西南大学2016年春《数理统计》作业及答案(已整理)

第一次作业

1、设总体X 服从正态分布),(2σμN ，其中μ已知，2

σ未知，n X X X ,,,21 为其样本，

2≥n ,则下列说法中正确的是（ ）。

（A ）

∑=-n

i i

X

n

1

2

2

)(μσ是统计量 （B ）

∑=n

i i

X

n

122

σ是统计量

（C ）

∑=--n

i i

X n 1

2

2

)(1

μσ是统计量 （D ）

∑=n

i i

X

n

1

2μ

是统计量

2、设两独立随机变量)1,0(~N X ，)9(~

2χY ，则

Y

X 3服从（ ）。

)(A )1,0(N )(B )3(t )(C )9(t )(D )9,1(F

3、设两独立随机变量)1,0(~N X ，2~(16)Y χ

服从（ ）。 )(A )1,0(N )(B (4)t )(C (16)t )(D (1,4)F

4、设n X X ,,1 是来自总体X 的样本，且μ=EX ，则下列是μ的无偏估计的是（ ）.

)

(A ∑

-=-1

1

1

1n i i X n )(B ∑=-n i i X n 111 )(C ∑=n i i X n 2

1 )(D ∑-=1

11n i i X n 5、设4321,,,X X X X 是总体2

(0,)N σ的样本，2

σ未知，则下列随机变量是统计量的是（ ）.

（A ）3/X σ； （B ）

4

1

4

i

i X

=∑； （C ）σ-1X ； （D ）

4

2

21

/i

i X

σ=∑

6、设总体),(~2

σμN X ，1,,n X X L 为样本，S X ,分别为样本均值和标准差，则

下列正确的是（ ）.

2() ~(,)A X N μσ 2() ~(,)

B n X N μσ 22

21

1

()

()~()n

i i C X n μχσ

=-∑

(~()D t n

7、设总体X 服从两点分布B （1，p ），其中p 是未知参数，15,,X X ⋅⋅⋅是来自总体的简单随机样本，则下列随机变量不是统计量为（ ）

( A ) . 12X X +

( B )

{}max ,15i X i ≤≤

( C ) 52X p +

( D )

()

2

51X X -

8、设1,,n X X ⋅⋅⋅为来自正态总体2(,)N μσ的一个样本，μ，2

σ未知。则2

σ的最大似然估计量为（ ）。

（A ）∑=-n i i X n 12)(1μ （B ）()2

11∑=-n i i X X n （C ）∑=--n i i X n 12)(11μ（D ）()∑=--n i i

X X n 1

211

答案：1、（D ）；2、 )(C ；3、)(C ；4、)(A ；5、（B ）；6、() ;C 7、( C ) ；8、（B ）。

第二次作业

1、设总体),(~2

σμN X ，1,,n X X ⋅⋅⋅为样本，S X ,分别为样本均值和标准差，

则

）分布.

2

() (,)A N μσ 2

() (,)B N

n

σμ () ()C t n () (1)D t n - 2、设1,,n X X ⋅⋅⋅为来自正态总体2(,)N μσ的一个样本，μ，2

σ未知。则2

σ的置信度为

1α-的区间估计的枢轴量为（ ）。

(A)

()

2

1

2

n

i i X μσ

=-∑ (B)

()

2

1

2

n

i i X μσ

=-∑ (C)

()∑=-n

i i

X X

1

2

2

1

σ

(D)

()

2

1

2

0n

i i X

X σ=-∑

3、在假设检验中，下列说法正确的是（ ）。

(A) 如果原假设是正确的，但作出的决策是接受备择假设，则犯了第一类错误； (B) 如果备择假设是正确的，但作出的决策是拒绝备择假设，则犯了第一类错误； (C) 第一类错误和第二类错误同时都要犯；

(D) 如果原假设是错误的，但作出的决策是接受备择假设，则犯了第二类错误。 4、对总体2

~(,)X N μσ的均值μ和作区间估计，得到置信度为95%的置信区 间，意义是指这个区间（ ）。

(A)平均含总体95%的值 (B)平均含样本95%的值

(C)有95%的机会含样本的值 (D)有95%的机会的机会含μ的值 5、设ˆθ是未知参数θ的一个估计量，若ˆE θθ≠，则ˆ

θ是θ的（ ）。 (A)极大似然估计 (B) 有偏估计 (C)相合估计 (D) 矩法估计

6、设总体X 的数学期望为12,,,,n X X X μ 为来自X 的样本，则下列结论中 正确的是( ).

