22
1 所以，此迭代格式是收敛的。
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