小学奥数三角形的等积变形A 相 相 似 B C 等 D

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三角形的等积变形三角形面积的计算公式： 三角形面积=底×高÷2高 底

这个公式告诉我们：三角形面积的大小，取决于三角形底和高 的乘积.如果三角形的底不变，高越大(小),三角形面积也 就越大(小)。同样若三角形的高不变，底越大(小),三角 形面积也就越大(小)。这说明；当三角形的面积变化时，它 的底和高之中至少有一个要发生变化。但是，当三角形的底和 高同时发生变化时，三角形的面积不一定变化.当三角形的底 和高 的积保持不变，三角形的面积就不变。只有当三角形底 和高的乘积 变化时，三角形的面积才发生变化。

一个三角形在面积不改变的情况下，可以有无数多个 不同的形状.本讲即研究面积相同的三角形的各种形 状以及它们之间的关系。

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为便于实际问题的研究，我们还会常常用到以下结论：

①等底等高的两个三角形面积相等.②底在同一条直线上并且相等，该底所对的角的顶点是同一 个点或在与底平行的直线上，这两个三角形面积相等. ③若两个三角形的高(或底)相等，其中一个三角形的底( 或高)是另一个三角形的几倍，那么这个三角形的面积也是 另一个三角形面积的几倍. A

B

D

E

C

它们所对的顶点同为A点，(也就是它们的高相等)那么 这两个三角形的面积相等. 同时也可以知道△ABC的面积是△ABD或△AEC面积的 3倍.

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例如在下图中，△ABC与△DBC的底相同(它们的底都是BC), 它所对的两个顶点A、D在与底BC平行的直线上，(也就是它们 的高相等),那么这两个三角形的面积相等.A D

B

C

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例如下图中，△ABC与△DBC的底相同(它们的底都 是BC),△ABC的高是△DBC高的2倍(D是AB中点， AB=2BD,有AH=2DE),则△ABC的面积是△DBC 面积的2倍.A

D

B E H

C

上述结论，是我们研究三角形等积变形的重要依据.

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例1 用四种不同的方法，把任意一个三角形分成四个面 A 积相等的三角形. AE F

B

D

E

F

C

B

D

C

方法1:如左图，将BC四等分， (BD=DE=EF=FC=BC/4)、连结AD、AE、AF,则 △ABD、△ADE、 △AEF、 △AFC等积. 方法2:如右图，先将BC二等分，分点D、连结AD, 得到两个等积三角形，即△ABD与△ADC等积.然 后取AB、AC中点E、F,并连结DE、DF.从而得到 四个等积三角形，即△ADE、△BDE、△DCF、 △ADF等积.

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A

A

E

FF

E

B

D

C

B

D

C

方法3:如左图， 取△ABC三条边的中点D、E、F 连结DE、DF、EF,则△BED、△EAF、 △DFC、 △EFD等积.方法4:如右图， 取点D,使BD=BC/3,连结AD、 取点E、F,使AE=EF=FD,则

△ABD、△CAE、 △CEF 、 △CFD等积.

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例2 用三种不同的方法将任意一个三角形分成三个小三角形， 使它们的面积比为及1∶3∶4.A A E 1 3 C B D 4 C

B

1 D

3 E

4

方法 1:如上左图，将BC边八等分，取1∶3∶4的分点D、E, 连结AD、AE,从而得到△ABD、△ADE、△AEC的面积比为 1∶3∶4. 方法2:如上右图，先取BC中点，再取AB的1/4分点，连结AD

、DE,从而得到三个三角形：△ADE、△BDE、△ACD.其面积 比为1∶3∶4.

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方法2:如下图，先取AB中点D,再连结CD,再取CD上的1/4分 点E,连结AE,从而得到三个三角形：△ACE、△ADE、 △BCD.其面积比为1∶3∶4.AD 4 B

3 1

E

C

当然本题还有许多种其他分法，同学们可以自己寻找解决.