（A ）1X 是μ的无偏估计量. （B ）1X 是μ的极大似然估计量.

（C ）1X 是μ的相合（一致）估计量. （D ）1X 不是μ的估计量.

7、设总体2~(,)X N μσ，2σ未知，12,,,n X X X 为样本，2S 为修正样本方差，则检验问题：00:H μμ=，10:H μμ≠（0μ已知）的检验统计量为（ ）.

（A

）)

0X S μ-（B

）)

0X μσ- （C

）)

0X μσ-（D

）)

0X S μ-.

答案：1、() D ；2 (C) ；3、(A)；4、 (D)；5、 (B) ；6、（A ）；7、（D ）.

第三次作业

1、设总体X 服从参数为λ的泊松分布()P λ，n X X X ,,,21 是来自总体X 的简单随机样本，则=X D ．

2、设321,,X X X 为来自正态总体),(~2σμN X 的样本，若321cX bX aX ++为μ的一个无偏估计，则=++c b a _____。

3、设),(~2

σμN X ，而1.70，1.75，1.70，1.65，1.75是从总体X 中抽取的样本，则μ的矩估计值为 。 4、设总体X 服从正态分布),(2σμN ，μ未知。n X X X ,,,21 为来自总体的样本，则

对假设2020σσ=：H ；2021σσ≠：H 进行假设检验时，通常采用的统计量是

____________，它服从____________分布，自由度为____________。

5、设总体)4,1(~N X ,1210, , , X X X 为来自该总体的样本，10

1110i i X X ==∑,则()D X =______.

6、我们通常所说的样本称为简单随机样本，它具有的特点是 ．

7、已知0.9(8,20)2F =，则0.1(20,8)F = ．

8、设]1,[~a U X ，n X X ,,1 是从总体X 中抽取的样本，求a 的矩估计为 ．

9、检验问题：()()00:H F x F x =，()()00:H F x F x ≠（()0F x 含有l 个未知参数）的皮

尔逊2χ检验拒绝域为 ．

10、设621,,,X X X 为来自正态总体)1,0(N 的简单随机样本，设

26542321)()(X X X X X X Y +++++=

若使随机变量CY 服从2χ分布，则常数=C ．

11、设由来自总体2(,0.9)N μ的容量为9的简单随机样本其样本均值为5x =，则μ的置信度为0.95的置信区间是 （0.975 1.96μ=）.

12、若线性模型为()20,,n Y X E Cov I βεεεεσ=+⎧⎨==⎩

，则最小二乘估计量为 ．

答案：1、/n λ，2、1，3、1.71，4、220(1)n S

σ- ，2χ，1n -,5、2/5，6、独立性，代表性；

7、1/2；8、21X -；9、()()2211ˆ1ˆr i i i i n np n l np αχ-=⎧⎫-⎪⎪>--⎨⎬⎪⎪⎩⎭

∑；10、1/3；11、(4.412, 5.588)；12、()1ˆX X X Y β

-''=。 .

第四次作业 1、设总体X 服从两点分布B （1，p ），其中p 是未知参数，15,,X X L 是来自总体的简单随机样本。指出{}()212551,max ,15,2,i X X X i X p X X +≤≤+-之中哪些是统计量，哪些不是统计量，为什么？

2、设总体X 服从参数为（N ，p ）的二项分布，其中（N ，p ）为未知参数，12,,,n X X X L 为来自总体X 的一个样本，求（N ，p ）的矩法估计。

3、设12,,,n X X X L 是取自正态总体()2,N μσ的一个样本，试问()22111n

i i S X X n ==--∑是2σ的相合估计吗？

4、设连续型总体X 的概率密度为()()2

2,0

,00, 0x

x e x p x x θθθθ-⎧⎪>=>⎨⎪≤⎩

, 12,,,n X X X L 来自总

体X 的一个样本，求未知参数θ的极大似然估计量ˆθ，并讨论ˆθ的无偏性。

5、随机地从一批钉子中抽取16枚，测得其长度（以厘米计）为 2.14 2.10 2.13 2.15 2.13 2.12 2.13 2.10 2.15 2.12 2.14 2.10 2.13 2.11 2.14 2.11设钉长服从正态分布。 若已知σ=0.01（厘米），试求总体均值μ的0.9的置信区间。（0.95 1.65u =）

6、甲、乙两台机床分别加工某种轴，轴的直径分别服从正态分布()211,N μσ与()

