【数学】2.4.1 抛物线及其标准方程 课件1(人教A版选修2-1)

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2.4.1 抛物线及其标准方程

郫县二中

仲

玲

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问题探究： 当|MF|=|MH| ,点M的轨迹是什么？

探 究 ？

H

M

·

C

·F

l可以发现,点M随着H运动的过程中,始终|MF|=|MH|,即点M与点F和定直线l的距离相等.点M生成的轨迹是 曲线C的形状.(如图) 我们把这样的一条曲线叫做抛物线.

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一、抛物线的定义:在平面内,与一个定点F 和一条定直线l(l不经过点F) 的距离相等的点的轨迹叫抛 物线.H

M

l

· F准线

·

C

焦点

定点F叫抛物线的焦点定直线l 叫抛物线的准线

即：若|MF|=|MH| ,则M的轨迹是抛物线

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探索研究 推出方程

想 一 想

求曲线方程 的基本步骤

lF ·

设F到 l 的距离是p

如何建立直角坐标系？求出该抛物线的轨迹方程呢？

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二、抛物线的标准方程：如图，以过F点垂直于直线l的直线为x轴， F 和垂足K的中点为坐标原点建立直角坐标系.设|FK|=p(p>0),M(x,y)

p p 则焦点F ( , 0), 准线l : x = 2 2由抛物线定义知：|MF|=d

y

lK

d

. M(x,y)x

p p 2 2 即： ( x ) y | x | 2 22 2 p p x 2 px y 2 x 2 px 4 4

O

. F

y 2 px, ( p 0)2

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2 y 2 px p 0 ,叫做焦点在X轴正半轴上的 . 抛物线的标准方程. y L

焦点坐标是F( p , 0), 2 p 它的准线方程是 x 2

o

F

x

思考：

p的几何意义:

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思考： p的几何意义:如图，以过F点垂直于直线l的直线为x轴， F 和垂足K的中点为坐标原点建立直角坐标系.设|FK|=p(p>0),M(x,y)y

lK

d

. M(x,y)x

p的几何意义是:焦点到准线的距离.

O

. F

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问题：仿照前面求抛物线标准方程的方法，你能建 立适当的坐标系，求下列后三幅图中抛物线的方程 吗? (1)F

(2)F

l

l

(3)F

(4)

l F

l

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不同位置的抛物线标准方程图 形

( P > 0)

焦点位置标准方程 焦点坐标 准线方程

x轴的 正方向

x轴的 负方向

y轴的 正方向

y轴的 负方向

y2=2px(p>0) y2=-2px(p>0)p F ( ,0) 2 p x =2 p F(- ,0) 2 p x= 2

x2=2py(p>0) x2=-2py(p>0)p F (0, ) 2 p y =2 p F (0, - ) 2 p y= 2

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1 、 一次项的变量如为 x (或 y ),则 x 轴(或 y 轴)为抛物线的对称轴，焦点就在对称轴上。 2、一次项的系数正负符号决定了开口方向。 3、抛物线的标准方程是指顶点放在坐标原点， 焦点放在坐标轴上的抛物线的方程，一共有 四种形式.

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三、知识运用1.如图，平面上有一个定点A和定直线 l ,A到 l 距离为6,动点 M到定点和定直线的距离相等.(1)M的轨迹是什么? (2)M的轨迹方程是什么?

的

.Al

(3)写出方程的焦点坐标和准线方程.

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已知抛物线的标准方程，求其焦点坐标和准线方程. (口答)变式1变式2

x 6y2

3 F (0, ) 2F (

3 y 2

y 5x 02

5 5 , 0) x 4 41 y 16

标准方程：y 2 5x

变式3

y

4x2

2

1 F (0, ) 16

1 标准方程：x y 4是一次项系数的 是一次项系1 4

数的

1 的相反数的 4

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小

结

:

1、学习一个概念--抛物线 有关抛物线的标 2、增长一些知识--准方程和它的焦 点坐标、准线方 程 3、注重一种思想--数形结合

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变式思考1:如图，平面上有一个定点A和定直线 l,A

在 l 上，动点 M到定点和定直线的距离相等.

.A

l

思考2: y

ax (a 0) 的焦点坐标与准线方程是什么？2

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