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例3 如右图，在梯形ABCD中，AC与BD是对角线，其交点O,求 证：△AOB与△COD面积相等.A O D

B

C

证明：∵△ABC与△DBC等底等高， ∴S△ABC=S△DBC 又∵ S△AOB=S△ABC—S△BOC S△DOC=S△DBC—S△BOC ∴S△AOB=S△COD.

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例4 如右图，把四边形ABCD改成一个等积的三角形.D A

A′

B

C

分析 本题有两点要求，一是把四边形改成一个三角形，二是 改成的三角形与原四边形面积相等.我们可以利用三角形等积 变形的方法，如上图， 把顶点A移到CB的延长线上的A′处， △A′BD与△ABD面积相等，从而△A′DC面积与原四边形 ABCD面积也相等.这样就把四边形ABCD等积地改成了三角形 △A′DC.问题是A′位置的选择是依据三角形等积变形原 则.过A作一条和DB平行的直线与CB的延长线交于A′点。解：①连结BD; ②过A作BD的平行线，与CB的延长线交于A′. ③连结A′D,则△A′CD与四边形ABCD等积.

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例5 如右图，已知在△ABC中，BE=3AE,CD=2AD.若 △ADE的面积为1平方厘米.求三角形ABC的面积.解法1:连结BD,在△ABD中 ∵ BE=3AE, ∴ S△ABD=4S△ADE=4(平方厘米). 在△ABC中，∵CD=2AD, B ∴ S△ABC=3S△ABD=3×4=12(平方厘米). 解法2:连结CE,如右图所示，在△ACE中，

A D

E 1

C

A E 1 D

∵ CD=2AD, ∴ S△ACE=3S△ADE=3(平方厘米). 在△ABC中，∵BE=3AE ∴ S△ABC=4S△ACE =4×3=12(平方厘米).

B

C

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例6 如下页图，在△ABC中，BD=2AD,AG=2CG, BE=EF=FC=BC/3,求阴影部分面积占三角形面积的几分之几？解：连结BG,在△ABG中，∵ BD=2AD, ∴S ⊿ADG=S⊿ABG,在⊿ABC中， ∵ AG=2CG, ∴S ⊿ABG=2/3S⊿ABC,B D G E F C A

∴S ⊿ADG=(1/3)×(2/3)S⊿ABC=(2/9)S ⊿ABC 。同理S ⊿BDE=(2/9)S ⊿ABC ; S ⊿CFG=(1/9)S ⊿ABC

∴ S△ADG+S△BDE+S△CFG =(2/9+2/9+1/9)S ⊿ABC=5/9⊿ABC ∴ 阴影部分面积=(1-5/9)S△ABC=4/9 △ABC

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例7 如右图，ABCD为平行四边形，EF平行AC,如

果△ADE的 面积为4平方厘米.求三角形CDF的面积.D

? 4FE B

C

A

解：连结AF、CE,∴S△ADE=S△ACE;S△CDF=S△ACF; 又∵AC与EF平行，∴S△ACE=S△ACF; ∴ S△ADE=S△CDF=4(平方厘米).

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例8 如右图，四边形ABCD面积为1,且AB=AE,BC=BF, DC=CG,AD=DH.求四边形EFGH的面积.H D E G C S1 1 S2 B A ? F

解：连结BD,将四边形ABCD分成两个部分S1与S2.连结FD,有 S△FBD=S△DBC=S1 所以S△CGF=S△DFC= S△FBD+S△DBC=2S1.连结HB,同理 S△AEH=2S2, 因此S△AEH+S△CGF=2S1+2S2=2(S1+S2)=2×1=2.

同理，连结AC之后，可求出S△HGD+S△EBF=2所以四边形EFGH 的面积为2+2+1=5(平方单位).

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例9 如右图，在平行四边形ABCD中，直线CF交AB于E,交DA延长 线于F,若S△ADE=1,求△BEF的面积.C B ? F

E D A

解：连结AC,∵AB//CD,∴S△ADE=S△ACE

又∵AD//BC,∴S△ACF=S△ABF 而 S△ACF=S△ACE+S△AEF∶S△ABF=S△BEF+S△AEF ∴ S△ACE=S△BEF ∴S△BEF=S△ADE=1.

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