2

22,N μσ，

为比较两台机床的加工精度有无显著差异。从各自加工的轴中分别抽取若干根轴测其直径，结果如下：

（()()0.9750.9756,7 5.12,7,6 5.70.F F ==）

7、为了检验某药物是否会改变人的血压，挑选10名试验者，测量他们服药前后的血压，如下表所列：

假设服药后与服药前血压差值服从正态分布，取检验水平为0.05，从这些资料中是否能得出该药物会改变血压的结论？

答案：

1、 答案：解：{}()2

1251,max ,15,i X X X i X X +≤≤-都是统计量，52X p +不是统计量，

因p 是未知参数。

2、 解：因为()

()()2

2

2

,1EX Np EX DX EX Np p Np ==+=-+，只需以2

1

1,n i i X X n =∑分

别代2

,EX EX 解方程组得22

2

ˆˆ,1n n S X N p X S X

==--。 3、解：由于

()2

2

1n S σ- 服从自由度为

n-1的2χ-分布，故

()

()()4

4

2

2

2

2

2,2111ES DS n n n σσσ==⨯-=--， 从而根据车贝晓夫不等式有

(

)

()2

422

2

2

2001n DS P S n σσεεε→∞

≤-≥≤

=−−−→-，所以()22111n i

i S X X n ==--∑是2σ的相合估计。

4解：似然函数为

()()2

2

1

2

1

1

221

1

,ln ln ln ,

2n

i i i n

n

x x i

i

n

n

i

i i i n

i i x

x

x L e

e

L n x θ

θ

θθθθ

θ

θ

=--

====∑==

=-+-

∏∑∏

∏()2

12ln 2n

i

i x

d L n d θθθθ==-+∑，令()ln 0d L d θθ

=，得21

ˆ2n

i

i X

n

θ==∑.由于

()2

222

2221

2200

11ˆ222222n

x x i

i EX

x

x x E EX x e dx e d n

θ

θ

θ

θθθθ

θ

θ

-

-

∞

∞

======Γ=∑⎰⎰

， 因此θ的极大似然估计量ˆθ是θ的无偏估计量。 5、 解：()2

2

1

0.01, 2.14 2.10 2.11 2.12516

x σ==

+++=L ，置信度0.9，即α=0.1，查正态分布数值表，知()()1/21.650.95u α-Φ=Φ=, 即()

1.6510.90P U α≤=-=,从而1/20.95 1.65u u α-==

1/2 1.650.004α-=

=，所以总体均值μ的0.9的置信区间为

[][]1/21/2, 2.1250.004,2.1250.004 2.121,2.129x x αα--⎡⎤+=-+=⎢

⎥⎣⎦

. 6、解：首先建立假设：

2222

012112:,:H H σσσσ=≠

在n=8，m=7, α=0.05时,

()()()0.0250.9750.9751

17,60.195,7,6 5.70.6,7 5.12

F F F ==== 故拒绝域为{}0.195, 5.70F or F <>, 现由样本求得21s =0.2164，22

s =0.2729，从而F=0.793，未落入拒绝域，因而在α=0.05水平上可认为两台机床加工精度一致。

7、、解：以X 记服药后与服药前血压的差值，则X 服从()

2,N μσ，其中2,μσ均未知，这些资料中可以得出X 的一个样本观察值：6 8 3 -4 6 -2 6 -1 7 2 待检验的假设为 01:0,:0H H μμ=≠

这是一个方差未知时，对正态总体的均值作检验的问题，因此用t 检验法

当()1/21T t n α-=

≤-时，接受原假设，反之，拒绝原假设。依次计算有 ()()()()222116872 3.1,6 3.12 3.117.655610101

x s =++++==-++-=-L L ，

2.3228t ==， 由于()()1/20.97519 2.2622t n t α--==， T 的观察值的绝对值 2.3228 2.2622t =>. 所以拒绝原假设，即认为服药前后人的血压有显著变化。

第五次作业

1、设某商店100天销售电视机的情况有如下统计资料：

求样本容量n ，样本均值和样本方差。

2、设17,,X X L 为总体X 服从()0,0.25N 的一个样本，求7214i i P X =⎛⎫> ⎪⎝⎭

∑.（(

)20.975716.0128χ=）

3、设总体X 具有分布律其中θ(0<θ<1)123θ的最大似然估计值。

4、求均匀分布],[21θθU 中参数21,θθ的极大似然估计．

5、为比较两个学校同一年级学生数学课程的成绩，随机地抽取学校A 的9个学生，得分数的平均值为31.81=A x ，方差为76.602=A s ；随机地抽取学校B 的15个学生，得分数的平均值为61.78=B x ，方差为24.482=B s 。设样本均来自正态总体且方差相等，参数均未知，两样本独立。求均值差B A μμ-的置信水平为0.95的置信区间。（()0.975227.266t =）

