2016年专项练习题集-不等式恒成立问题

三级知识点：不等式恒成立问题

介绍：不等式恒成立问题以含参不等式“恒成立”为载体，镶嵌函数、方程、不等式等内容，综合性强，能力要求高，为历年高考试题的热点。

选择题

1．不等式mx2 2mx 3 0对一切x R恒成立，则实数m的取值范围是（ ）

A． 3 m 0

B． 3 m 0

C． 3 m 0

D． 3 m 0

【分值】5

【答案】D 【易错点】容易忽略m 0的情形。

【考查方向】本题主要考查了含参数的二次不等式的恒成立问题。 【解题思路】对m的分类讨论，（1）m 0，（2）当m 0时，结合二次函数图象，二次函数应该开口向下，判别式小于等于零，列出满足的条件求解．

【解析】当m 0时不等式化为 3 0恒成立；当m 0时需满足

综上可知实数a的取值范围是 3 m 0.

2．已知f(x) ax2 bx 3，不等式f(x) 0的解集是( 1,3)，若对于任意x [ 1,2]，不 m 0，所以 3 m 0， 0

等式f(x) m 10恒成立，m的取值范围是（ ）

A． [ 14, 10]

B．( , 10]

C．( , 14]

D．[ 14,14]

【分值】5

【答案】C

【易错点】不会求出a，b的值，不会转化恒成立问题。

【考查方向】本题主要考查了函数的解析式，考查恒成立问题，解题的关键是利用好不等式的解集与方程解之间的关系，将恒成立问题转化为函数的最值加以解决．

【解题思路】（1）根据不等式的解集与方程解之间的关系可知ax2 bx 3 0的两根为 1，3，从而可求a,b的值，进而可求f x 的解析式；（2）要使对于任意x [ 1,2]，不等式f(x) m 10恒成立，只需f(x) 10 min m即可，从而可求m的范围． 【解析】不等式f(x) 0的解集是( 1,3)，所以 1和3是方程ax2 bx 3 0的两个根，由

2韦达定理得a 1,b 2．所以f(x) x 2x 3，所以f(x) m 10恒成立等价于

x2 2x 13 m恒成立，由x2 2x 13 (x 1)2 14 14，所以m 14．选C．

3．对任意的实数x

a的取值范围是（ ）

A．a 0

B．0 a 3

C．a 3

D．a 3

【分值】5

【答案】D

【易错点】不会去掉绝对值，函数的最值。

【考查方向】本题主要考查了含参数的绝对值不等式的恒成立问题。

f(x)min即可求得a的取值范围．

f(x)min 3，所以a f(x)min 3，即a 3，故选C.

24．若不等式x tx 9 0对于任意x (0, )都成立，则t的最大值是（ ）

A．0

B．-6

C．6

D．9

【分值】5

【答案】C

【易错点】不会将变量t分离出来。

【考查方向】本题主要考查了含参数的二次不等式的恒成立问题以及分类变量法。

【解题思路】首先根据不等式将t

x (0,

)都成立，即 2【解析】不等式x tx 9 0对于任意x (0, )都成立等价

任意

x (0,

)

t 6即可．故C正确． 5．若关于x的不等式x2 (a 2)x 1 2a 0对任意的a [ 2,2]均成立，则x的取值范围是（ ）

A． ( ,1) (3, )

B

．( , )

C

．( , (3, )

D

．(

【分值】5

【答案】C

【易错点】不知道讲原不等式转化为关于a的一次函数。

【考查方向】本题主要考查了一元二次不等式恒成立问题，将恒成立问题转化为函数的最值加以解决．

【解题思路】可将a视作自变量，则上述问题即可转化为在[-2，2]内关于a的一次函数大于0恒成立的问题. 解：原不等式转化为a(x 2) x 2x 1 0在a [ 2,2]时恒成立, 2设f(a) a(x 2) x 2x 1,则f(a)在[-2,2]上恒大于0，故有：

2 f( 2) 0 x 4x 3 0 x 3或x 1即 2解得：

f(2) 0

x 5 0 x x 2

所以x 3或x C.

填空

6．若函数f(x) sinx acosx 3的图象始终在直线y 1的上方，则a的取值范围是_______．

【分值】5

【易错点】不会利用辅助角公式对f(x) sinx acosx 3进行变形，不会将f(x)在y 1的上方转化成f(x) 1恒成立。

【考查方向】三角恒等变换和不等式恒成立问题。 【解题思路】问题转化为f(x) 1恒成立，利用三角恒等变形以及三角函数的最值建立不等式，求出a 的范围。 【解析】由f(x)的图象始终在y 1的上方，即f(x) 1恒成立，

27．若关于x的不等式x mx m 1恒成立，则实数m＝ ．

【分值】5

【答案】2 【易错点】判别式容易容易出现 0。

【考查方向】二次不等式恒成立问题。 【解题思路】将不等式右边项移到左边，利用判别式 0，求出m的值.

【解析】原不等式可变为x2 mx m 1 0， 0， m2 4 m 1 0， m 2 0， m 2.

8．已知a 1，若关于x

是 ．

【分值】5 【答案】 4, ．

【易错点】不会转化原不等式，不会利用数形结合处理本题。

【考查方向】本题主要考查了反比例函数及其单调性、不等式恒成立问题，同时考查了数形结合的思想。

间 0,2

2 0,2 上恒成立，则实数a的取值范围 0,2 上恒成立，由图象可知，在区y logax的图象的上方，从而可得解．

a 4，所以实数a的取值范围 4, ．

综合题

9．已知函数f(x) 131ax x2 1 (x R) 其中a 0，若在区间[ ,2]上，f(x) 0恒32成立，求a的取值范围．

【分值】6

a 18 【易错点】导数的计算与分类讨论。

【考查方向】导数与不等式恒成立问题。

【解题思路】对f(x) 13132ax x2 1进行求导，判断利用导数求出f(x) ax x 1的33

极值点，利用极值点与端点值的函数值大于0，解不等式，得到a 的取值范围。 2【解析】f (x) ax 2x ax(x )，由于a 0，所以2

a2 0，对a进行讨论： a

（1）若0 a 1，2 2，于是当 1 x 0时，f'(x) 0；当0 x 2时，f'(x) 0。 a

1 f( ) 0 a 18 2由 ，即 9，由0 a 1，故无解。 2a f() 0 8 a

（2）若a 1，

当22 2，于是当 1 x 0时，f'(x) 0；当0 x 时，f'(x) 0， aa2 x 2时，f'(x) 0。 a

1 a 18 f( ) 0 由 ，即 24 a 18。 2a f(2) 03

综合（1）（2

210．已知不等式ax 3x a 1 0对于所有的实数x不等式恒成立，求a的取值范围. a 18。 【分值】6

【答案】a 1 2

【易错点】讨论时容易忽略a 0的情形。

【考查方向】本题主要考查了一元二次不等式恒成立问题。 【解题思路】当a 0时，经检验不满足条件； a 0，解出a的范 9 4a(a 1) 0解得a 0时，设f(x) ax2 3x a 1，则由题意可得

围即可． 【解析】当a 0时, 3x 1

0 a 0，

9 4a(a 1) 0 当a 0时，设f(x) ax2 3x a 1，由于f(x) 0恒成立，则有