《高等数学基础》形成性考核册

第三次作业参考答案

第四章 导数的应用

一、单项选择题

1、D 2、D 3、A 4、C 5、C 6、A

二、填空题

1、极小值 2、0 3、( ,0) 4、(0, ) 5、f(a) 6、(0,2)

三、计算题

1、求函数y (x 1)(x 5)的单调区间和极值。

2

解：函数的定义域是( , )。

求导：

y (x 1) (x 5) (x 1)((x 5)) (x 5) (x 1) 2(x 5) (x 5)(3x 3)

令y (x 5)(3x 3) 0，得x 5或x 1； 令y (x 5)(3x 3) 0，得1 x 5；

因此，单调上升区间为( ,1)何(5, )，单调下降区间为(1,5)。

2

2

2

2、求函数y

解：求导数：

x 2x 3在区间[0,3]内的极值点，并求最大值和最小值。

2

y 2x 2

令y 2x 2 0，得驻点为x 0； 求二阶导数： y 2 0

因此，x 0为函数的极小值点。函数没有极大值点。

计算并比较函数值：

f(0) 3,f(3) 6,f(1) 2

可见，最大值是f(3) 6，最小值是f(1) 2。

3、求曲线y

2

2x

上的点，使其到点A(2,0)的距离最短。

解：设曲线上点坐标为(x,y)，它到点A(2,0)的距离为 d

(x 2) (y 0) (x 2) y

2

2

2

2

(x 2) 2x

2

x 2x 4

1

2x 1x 2x 4

2

2

求导数：d

x 2x 4

2

(2x 2)

x 1x 2x 4

2

令d 0，得唯一驻点是x 1。根据问题的实际背景可知这是所求的

点的横坐标。代入曲线方程，可得y 2。所以，所求的点为(1,2)何(1, 2)。

4、圆柱体上底的中心到下底的边沿的距离为L，问当底半径与高分别为多少时，圆柱体的体积最大？

解：如右图所示，设底面半径为r，高为h，体积为V。则上底中心到下底边沿的距离为

L r h

2

2

2

计算体积：

V rh

2

h(L h)

hL h

2

3

22

令V L 3 h 0，求得唯一驻点为h

22

3L3

。

根据问题的实际意义可知，这个值即为所求。此时，

r

L h

2

2

L

2

L

2

3

6L3

所以，当底面半径为

6L3

，高为

3L3

时体积最大。

5、一体积为V的圆柱体，问底半径与高各为多少时表面积最小？

解：如右图所示，设圆柱体的底面半径为r，高为h，表面积为y。

根据条件知该圆柱体的体积为V

2

：

V r h

表面积等于上、下底的面积与侧面积的和，因此

y 2 r 2 rh

2

2 r 2 r 2 r 令V 4 r

2Vr

22

2

V

r

2

2Vr

3

V2

0，得唯一驻点为r

4V

。根据问题的实际意义知驻点即为所

求结果。代入可求得h 所以，底面半径为3

V2

。

4V

，高为3

时圆柱体的表面积最小。

6、欲做一个底为正方形，容积为62.5立方米的长方体开口容器，怎样做法用料最省？

解：设底面边长为x米，高为y米，表面积为S平方米。

根据条件，体积：x y 62.5。 表面积等于底面面积加四个侧面面积：

S x 4xy x 4x

2

2

2

62.5x

2

x

2

250x

令S 2x

250x

2

0，求得唯一驻点为x 5（米），根据问题的实际意义可知，这就

是所求的底面边长。此时，y 2.5（米）。 所以，底面边长为5米，高2.5米时用料最省。

四、证明题

1、当x 0时，证明不等式x ln(1

x)

证明：令f(x) x ln(1 x)(x 0)，则f(x)在[0, )上连续，在(0, )内可导。

由于

f (x) 1

11 x

x1 x

0

(x 0)

因此，函数f(x)在[0, )上是单调上升的，即当x 0时有

f(x) x ln(1 x) f(0) 0

所以命题成立。

2、当x 0时，证明不等式e

x

x

x 1。

证明：令f(x) e x 1(x 0)，则f(x)在[0, )上连续，在(0, )内可导。

由于

x

f (x) e 1 0

(x 0)

因此，函数f(x)在[0, )上是单调上升的，即当x 0时有

f(x) e x 1 f(0) 0

x

所以命题成立。