6、设A ，B 二化验员独立地对某种聚合物的含氯量用相同的方法各作了10次测定，其测量

值的修正方差分别为220.5419,0.6065A B s s ==，设2A

σ和2B σ分别为所测量的数据总体（设为正态总体）的方差，求方差比22/A B

σσ的0.95的置信区间。 7、某种标准类型电池的容量（以安-时计）的标准差66.1=σ，随机地取10只新类型的电池测得它们的容量如下

146，141，135，142，140，143，138，137，142，136

设样本来自正态总体),(2σμN ，2,σμ均未知，问标准差是否有变动，即需检验假设（取

05.0=α）：22122066.1:,66.1:≠=σσH H 。

8、某地调查了3000名失业人员，按性别文化程度分类如下：

试在α=0.05水平上检验失业人员的性别与文化程度是否有关。（()20.9537.815χ=）

答案：1、解：样本容量为n=100

样本均值，样本方差，样本修正方差分别为

()()222222222033061522031 3.85,100

1 3.85 1.9275,100

100100 1.9275 1.94696930619995.9n n x s s s ⨯⨯⨯⨯⨯⨯=

==-===⨯=L L L ++++++ 2、解： 因每个i X 与总体X 有相同分布，故

020.5i i X X -=服从()0,1N ，则277211

040.5i i i i X X ==-⎛⎫= ⎪⎝⎭∑∑服从自由度n=7的2χ-分布。因为

77722211144161416i i i i i i P X P X P X ===⎛⎫⎛⎫⎛⎫>=>=-≤ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭

∑∑∑，查表可知()20.975716.0128χ=, 故72140.025.i i P X =⎛⎫>= ⎪⎝⎭∑

3、解：似然函数}1{}2{}1{}{)(32131======∏=X P X P X P x X

P θL i i i

)1(2)1(2522θθθθθθ-=⋅-⋅= ln L (θ )=ln2+5ln θ+ln(1－θ)

求导 01165)(ln =--=θ

θd θL d 得到唯一解为6

5ˆ=θ 4、解：由X 服从[a ，b]上的均匀分布，易知

()()2

222,2122b a a b a b EX EX DX EX -++⎛⎫==+=+ ⎪⎝⎭ 求a ，b 的矩法估计量只需解方程()22ˆˆˆˆ,212n b a a b X S -+==,

得ˆˆ,n n

a X

b X == 5、解：根据两个正态总体均值差的区间估计的标准结论，均值差B A μμ-的置信水平为0.95的置信区间为

()⎪⎪⎭⎫ ⎝

⎛+±=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-++±-)22(151917.2)2(11975.021975.021t s n n t n n s x x w w B A ⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛⨯+⨯±=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+±=0739.215191266.77.2)22(151917.2975.0t s w ()()05.9,65.335.67.2-=±=

6、解：n=m=10, 1-α=0.95，α=0.05,

()()()()

1/20.975/21/211,19,9 4.03,1,10.24181,1F n m F F n m F m n ααα----==--=

=--, 从而 ()()22221/2/2110.541910.54191,,1,11,10.60654.030.60650.241[0.2223.601]8A A B B S S S F n m S F n m αα-⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥----⎣

⎦⎣⎦，故方差比22/A B σσ的0.95的置信区间为[0.222，3.601]。

7、这是一个正态总体的方差检验问题，属于双边检验问题。

检验统计量为

22

2

66.1)1(S n -=χ。 代入本题中的具体数据得到22(101)1239.1931.66-⨯χ==。

检验的临界值为022.19)9(2975.0=χ。

因为239.19319.022χ=>，所以样本值落入拒绝域，因此拒绝原假设0H ，即认为电池容量的标准差发生了显著的变化，不再为1.66。

8、解：这是列联表的独立性检验问题。在本题中r=2，c=4，在α=0.05下，

()()()()220.950.95

1137.815r c χχ--==, 因而拒绝域为：{}27.815W χ=≥. 为了计算统计量(3.4)，可列成如下表格计算/n n n ⋅：

()()()22224036.82023.2625644.47.23636.823.2644.4χ---=+++=L ,

由于2χ=7.326<7.815，样本落入接受域，从而在α=0.05水平上可认为失业人员的性别与文化程度无关。